1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試天津文科數(shù)學(xué)本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時(shí)120分鐘.第卷1至2頁(yè),第卷3至5頁(yè).答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí),考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上,答在試卷上的無(wú)效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第卷注意事項(xiàng):1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2.本卷共8小題,每小題5分,共40分.參考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).柱體的體積公式V

2、=Sh,其中S表示柱體的底面面積,h表示柱體的高.錐體的體積公式V=13Sh,其中S表示錐體的底面面積,h表示錐體的高一、選擇題:在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015天津,文1)已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合A=2,3,5,集合B=1,3,4,6,則集合AUB=()A.3B.2,5C.1,4,6D.2,3,5答案:B解析:UB=2,5,A=2,3,5,AUB=2,5.故選B.2.(2015天津,文2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x-20,x-2y0,x+2yA.7B.8C.9D.14答案:C解析:畫出題中約束條件滿足的可行域,如圖中陰影所示.目標(biāo)函數(shù)z=3x

3、+y可化為y=-3x+z,平移目標(biāo)函數(shù)線當(dāng)其過(guò)點(diǎn)A時(shí),z取最大值.由x=2,x+2y-8=0得x=2,y=3.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3),3.(2015天津,文3)閱讀下邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出i的值為()A.2B.3C.4D.5答案:C解析:第一次循環(huán),得i=1,S=9,不滿足S1,進(jìn)入循環(huán)體;第二次循環(huán),得i=2,S=7,不滿足S1,進(jìn)入循環(huán)體;第三次循環(huán),得i=3,S=4,不滿足S1,進(jìn)入循環(huán)體;第四次循環(huán),得i=4,S=0,滿足S1,終止循環(huán),輸出i=4.4.(2015天津,文4)設(shè)xR,則“1x2”是“|x-2|1”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條

4、件D.既不充分也不必要條件答案:A解析:由|x-2|1解得1x3.因?yàn)椤?x2”能推出“1x3”,“1x3”推不出“1x2”,所以“1x2”是“|x-2|0,b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2A.x29-y213=C.x23-y2=1D.x2-y答案:D解析:由題意知,雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,因?yàn)樵撾p曲線的漸近線與圓(x-2)2+y2=3相切,所以2ba1+ba2=3,又因?yàn)閏2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求雙曲線的方程為x2-y23=6.(2015天津,文6)如圖,在圓O中,M,N是弦AB的三等分點(diǎn),弦CD,CE分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,

5、N.若CM=2,MD=4,CN=3,則線段NE的長(zhǎng)為()A.83B.C.103D.答案:A解析:由相交弦定理,得CM因?yàn)镸,N是弦AB的三等分點(diǎn),所以AM=MN=NB,MB=AN.所以AMMB=ANNB.所以CMMD=CNNE,即24=3NE,解得NE=837.(2015天津,文7)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.abcB.cabC.acbD.cba答案:B解析:f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)為偶函數(shù),2|x+m|-1=2|x-m|

6、-1對(duì)任意的xR恒成立,解得m=0.f(x)=2|x|-1,且f(x)在0,+)上為增函數(shù).a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0log23log25,f(0)f(log23)f(log25),即ca2,函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=fA.2B.3C.4D.5答案:A解析:因?yàn)閒(x)=2+所以f(2-x)=2+(2-f(x)+f(2-x)=x所以函數(shù)y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=x其圖象如圖所示.顯然函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).第卷注意事項(xiàng):1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上

7、.2.本卷共12小題,共110分.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.(2015天津,文9)i是虛數(shù)單位,計(jì)算1-2i2+i的結(jié)果為.答案:-i解析:1-2i2+i=(1-2i)(2-i)10.(2015天津,文10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.答案:8解析:由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)組合體,左、右兩邊是兩個(gè)相同的圓錐,底面半徑為1,高為1;中間是一個(gè)圓柱,底面半徑為1,高為2,所以該幾何體的體積V=213121+122=23+211.(2015天津,文11)已知函數(shù)f(x)=axln x,x(0,+),其中a為實(shí)數(shù),f(x)為f(x)的

8、導(dǎo)函數(shù),若f(1)=3,則a的值為.答案:3解析:因?yàn)閒(x)=axln x,所以f(x)=aln x+ax1x=a(ln x+1).由f(1)=3得a(ln 1+1)=3,所以a=312.(2015天津,文12)已知a0,b0,ab=8,則當(dāng)a的值為時(shí),log2alog2(2b)取得最大值.答案:4解析:由題意知log2alog2(2b)log2a當(dāng)且僅當(dāng)log2a=log2(2b),即a=2b時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)閍b=8,且a0,所以a=4.13.(2015天津,文13)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且BE=23BC,D

9、F=答案:29解析:由平面幾何知識(shí)可求得CD=1.由BE=2AEAF=(AB+BE)=AB=AB=AB=|AB|AD|cos 60+11222+23|BC|AD|cos 60+118|BC|=2112+13+2311=5=291814.(2015天津,文14)已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x(0),xR.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,則的值為.答案:解析:f(x)=sin x+cos x=2sinx+4,由2k-2x+42k+2,kZ,解得2k-34x2k而f(x)在區(qū)間(-,)內(nèi)單調(diào)遞增,所以2k因?yàn)?0,所以只能取k=0,這時(shí)有0

10、0.由已知,有2q2-3d=2,q4-3d=10,消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因?yàn)閝所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1,nN*;數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-1,nN*.(2)由(1)有cn=(2n-1)2n-1,設(shè)cn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,上述兩式相減,得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以,Sn=(2n-3)2n+3,nN*.19.(本小題滿分14分)(2015

11、天津,文19)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的上頂點(diǎn)為(1)求直線BF的斜率;(2)設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P(P異于點(diǎn)B),過(guò)點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q(Q異于點(diǎn)B),直線PQ與y軸交于點(diǎn)M,|PM|=|MQ|.求的值;若|PM|sinBQP=759,解:(1)設(shè)F(-c,0).由已知離心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,又因?yàn)锽(0,b),F(-c,0),故直線BF的斜率k=b-00-(-c(2)設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).由(1)可得橢圓的方程為x25c2+y24c2=1,直線BF的方程為y=2x+2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立

12、,消去y,整理得3x2+因?yàn)锽QBP,所以直線BQ的方程為y=-12x+2c,與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40又因?yàn)?|PM|MQ|,及xM=0,由有|PM|MQ|=78,所以|PM|PM|+|MQ|=77+8=715,即|PQ|=157|PM|.又因?yàn)閨PM|sinBQP=759,所以|BP|=|PQ|sinBQP=157|PM|sinBQP=553.所以,橢圓方程為x25+20.(本小題滿分14分)(2015天津,文20)已知函數(shù)f(x)=4x-x4,xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程

13、為y=g(x),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x);(3)若方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,且x10,即x1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f(x)1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+).(2)證明:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0),則x0=413,f(x0)=-12.曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y=f(x0)(x-x0),即g(x)=f(x0)(x-x0).令函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f(x0)(x-x0),則F(x)=f(x)-f(x0由于f(x)=-4x3+4在(-,+)上單調(diào)遞減,故F(x)在(-,+)上單調(diào)遞減.又因?yàn)镕(x0)=0,所以當(dāng)x(-,x0)時(shí),F(x)0,當(dāng)x(x0,+)時(shí),F(x)0,所以F(x)在(-,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,+)上單調(diào)遞減,所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,F(x)F(x0)=0,即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x).(3)證明:由(2)知g(x)=-12(x-413).設(shè)方程g(x)=a的根為x2,可得x2=-a1