1、教學(xué)大綱 課程編號：13000071課程名稱：數(shù)值分析 （Numerical Analysis）學(xué)分：4 總學(xué)時：72學(xué)時分配：課時總學(xué)時：64學(xué)時。其中：理論課學(xué)時：60學(xué)時；習(xí)題課學(xué)時：12學(xué)時；實驗學(xué)時：課內(nèi)0學(xué)時，課外16學(xué)時。適應(yīng)專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)預(yù)修課程：數(shù)學(xué)分析/高等數(shù)學(xué)，高等代數(shù)/線性代數(shù) 課程教學(xué)目標(biāo)： 數(shù)值分析是研究利用計算機求解各種數(shù)學(xué)模型的數(shù)值計算方法及理論，包括誤差基本理論、插值方法、函數(shù)逼近、數(shù)值微分與積分、常微分方程數(shù)值解、非線性方程組數(shù)值解法、矩陣特征值計算等經(jīng)典問題的數(shù)值方法與基本理論。通過本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握數(shù)值分析的基本思想、基本方

2、法和基本理論，具備一定的設(shè)計、分析和實現(xiàn)算法的能力，培養(yǎng)應(yīng)用計算機進行科學(xué)與工程計算的能力，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機解決實際問題的能力。 教學(xué)要求： 通過本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握數(shù)值計算的基本理論和方法：掌握數(shù)值逼近、數(shù)值微分與積分、微分方程初值問題、方程（組）求根的直接與迭代解法及矩陣特征值計算等方面的基本理論及經(jīng)典算法，并能對算法進行誤差分析。能使用計算機對基本數(shù)值計算問題進行求解，能初步用數(shù)值分析方法進行算法分析，為解決較復(fù)雜的實際科學(xué)與工程計算問題打下必要的基礎(chǔ)。教學(xué)方法： 將多媒體教學(xué)和傳統(tǒng)的黑板板書教學(xué)相結(jié)合。在背景知識的講解、數(shù)值方法的意義以及計算實例的程序演示時，應(yīng)充分發(fā)揮多

3、媒體直觀生動的優(yōu)勢，幫助學(xué)生進行感性認(rèn)識。在算法推導(dǎo)、理論分析等方面，可采用傳統(tǒng)的板書講解，引導(dǎo)學(xué)生去感受和思考數(shù)學(xué)邏輯的過程以及創(chuàng)造性的思維過程，加深對數(shù)學(xué)理論的理解和認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯和思維能力。在課堂教學(xué)中應(yīng)將課堂講解、課堂提問、課堂討論相結(jié)合，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。在課外已到學(xué)生積極開展數(shù)值試驗，撰寫實驗報告、讓學(xué)生在初步開展科研工作方面得到更好、更有效的訓(xùn)練。課程主要內(nèi)容： 第一章 緒論 1該章的基本要求與基本知識點：（1）了解數(shù)值分析的特點及其研究對象；（2）了解誤差來源，掌握誤差的基本概念與數(shù)值的精度表示；（3）掌握數(shù)值運算中的基本方法與原則；（4）向量和矩陣的范數(shù)。2要求學(xué)

4、生掌握的基本概念、理論、原理：誤差，絕對誤差，相對誤差，有效數(shù)字，收斂性。3教學(xué)重點與難點：絕對誤差與相對誤差，以及它們與有效數(shù)字的關(guān)系。第二章 插值與擬合1該章的基本要求與基本知識點：多項式插值部分：（1）掌握多項式插值公式存在的唯一條件及其余項表達式的推導(dǎo)；（2）掌握Lagrange插值多項式的構(gòu)造、其基函數(shù)的性質(zhì)與截斷誤差的估計；（3）會構(gòu)造Newton插值多項式的，掌握差商、差分的性質(zhì)與計算；（4）掌握兩種典型的Hermite插值多項式的構(gòu)造；（5）能論述高次與分段低次多項式插值的收斂性和穩(wěn)定性，并能構(gòu)造分段線性插值及分段兩點三次Hermite插值；（6）理解三次樣條函數(shù)及三次樣條插值

5、函數(shù)的定義及其構(gòu)造方法；（7）了解這幾種插值的聯(lián)系及區(qū)別并能熟練地進行運算。擬合部分：（1）熟知正交多項式的有關(guān)性質(zhì)，能用正交多項式獲得最佳平方逼近多項式及近似最佳一致逼近多項式；（2）理解最佳平方逼近和最佳一致逼近的概念；（3）能正確應(yīng)用法方程組，獲得最佳平方逼近函數(shù)；（4）會用Chebyshev逼近定理去構(gòu)造最佳逼近函數(shù)；（5）掌握曲線擬合的最小二乘法，并能應(yīng)用該方法解決一些實際問題。2要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、原理：Lagrange插值方法，均插與Newton插值法，Hermite插值法以及三次樣條的構(gòu)造，逼近的基本概念與基本理論，最佳平方逼近，最小二乘法，Legendre與Cheb

6、yshev正交多項式。3教學(xué)重點與難點：Lagrange插值方法，均差與Newton插值法以及分段低次插值法，三次樣條的構(gòu)造，最佳平方逼近。4習(xí)題課安排：本章內(nèi)容總結(jié)、典型及重點習(xí)題選講。第三章 數(shù)值積分和數(shù)值微分1該章的基本要求與基本知識點：（1）理解數(shù)值積分的基本思想，掌握代數(shù)精度的概念；（2）掌握插值型求積公式、NewtonCotes公式、復(fù)化求積公式以及Romberg方法；（3）了解Gauss求積公式的基本概念，掌握GaussLegendre低次求積方法。2要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、原理：代數(shù)精度的概念，NewtonCotes公式，復(fù)化求積方法，Romberg方法以及Gauss求積

7、公式。3教學(xué)重點與難點：NewtonCotes公式，復(fù)化求積思想，Romberg法、Gauss求積公式。4習(xí)題課安排：本章內(nèi)容總結(jié)、典型及重點習(xí)題選講。第四章：線性方程組的直接解法1該章的基本要求與基本知識點：（1）掌握Gauss消去法及主元Gauss消去法；（2）掌握向量與矩陣范數(shù)的基本概念；（3）掌握LU分解，正定對稱陣的分解；（4）了解誤差分析的基本方法。2要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、原理：向量與矩陣范數(shù)的定義及其各種形式，會直接求解線性方程組。3教學(xué)重點與難點：向量與矩陣范數(shù)，矩陣分解的理論和方法。4習(xí)題課安排：本章內(nèi)容總結(jié)、典型及重點習(xí)題選講。第五章：線性方程組的迭代解法1該章的基

8、本要求與基本知識點：（1）掌握J(rèn)acobi與GaussSeidel迭代算法。（2）會分析迭代法的收斂性，理解超松弛迭代算法。2要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、原理：Jacobi迭代算法，GaussSeidel迭代算法，SOR方法，迭代法的收斂條件。3教學(xué)重點與難點：算法的設(shè)計與實現(xiàn)及其收斂性。4習(xí)題課安排：本章內(nèi)容總結(jié)、典型及重點習(xí)題選講。第六章：非線性方程的數(shù)值解法1該章的基本要求與基本知識點：（1）掌握迭代算法的基本思想及收斂條件；（2）掌握Newton迭代法及收斂條件；（3）了解弦截法及拋物線法；（4）會使用收斂加速技巧。2要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、原理：不動點理論，迭代法的基本思想，

9、Newton迭代法，弦截法及拋物線法，迭代方法的收斂性分析，收斂加速技巧。3教學(xué)重點與難點：不動點理論，迭代法的基本思想及收斂性分析。4習(xí)題課安排：本章內(nèi)容總結(jié)、典型及重點習(xí)題選講。第七章：矩陣特征值問題的數(shù)值解法1該章的基本要求與基本知識點：（1）掌握冪法、反冪法，了解Jacobi方法；（2）理解Householder約化矩陣的基本思想；（3）掌握QR算法。2要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、原理：冪法、反冪法、Householder變換、旋轉(zhuǎn)矩陣；QR分解及QR算法。3教學(xué)重點與難點：冪法，反冪法，Householder變換，旋轉(zhuǎn)矩陣，QR分解和QR算法。4習(xí)題課安排：本章內(nèi)容總結(jié)、典型及重點

10、習(xí)題選講。第八章：常微分方程的數(shù)值解法1該章的基本要求與基本知識點：（1）理解Euler方法以及RungeKutta方法的基本思想；（2）掌握改進的Euler方法和四階RungeKutta方法；（3）了解線性多步方法以及Adams預(yù)測-校正系統(tǒng)。2要求學(xué)生掌握的基本概念、理論、原理：Euler方法以及RungeKutta方法的基本思想，經(jīng)典RungeKutta方法，線性多步方法以及Adams預(yù)測-校正系統(tǒng)，算法的穩(wěn)定性、相容性及收斂性。3教學(xué)重點與難點：問題的適定性，算法的穩(wěn)定性、相容性及收斂性，Euler方法，RungeKutta方法以及Adams預(yù)測-校正系統(tǒng)。4習(xí)題課安排：本章內(nèi)容總結(jié)、

11、典型及重點習(xí)題選講。主要參考教材： 1韓旭里，數(shù)值分析，高等教育出版社，2011年。（主講教材）2韓旭里，萬中，數(shù)值分析與實驗，北京：科學(xué)出版社，2006年。3李慶揚，王能超，易大義，數(shù)值分析，武漢：華中科技大學(xué)出版社，1986。4鄧建中，劉之行，計算方法，西安：西安交通大學(xué)出版社，2001。5關(guān) 治，陸金甫，數(shù)值分析基礎(chǔ)，北京：高等教育出版社，1998。 學(xué)時分配 (下面是按教學(xué)內(nèi)容進行學(xué)時分配。實際教學(xué)時，可根據(jù)情況采取如下方案：先進行基本內(nèi)容教學(xué)，壓縮適當(dāng)課時，再進行算法設(shè)計與數(shù)值試驗的教學(xué)，然后再進行綜合復(fù)習(xí)與知識擴展的教學(xué)。通過多個環(huán)節(jié)教學(xué)，鞏固和加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解。)序號內(nèi)

12、容學(xué) 時 安 排小計理論課時實驗課時習(xí)題課時上機課時1.緒論442插值91課后210逼近51課后263數(shù)值積分82課后2104線性方程組求解-直接解法51課后265線性方程組求解-迭代解法51課后266非線性方程求解62課后287特征值計算10課后2108常微初值問題82課后2109總復(fù)習(xí)22總 計121672數(shù)值分析實踐教學(xué)方案課程編號：13000071課程名稱：數(shù)值分析英文名稱：Numerical Analysis適應(yīng)專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 信息與計算科學(xué)1方案的任務(wù)、性質(zhì)和目的 本方案是數(shù)值分析課程的配套實踐環(huán)節(jié)，旨在引導(dǎo)學(xué)生使用計算機開展數(shù)值試驗，掌握數(shù)值算法和程序設(shè)計的基本原理和技能

13、。學(xué)生通過選擇算法、編寫程序、分析數(shù)值結(jié)果、寫數(shù)值實驗報告、課堂討論等環(huán)節(jié)的綜合訓(xùn)練，從而逐步掌握數(shù)值試驗的方法和技巧，獲得多方面的計算經(jīng)驗。 2基本內(nèi)容 本課程主要涉及數(shù)值分析(計算方法)的經(jīng)典理論和方法，以及這些方法的基本算法，主要包括以下內(nèi)容：（1）插值和擬合（2）數(shù)值積分與數(shù)值微分（3）線性方程組的直接解法（4）線性方程組的迭代解法（5）非線性方程和方程組的數(shù)值解法（6）矩陣特征值問題的數(shù)值解法（7）常微分方程的數(shù)值解法 3實驗方式與基本要求 實驗?zāi)康氖鞘箤W(xué)生進一步加深對數(shù)值分析的基本概念和計算方法的認(rèn)識，通過實踐了解這些算法的實現(xiàn)手段。實驗方式： 該課程主要由七部分組成；每一部分由任

14、課教師指定一數(shù)值試驗題由學(xué)生于課外完成， 內(nèi)容可參考數(shù)值實驗題；由指導(dǎo)教師講解實驗的基本要求，提示算法的基本思想；實驗一人一組，獨立完成實驗的演示、驗證和代碼編寫；在給定的時間內(nèi)，學(xué)生實驗完成情況以書面的實驗報告形式上交任課教師，該項作為平時成績評定的主要依據(jù)。 4實驗項目設(shè)置與內(nèi)容提要 1 拉格朗日（Lagrange）插值實驗 實驗?zāi)康模河肔agrange方法直接計算插值多項式，觀察龍格（Runge）現(xiàn)象。 內(nèi)容簡介： 由給定的Runge現(xiàn)象的插值數(shù)據(jù),利用Lagrange方法構(gòu)造基函數(shù), 生成插值函數(shù), 并畫圖演示，計算其截斷誤差.2 Romberg外推積分法實驗 實驗?zāi)康? 加深外推法的

15、原理理解, 掌握Romberg外推法的計算方法。 內(nèi)容簡介: 對外推法的基本算法實施編程, 并驗證計算結(jié)果的收斂情況。3 線性方程組的直接解法實驗 實驗?zāi)康? 加深理解高斯直接消去法和選主元消去法，掌握系數(shù)矩陣的三角分解方法的具體算法，并利用三角分解求解線性方程組。 內(nèi)容簡介: 具體對數(shù)值實驗的一個習(xí)題用選主元消去法編程、求解和應(yīng)用三角分解法求解方程組，比較兩個方法的不同和優(yōu)劣。4 線性方程組迭代法求解實驗 實驗?zāi)康? 加深理解Jacobi迭代方法和Gauss-Seidel迭代方法，了解SOR迭代方法，觀察松弛因子變化對解的影響。 內(nèi)容簡介: 具體對數(shù)值實驗的一個習(xí)題用Gauss-Seidel

16、迭代方法編程、求解, 并對不同的常向量擾動觀察其解的變化。5 Newton迭代方法實驗 實驗?zāi)康? 掌握Newton迭代，簡化牛頓迭代求非線性方程的解。 內(nèi)容簡介：具體對數(shù)值實驗的一個習(xí)題用Newton迭代方法編程、求解, 并分析其解的收斂情況。6 特征值和特征向量求解實驗 實驗?zāi)康模赫莆諆绶ê头磧绶ǖ木唧w算法，理解原點位移法求解矩陣特征值和特征向量。 內(nèi)容簡介：具體對數(shù)值實驗的一個習(xí)題用原點位移法編程, 求解矩陣的特征值和特征向量, 并分析其解的收斂情況。7 常微分方程的數(shù)值解法試驗 實驗?zāi)康模赫莆粘踔祮栴}數(shù)值解法的常用解法和具體算法，加深理解初值問題數(shù)值解法的收斂性和穩(wěn)定性。 內(nèi)容簡介：具體對數(shù)值實驗的一個習(xí)題用經(jīng)典四Runge-Kutta方法, 求解方程, 并分別取不同的步長分析其解的收斂情況。 5考核方式與評分辦法 實驗結(jié)束后學(xué)生應(yīng)在規(guī)定時間內(nèi)提交實驗報告及實驗數(shù)據(jù)分析等；指導(dǎo)教師對每份實驗報告進行批改、評分并將成績登錄在冊。不符合實驗要求的重做；該課程所有實驗結(jié)束后，指導(dǎo)教師根據(jù)學(xué)生的實驗及報告給出考核成績，作為平時成績的重要組成部分（占平時成績的40%）。 6主要教材