1、PAGE14第5講解三角形應(yīng)用舉例考綱解讀1能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題重點(diǎn)2利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立三角函數(shù)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題難點(diǎn)考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)考查內(nèi)容預(yù)計(jì)2022年會(huì)強(qiáng)化對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的考查以與三角形有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題為主要命題方向，結(jié)合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量，實(shí)際背景中求距離、高度、角度等均可作為命題角度試題可以為客觀題也可以是解答題，難度以中檔為主1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線eqo,su，B，C兩地間的距離為20m，現(xiàn)測(cè)得ABC120，則

2、A，C兩地間的距離為A10mB10eqr3mC10eqr5mD10eqr7m答案D解析由余弦定理可得，AC2AB2CB22ABCBcos12010220221020eqblcrcavs4alco1f1,2700AC10eqr7m2如圖，為測(cè)一樹(shù)的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，在A，B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹(shù)頂?shù)难鼋菫?0，45，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為10m，則樹(shù)的高度h為A55eqr3mB3015eqr3mC1530eqr3mD153eqr3m答案A解析在3如圖，從無(wú)人機(jī)A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時(shí)無(wú)人機(jī)的高度是46m，則河流的寬度BC約等于_m用四舍五入法將結(jié)果精確到

3、個(gè)位參考數(shù)據(jù)：sin67，cos67，sin37，cos37，eqr3答案60解析由圖可知，ABeqf46,sin67，在ABC中，由正弦定理可知eqfAB,sin30eqfBC,sin37，所以BCeqfABsin37,sin30eqf46sin37,sin67sin30eqf46,60m4在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10eqr3m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，則的大小為_(kāi)答案15解析在ACD中，ACBC30，ADCD10eqr3，ADC1804，由正弦定理得eqf10r3,sin2eqf30,sin1804，所以e

4、qf10r3,sin2eqf30,2sin2cos2，cos2eqfr3,2，所以230，15題型eqavs4al一測(cè)量距離問(wèn)題1一艘船以每小時(shí)15m的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60方向，行駛4h后，船到達(dá)B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為A15eqr2mB30eqr2mC45eqr2mD60eqr2m答案B解析作出示意圖如圖所示，依題意有AB15460，DAC60，CBM15，MAB30，AMB45在AMB中，由正弦定理，得eqf60,sin45eqfBM,sin30，解得BM30eqr22如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測(cè)出A，

5、B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CDa，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA，ACD，CDB，BDA在ADC和BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出AC和BC，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB若測(cè)得CDeqfr3,2m，ADBCDB30，ACD60，ACB45，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)m答案eqfr6,4解析ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDCeqfr3,2m在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCeqfDC,sinDBCsinBDCeqffr3,2,sin45sin30eqfr6,4在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos45eqf3,4eqf

6、3,82eqfr3,2eqfr6,4eqfr2,2eqf3,8ABeqfr6,4mA，B兩點(diǎn)間的距離為eqfr6,4m1測(cè)量距離問(wèn)題，無(wú)論題型如何變化，即兩點(diǎn)的情況如何變化，實(shí)質(zhì)都是要求這兩點(diǎn)間的距離，無(wú)非就是兩點(diǎn)所在三角形及其構(gòu)成元素的所知情況不同而已，恰當(dāng)?shù)禺?huà)出找出適合解決問(wèn)題的三角形是解題的基礎(chǔ)，將已知線段長(zhǎng)度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長(zhǎng)和角是解題的關(guān)鍵2求距離問(wèn)題的兩個(gè)策略選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理2022廣州模擬如圖，在海岸

7、線上相距2eqr6千米的A，C兩地分別測(cè)得小島B在A的北偏西方向，在C的北偏西eqf,2方向，且coseqfr6,3，則B，C之間的距離是A30eqr3千米B30千米C12eqr3千米D12千米答案D解析由題意得AC2eqr6，sinAsineqblcrcavs4alco1f,2coseqfr6,3，sinBsineqblcrcavs4alco1f,22cos22cos21eqf1,3，在ABC中，由正弦定理得BCeqfACsinA,sinBeqf2r6fr6,3,f1,312，則C與B的距離是12千米題型eqavs4al二測(cè)量高度問(wèn)題12022山西五校聯(lián)考飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，

8、已知飛機(jī)的高度為海拔15000m，速度為1000m/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?5，經(jīng)過(guò)108s后又看到山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮０胃叨葹開(kāi)m取eqr3答案6340解析108s，AB100030mC751560，eqfAB,sin60eqfBC,sin15，BCeqfABsin15,sin60C到AB邊的距離為hBCsin7520eqr3sin15sin7510eqr3sin305eqr35山頂?shù)暮０胃叨葹?5m6340m22022福州質(zhì)檢如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車(chē)在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，且BAC135若山高AD1

9、00m，汽車(chē)從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14s，則這輛汽車(chē)的速度約為_(kāi)m/s精確到參考數(shù)據(jù)：eqr2，eqr5答案解析因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，所以BAD60，CAD45設(shè)這輛汽車(chē)的速度為vm/s，則BC14v在RtADB中，ABeqfAD,cosBADeqfAD,cos60200在RtADC中，ACeqfAD,cosCADeqf100,cos45100eqr2在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以14v2100eqr2220222100eqr2200cos135，所以veqf50r10,7，所以這輛汽車(chē)的速度約為s條件探究將舉例說(shuō)明2中的

10、條件改為“如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到B處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂A在西偏北30的方向上，行駛600m后到達(dá)C處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30”，求此山的高度AD解由題意，在BCD中，CBD30，BCD18075105，故BDC45又BC600m，故由正弦定理得eqf600,sin45eqfCD,sin30，解得CD300eqr2m在RtACD中，ADCDtan30300eqr2eqfr3,3100eqr6m求解高度問(wèn)題的注意事項(xiàng)1理解仰角、俯角它是在鉛垂面上所成的角、方向位角它是在水平面上所成的角等的定義2在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面地面同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)

11、最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)3注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題1如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15，山腳A處的俯角為45，已知BAC60，則山的高度BC為A700mB640mC600mD560m答案C解析在RtAMD中，AMeqfMD,sin45eqf400,fr2,2400eqr2，在MAC中，AMC451560，MAC180456075，MCA180AMCMAC45，由正弦定理得ACeqfAMsinAMC,sinMCAeqf400r2fr3,2,fr2,2400eqr3在RtABC中，BCACs

12、inBAC400eqr3eqfr3,2600m2如圖所示，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60已知山高BC100m，則山高M(jìn)N_m答案150解析在ABC中，AC100eqr2，在MAC中，eqfMA,sin60eqfAC,sin45，解得MA100eqr3，在MNA中，eqfMN,100r3sin60eqfr3,2，故MN150，即山高M(jìn)N為150m題型eqavs4al三測(cè)量角度問(wèn)題在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每

13、小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的正弦值解如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)小時(shí)后在C處攔截住藍(lán)方的小艇，則AC14，BC10，ABC120根據(jù)余弦定理得142122102240cos120，解得2故AC28，BC20根據(jù)正弦定理得eqfBC,sineqfAC,sin120，解得sineqf20sin120,28eqf5r3,14所以紅方偵察艇所需的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為eqf5r3,14解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)1測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義2求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值3在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在A處的正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在A處的南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B