1、單自由度系統(tǒng)的振動第一章單自由度系統(tǒng)的振動第一章為什么要研究單自由度系統(tǒng)的振動？2. 在工程上有許多振動系統(tǒng)可以簡化為單自由度系統(tǒng)，用單自由度系統(tǒng)的振動理論就可以得到滿意的結(jié)果。3. 單自由度系統(tǒng)的基本概念具有普遍意義。多自由度系統(tǒng)和無限自由度系統(tǒng)的振動，在特殊的坐標系中考察時，顯示出與單自由度系統(tǒng)類似的性態(tài)。引言單自由度系統(tǒng)的振動是進一步學(xué)習(xí)多自由度系統(tǒng)振動的基礎(chǔ)。為什么要研究單自由度系統(tǒng)的振動？2. 在工程上有許多振動系統(tǒng)引言引言振動系統(tǒng)的組成簡化機床彈性襯墊基礎(chǔ) 圖 將實際系統(tǒng)抽象為單自由度振動系統(tǒng)混凝土振動系統(tǒng)的組成簡化機床彈性襯墊基礎(chǔ) 圖 將實際系統(tǒng)抽象為單振動系統(tǒng)慣性元件阻尼元件彈

2、性元件振動系統(tǒng)的組成彈性元件是提供振動的回復(fù)力，慣性元件是承載運動的實體，阻尼在振動過程中消耗系統(tǒng)的能量和吸收外界的能量。振動系統(tǒng)慣性元件阻尼元件彈性元件振動系統(tǒng)的組成1. 彈性元件線性范圍當 較小時彈簧的剛度系數(shù)，單位： 彈性元件的意義和性質(zhì)振動系統(tǒng)的組成1. 彈性元件線性范圍當 較小時彈簧的剛度系數(shù)，單彈簧的剛度系數(shù)的物理意義：使彈簧產(chǎn)生單位位移所需施加的力對彈性元件需要說明幾點： 通常假定彈簧是無質(zhì)量的； 假定振動系統(tǒng)的振動幅值不會超過彈性元件的線性范圍；振動系統(tǒng)的組成彈簧的剛度系數(shù)的物理意義：使彈簧產(chǎn)生單位位移所需施加的力對彈 彈簧的等效剛度系數(shù)振動系統(tǒng)的組成 彈簧的等效剛度系數(shù)振動系

3、統(tǒng)的組成振動系統(tǒng)的組成振動系統(tǒng)的組成2. 慣性元件1 . 慣性元件的意義和性質(zhì)振動系統(tǒng)的組成2. 慣性元件1 . 慣性元件的意義和性質(zhì)振動系統(tǒng)的組成3 阻尼元件1 . 阻尼元件的意義和性質(zhì)阻尼系數(shù)：使阻尼器產(chǎn)生單位速度所需施加的力，單位：振動系統(tǒng)的組成3 阻尼元件1 . 阻尼元件的意義和性質(zhì)阻尼系數(shù)：使阻尼器產(chǎn)單自由度系統(tǒng)的振動方程（單自由度系統(tǒng)振動方程的一般形式）結(jié)論：只要以系統(tǒng)靜平衡位置為坐標原點，那么在列寫系統(tǒng)運動方程時就可以不考慮系統(tǒng)重力的作用。單自由度系統(tǒng)的振動方程（單自由度系統(tǒng)振動方程的一般形式）結(jié)論無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動正確理解固有頻率的概念會求單自由度無阻尼系統(tǒng)的固有頻率

4、第一章：單自由度系統(tǒng)的振動無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動正確理解固有頻率的概念會求單自由無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動1. 固有頻率概念的引出圖 無阻尼單自由度系統(tǒng) 固有頻率單位：rad/s特征方程natrual 的第一個字母無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動1. 固有頻率概念的引出圖 無阻對固有頻率的正確理解： 固有頻率僅取決于系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量；固有頻率與初始條件和外力等外界因素?zé)o關(guān)，是系統(tǒng)的固有特性； 它與系統(tǒng)是否振動著以及如何進行振動的方式都毫無關(guān)系固有頻率對固有頻率的正確理解： 固有頻率僅取決于系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量；固2 初始擾動引起的自由振動自由振動：運動方程：通解： 特征根：無阻尼單自由度系統(tǒng)的

5、自由振動2 初始擾動引起的自由振動自由振動：運動方程：通解： 特征根初相位 振幅： 初相位： 自由振動：振幅 簡諧運動的三要素 頻率 初始條件是外界能量注入的一種方式，有初始位移即注入了彈性勢能， 有初始速度即注入了動能。無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動 頻率的簡諧振動，并且永無休止；簡諧運動三要素?zé)o阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動初相位 振幅： 初相位： 自由振動：振幅 簡諧運動的三要素 (1) 簡諧振動是一種周期振動周期振動滿足：振動周期，單位：秒（s） 3 簡諧振動的特征無阻尼單自由度系統(tǒng)的固有周期 無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(1) 簡諧振動是一種周期振動周期振動滿

6、足：振動周期，單位：固有頻率表示單位時間內(nèi)重復(fù)振動的次數(shù).無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動固有頻率表示單位時間內(nèi)重復(fù)振動的次數(shù).無阻尼單自由度系統(tǒng)的自(2) 簡諧振動的位移、速度和加速度之間的關(guān)系求導(dǎo)求導(dǎo) 速度與位移的“相位差是90度”意味著什么？ 加速度與位移的“相位差是180度”意味著什么？位移最大時，速度為零；速度最大時，位移為零加速度與位移的最大值出現(xiàn)在同一時刻，但符號相反無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(2) 簡諧振動的位移、速度和加速度之間的關(guān)系求導(dǎo)求導(dǎo) 速度兩個同頻率不同的簡諧振動的合成，如果兩頻率比為有理數(shù)（可通約）時，合成振動為周期振動；為無理數(shù)時，為非周期振動；合成信號：無阻尼單自

7、由度系統(tǒng)的自由振動兩個同頻率不同的簡諧振動的合成，如果兩頻率比為有理數(shù)（可通約拍：合振幅隨時間做周期型變化，振動時而加強、時而減弱.一個拍ABC無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動拍：合振幅隨時間做周期型變化，振動時而加強、時而減弱.一個拍（振幅）例：升降機籠的質(zhì)量為 ，由鋼絲繩牽掛以等速度 向下運動。 鋼絲繩的剛度系數(shù)為 ，質(zhì)量可忽略不計。如果升降機運行中急剎車，鋼絲繩上端突然停止運動，求此時鋼絲繩所受的最大張力。(鋼絲繩最大動張力) （鋼絲繩總張力的最大值） 解: 無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動（振幅）例：升降機籠的質(zhì)量為 ，由鋼絲繩牽掛以等速度 微分方程法：運動微分方程系統(tǒng)的固有頻率4 求單自由度

8、無阻尼系統(tǒng)固有頻率的幾種方法 能量方法： 等效質(zhì)量和等效剛度法：系統(tǒng)的固有頻率等效質(zhì)量等效剛度 靜變形法：無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動equivalent 的前兩個字母 微分方程法：運動微分方程系統(tǒng)的固有頻率4 求單自由度無阻尼有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動第一章：單自由度系統(tǒng)的振動有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動第一章：單自由度系統(tǒng)的振動有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動阻尼：阻礙物體運動，消耗系統(tǒng)能量的各種因素統(tǒng)稱為阻尼。 阻尼的機理十分復(fù)雜，只靠物理學(xué)上的、力學(xué)上的定 理是不能得到實際系統(tǒng)的阻尼的。因此，阻尼往往通 過實驗來確定。阻尼既有有用的一面也有有害的一面： 有用的一面：消耗系統(tǒng)振動能量，減小

9、振動幅值，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性有害的一面：增加運動阻力，降低運動速度有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動阻尼：阻礙物體運動，消耗系統(tǒng)能量牛頓第二定律：自由運動方程：1.自由運動微分方程的建立有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動牛頓第二定律：自由運動方程：1.自由運動微分方程的建立有阻尼阻尼比臨界阻尼系數(shù)2 特征根有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動阻尼比臨界阻尼系數(shù)2 特征根有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(1) 過阻尼情況 特征方程有一對互異實根，故通解為：有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(1) 過阻尼情況 特征方程有一對互異實根，故通解為：有阻尼圖 質(zhì)量塊對初始位移的過阻尼響應(yīng)結(jié)論：過阻尼系統(tǒng)的自由運動為衰減非振蕩運動。 有

10、阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動圖 質(zhì)量塊對初始位移的過阻尼響應(yīng)結(jié)論：過阻尼系統(tǒng)的自由運動為(2) 臨界阻尼情況 特征方程有一對相等實根，故通解：有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(2) 臨界阻尼情況 特征方程有一對相等實根，故通解：有阻尼圖 質(zhì)量塊對初始條件的臨界阻尼響應(yīng)結(jié)論：臨界阻尼系統(tǒng)的自由運動為衰減非振蕩運動。有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動圖 質(zhì)量塊對初始條件的臨界阻尼響應(yīng)結(jié)論：臨界阻尼系統(tǒng)的自由運(3)欠阻尼情況 (阻尼振動頻率)或：欠阻尼系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(3)欠阻尼情況 (阻尼振動頻率)或：欠阻尼系統(tǒng)的有阻尼單自振幅按指數(shù)規(guī)律 衰減； 自由振動具有等時性，即相鄰兩個

11、正（負）峰值之間的時間間隔均為: 阻尼振動周期 自由振動為非周期振動；自由振動曲線(欠阻尼)3. 欠阻尼振動特性：有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動振幅按指數(shù)規(guī)律 衰減； 自由振動具有等時性，即引入對數(shù)衰減率來描述振動衰減的快慢 相鄰的兩次振動振幅之比的自然對數(shù)叫作對數(shù)衰減率。當系統(tǒng)阻尼比較小時，有：有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動引入對數(shù)衰減率來描述振動衰減的快慢 相鄰的兩次振動振幅之比 簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動從數(shù)學(xué)的角度理解共振現(xiàn)象會求單自由度有阻尼系統(tǒng)的受迫振動響應(yīng)會根據(jù)幅頻特性曲線計算系統(tǒng)的阻尼比掌握單自由度有阻尼系統(tǒng)的受迫振動的特征第一章：單自由度系統(tǒng)的

12、振動 簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動受迫振動:受迫振動方程： 系統(tǒng)在持續(xù)的外界控制的激勵的作用下所發(fā)生的振動。激勵受外界控制，與振動系統(tǒng)本身無關(guān)自激振動方程（顫振）： 激勵受系統(tǒng)控制，受振動系統(tǒng)的運動控制自激振動:系統(tǒng)在自身控制的激勵的作用下所發(fā)生的振動。簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動受迫振動:受迫振動方程： 系統(tǒng)受迫振動方程： 非齊次通解齊次通解非齊次特解=齊次方程通解： 簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動理解共振現(xiàn)象的數(shù)學(xué)本質(zhì)受迫振動方程： 非齊次通解齊次通解非齊次特解=齊次方程通解1.如果 非齊次方程通解： 由初始條件和外力引起的 自由振

13、動部分 與外激勵頻率相同的受迫 振動部分 特解： 待定常數(shù)： 簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動1.如果 非齊次方程通解： 由初始條件和外力引起的 與外激2.如果 特解： 特解的形式： 非齊次方程通解： 待定常數(shù)： 簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動2.如果 特解： 特解的形式： 非齊次方程通解： 待定常數(shù)：圖 共振響應(yīng) 簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動圖 共振響應(yīng) 簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動【思考】：實際系統(tǒng)在共振時，其振幅會是無限大么？ 1.實際系統(tǒng)都存在阻尼，阻尼能夠使系統(tǒng)在共振時維持有限的振幅。 2.當振幅增大到一定程度后，支配系統(tǒng)運動的微分方程已經(jīng)不再是 線性微分方程了，而是非線性運動微分

14、方程，所以此時根據(jù)線性 運動方程得到的結(jié)果已經(jīng)不能反映實際情況了。簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動【思考】：實際系統(tǒng)在共振時，其振幅會是無限大么？ 1.實際系求齊次方程通解 1.簡諧激勵下受迫振動的解運動方程：求非齊次方程特解 特解的形式：圖 阻尼受迫振動系統(tǒng) 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動求齊次方程通解 1.簡諧激勵下受迫振動的解運動方程：求非齊次完整的受迫振動解： 瞬態(tài)振動 穩(wěn)態(tài)振動受迫振動響應(yīng)的特征： 總的振動響應(yīng)瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動的疊加； 隨著時間的增加，瞬態(tài)振動消失，響應(yīng)主要由穩(wěn)態(tài)振動構(gòu)成； 穩(wěn)態(tài)振動與激勵同頻，但與激勵之間有相位差; 穩(wěn)態(tài)振動的振幅和相位差與初始條件無關(guān)，初始條件只影

15、響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動。 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動完整的受迫振動解： 瞬態(tài)振動 穩(wěn)態(tài)振動受迫振動響應(yīng)的特征圖 受迫振動的構(gòu)成 0246810-2-1012B0瞬態(tài)振動完整受迫振動穩(wěn)態(tài)振動ut簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動圖 受迫振動的構(gòu)成 0246810-2-1012B0瞬態(tài)振動引入兩個無量綱參數(shù)：穩(wěn)態(tài)振動：頻率比：位移振幅放大因子： 位移幅頻特性簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動引入兩個無量綱參數(shù)：穩(wěn)態(tài)振動：頻率比：位移振幅放大因子： 位0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1圖 位移幅頻特性 頻率比對位移響應(yīng)幅值的影響： 低頻段： 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動

16、0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bd高頻段： 解釋：激振力的方向改變過快，振動物體由于慣性來不及發(fā)生相應(yīng)的變化，結(jié)果是近似地停著不動。簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1圖 位移幅頻特性 高頻段： 解釋：激振力的方向改變過快，振動物體由于慣性來不及圖 位移幅頻特性 位移共振： 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1圖 位移幅頻特性 位移共振： 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動阻尼比對位移響應(yīng)幅值的影響： 阻尼在共振區(qū), 對減小振幅有顯著作用；在

17、遠離共振區(qū)，阻尼對減小振幅的作用不大簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動圖 位移幅頻特性 0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1阻尼比對位移響應(yīng)幅值的影響： 阻尼在共振區(qū), 圖 位移相頻特性 0123-p-p/20z=0.2z=0.1z=0.707z=0.01ydl低頻段： 說明響應(yīng)與激勵之間幾乎是同相的。 相位差隨頻率比的變化： 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動圖 位移相頻特性 0123-p-p/20z=0.2z=0.1高頻段： 說明響應(yīng)與激勵之間是反相的。 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動圖 位移相頻特性 0123-p-p/20z=0.2z=0.1z=0.707z=

18、0.01ydl高頻段： 說明響應(yīng)與激勵之間是反相的。 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)位移共振： 說明響應(yīng)與激勵之間相差90度。 簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動圖 位移相頻特性 0123-p-p/20z=0.2z=0.1z=0.707z=0.01ydl位移共振： 說明響應(yīng)與激勵之間相差90度。 簡諧激勵下有阻尼共振：0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1統(tǒng)一規(guī)定，頻率比 時發(fā)生共振。共振時：簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動共振：0123012345z=0.707z=0.2z=0.0隔振: 在設(shè)備和基礎(chǔ)之間加入彈性支撐來減小相互之間所傳遞的振動量。圖 鍛錘的彈性支撐振動的隔離

19、隔振: 在設(shè)備和基礎(chǔ)之間加入彈性支撐來減小相互之間所傳遞的振為什么以較快的速度通過凹凸不平的路面時，我們會自然而然地將臀部抬起?【生活中不自覺地運用隔振原理的例子2】：振動的隔離為什么以較快的速度通過凹凸不平的路面時，我們會自然而然地將臀第一類隔振（隔力）：通過彈性支撐隔離振源傳到基礎(chǔ)的力；設(shè)備(振源)彈性支承基礎(chǔ)圖 隔力示意圖振動的隔離第一類隔振（隔力）：通過彈性支撐隔離振源傳到基礎(chǔ)的力；設(shè)備(第二類隔振（隔幅）：通過彈性支撐減小基礎(chǔ)傳到設(shè)備的振動幅值；圖 隔幅示意圖設(shè)備彈性支承基礎(chǔ)(振源)振動的隔離第二類隔振（隔幅）：通過彈性支撐減小基礎(chǔ)傳到設(shè)備的振動幅值；經(jīng)隔振器傳到基礎(chǔ)的彈性力和阻尼力

20、分別為：圖 隔力問題的力學(xué)模型設(shè)備(振源)基礎(chǔ) 第一類隔振（隔力）設(shè)備(振源)彈性支承基礎(chǔ)振動的隔離【隔振的評價】經(jīng)隔振器傳到基礎(chǔ)的彈性力和阻尼力分別為：圖 隔力問題的力學(xué)模力傳遞率：圖 隔力問題的力學(xué)模型隔力的條件：傳到基礎(chǔ)上的合力的幅值：振動的隔離力傳遞率：圖 隔力問題的力學(xué)模型隔力的條件：傳到基礎(chǔ)上的合力圖 絕對運動傳遞率幅頻特性絕對運動傳遞率：2. 第二類隔振(隔幅)設(shè)備彈性支承基礎(chǔ)(振源)設(shè)備基礎(chǔ)(振源)圖 隔幅問題的力學(xué)模型振動的隔離圖 絕對運動傳遞率幅頻特性絕對運動傳遞率：2. 第二類隔振(周期激勵下的振動分析任意激勵下的振動分析 理解周期激勵下受迫振動的求解思路第一章：單自由度

21、系統(tǒng)的振動周期激勵下的振動分析任意激勵下的振動分析 理解周期激勵下受迫當外激勵不是簡諧激勵，而是一般的周期激勵，受迫振動如何求？周期激勵下的振動分析當外激勵不是簡諧激勵，而是一般的周期激勵，受迫振動如何求？周【思路】：線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)疊加原理周期激勵線性系統(tǒng)周期激勵下的振動分析【思路】：線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)疊加原理周期激勵線如果周期函數(shù)滿足狄利赫萊條件：1. 在一個周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目是有限個；2. 在一個周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點數(shù)目為有限個；3. 在一個周期內(nèi)，函數(shù)絕對值的積分為有限值，即：周期為 T0 的函數(shù) f(t) 可展開成如下形式的傅立葉級

22、數(shù)：其中：基頻傅立葉級數(shù)展開：周期激勵下的振動分析如果周期函數(shù)滿足狄利赫萊條件：1. 在一個周期內(nèi)，極大值和極另一種形式：一個周期內(nèi)的平均值(直流分量)各階諧波分量在 f(t)中所占的份量周期激勵下的振動分析另一種形式：一個周期內(nèi)的平均值各階諧波分量在 f(t)中所占系統(tǒng)周期激勵下的振動分析周期激勵下的振動分析穩(wěn)態(tài)解：周期激勵下的振動分析穩(wěn)態(tài)解：周期激勵下的振動分析函數(shù)：且面積為1 函數(shù)的單位:為自變量的倒數(shù)，如自變量是時間，則單位是1s。在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中，用 函數(shù)，理解時用 函數(shù)理解。在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中，用 函數(shù)，理解時用 函數(shù)理解。任意激勵下的振動分析函數(shù)：且面積為1 函數(shù)的單位:為自變量的倒數(shù)，如自變量是時脈沖力的表示：作用在 時刻沖量為I 的脈沖力脈沖力開始作用時刻脈沖力的沖量為脈沖力停止作用時刻作用在 時刻單位脈沖力任意一個量與 函數(shù)相乘后得到的是相應(yīng)于該量的分布量任意激勵下的振動分析脈沖力的平均值面積為1脈沖力的表示：作用在 時刻沖量為I 的脈沖力脈沖力集中力集中力矩將集中力轉(zhuǎn)化為分布力將集中力矩轉(zhuǎn)化為分布力矩任意激勵下的振動分析