18/1809級《線性代數(shù)》（）時期練習(xí)題（二）一、填空題1.矩陣則2.解:.2.設(shè)為三階非零矩陣，且,則.解:定非可逆陣,因此.3.若四階矩陣的秩則.（見證明題5）4.已知向量組線性無關(guān)，,,則當(dāng)2時，線性相關(guān).解:，若矩陣非奇，則線性無關(guān).而.5.若向量組線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān).解:而為非奇矩陣，故向量組線性無關(guān).6.若向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān).解:,其中,故向量組線性相關(guān).7.向量組當(dāng)時可由線性表示.解:線性無關(guān)，只有當(dāng)向量組線性相關(guān)時可由線性表示.現(xiàn)在.8.線性方程組的基礎(chǔ)解系為.解：對方程組的系數(shù)陣進行初等變換原方程組與同解，令取和，可得方程組的基礎(chǔ)解析.9.四元方程組中，是它的三個解.其中,則方程組的通解為.解:，存在基礎(chǔ)解系(只有一個線性無關(guān)的解向量).是的基礎(chǔ)解系.的通解為.10.向量空間的維數(shù)是.二、選擇題1.下列矩陣中（）是初等矩陣..2.設(shè)矩陣，則矩陣的秩（）..事實上.3.向量組線性無關(guān)，以下()組向量線性無關(guān)...因此應(yīng)選.4.向量組線性無關(guān)，也線性無關(guān)，則滿足..事實上,而，即.故應(yīng)選.5.矩陣,為三階非零矩陣且,則有.；.將矩陣按列分塊為.當(dāng)時，能夠是1，也能夠是2.斷言并無依據(jù).當(dāng)時，.的諸列均為的解，其一、三列線性無關(guān)，即有兩個線性無關(guān)的非零解，當(dāng)有；又因,又有,因此必有.選.6.齊次線性方程組(為矩陣)僅有零解的充分必要條件是..事實上可能無解.7.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中有()線性無關(guān)的解向量..,因此基礎(chǔ)解系中有兩個線性無關(guān)的解向量，選.8.設(shè)有線性方程組和對應(yīng)的齊次線性方程組則必有..9.已知元線性方程組,系數(shù)陣的秩,是方程組線性無關(guān)的解，則方程組的通解為.(為任意常數(shù))；.10.由的基到基的過渡矩陣為..三、計算題1.矩陣,求矩陣的秩，寫出的一個最高階非零子式.解:由(*)知.的1,2,4行1,2,5列所在的三階子式.2.給定向量組:.(1)求向量組的秩，并推斷該向量組的線性相關(guān)性；(2)求該向量組的一個最大無關(guān)組,并把其余向量用最大無關(guān)組線性表示.解:由(*)知,向量組線性相關(guān).是向量組的一個最大無關(guān)組，且有：.3.已知，(1)當(dāng)為何值時,不能表示為的線性組合；(2)當(dāng)為何值時,有的唯一線性表達式，寫出該表達式.解:設(shè)(*)(1)當(dāng)時，,方程組無解.故不能表示為的線性組合.(2)當(dāng)時，,方程組有唯一解.由Cramer法則可得：.現(xiàn)在有的唯一線性表達式：.4.設(shè),求一個矩陣，使，且.解:設(shè)均為方程組的解.(*)與(*)對應(yīng)的方程組為，令取和，得到方程組的基礎(chǔ)解系,顯然線性無關(guān),令,且有.5.向量組線性無關(guān),試討論向量組的線性相關(guān)性.解:設(shè)有數(shù)使得,即有：.由于線性無關(guān),故必有(*)方程組(*)的系數(shù)行列式.當(dāng)為奇數(shù)時，,方程組(*)只有零解，必全為零,向量組的線性無關(guān)；當(dāng)為偶數(shù)時，,方程組(*)有非零解，即存在不全為零的數(shù)使,向量組線性相關(guān).6.用基礎(chǔ)解系表示方程組的通解.解:對方程組的系數(shù)陣施行初等行變換（*）所對應(yīng)的方程組為與原方程組同解.令,得到基礎(chǔ)解系：.原方程組的通解為：為任意實數(shù)).7.用對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解析表示方程組的通解.解:對方程組的增廣矩陣施行初等行變換由(*)知，方程組有解.(*)所對應(yīng)的方程組為,令得到方程組的特解.原方程組所對應(yīng)的齊次方程組與同解.令，得到對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系:原方程組的通解為：為任意實數(shù)).8.給定線性方程組,當(dāng)為何值時方程組有解?在有解的情況下,求其全部解.解:對方程組的增廣矩陣施行初等行變換當(dāng)時，,方程組有解.(*)對應(yīng)的方程組為令得到方程組的特解.與原方程組對應(yīng)的齊次方程組與同解，令，得到對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系:原方程組的通解為：為任意實數(shù)).9.當(dāng)取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解?在方程組有無窮多解時，用對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系表示方程組的通解.解:對方程組的增廣矩陣施行初等行變換當(dāng)時，，不管取何值，方程組有唯一解.當(dāng)時現(xiàn)在,方程組無解.當(dāng)時，,方程組有無窮多解.現(xiàn)在原方程組與同解,令,得到方程組的特解：.與原方程組對應(yīng)的齊次方程組與同解，令，可得基礎(chǔ)解系：.方程組的通解為：為任意實數(shù)).10.已知的兩個基為，求由基到基的過渡矩陣.解:設(shè)的列向量組是兩個基,因此矩陣均為可逆矩陣.設(shè),過渡矩陣.因此從基到基的過渡矩陣.四、證明題1.設(shè)為列滿秩矩陣，,證明線性方程與同解.證:若是的解,當(dāng)有,因此.這講明的解必為的解；若是的解，矩陣列滿秩，由定理4的逆否命題)方程組只有零解，即講明的解也是的解，因此線性方程組與同解.2.設(shè)為矩陣，證明方程有解的充分必要條件是.證:由于,依照定理6方程有解.3.設(shè)是一組維向量，已知維單位坐標(biāo)向量能由它們線性表示，證明線性無關(guān).證:設(shè),是階方陣,(*).題設(shè)能由線性表示，由定理6又有(**)由(*)和(**)知，故線性無關(guān).4.設(shè)階矩陣滿足為階單位陣，證明.證:由于,由矩陣的秩的性質(zhì)6，,而，故有(*)；另由可得，依照矩陣的秩的性質(zhì)8，又有(**).從(*)和(**)知有.5.設(shè)為階矩陣，為的伴隨矩陣，證明.證:若滿秩