學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)--——好資料更多精品文檔更多精品文檔常用知識點(diǎn)：一、常見函數(shù)的定義域總結(jié)如下：y=kxb2 一般形式的定義域：xCRy=axbxcky=—分式形式的7E義域：xW0xy=Jx根式的形式定義域：x>0y=logax對數(shù)形式的定義域：x>0二、函數(shù)的性質(zhì)1、函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2),f(x)在X,x2所在的區(qū)間上是增加的。當(dāng)x1<x2時，恒有f(xi)〉f(x2),f(x)在xi,x2所在的區(qū)間上是減少的。2、函數(shù)的奇偶性定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義區(qū)間D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱(即若xWD,則有-xWD)⑴偶函數(shù)f(x)——VxWD,恒有f(—x)=f(x)。(2)奇函數(shù)f(x)——VxWD,恒有f(一x)=-f(x)。三、基本初等函數(shù)1、常數(shù)函數(shù)：y=c,定義域是(-電,2)，圖形是一條平行于x軸的直線。u2、哥函數(shù)：y=x, (u是常數(shù))。它的定義域隨著u的不同而不同。圖形過原點(diǎn)。3、指數(shù)函數(shù)定義：y=f(x)=ax,(a是常數(shù)且aA0,a=1).圖形過(0,1)點(diǎn)。4、對數(shù)函數(shù)定義：y=f(x)=logaX,(a是常數(shù)且a>0,a=1)。圖形過(1,0)點(diǎn)。5、三角函數(shù)正弦函數(shù)：y=sinxT=2兀，D(f)=(i"),f(D)=[—1,1]。余弦函數(shù)：y=cosx.T=2兀，D(f)=(i"),f(D)=[—1,1]。(3)正切函數(shù)：y=tanx.T=冗,D(f)={x|xwR,x#(2k+1)^,kwZ},f(D)=(-℃+?).(4)余切函數(shù)：y=cotx.T=n,D(f)={x|xwR,x#kn,kwZ},f(D)=—.5、反三角函數(shù)(1)反正弦函數(shù)：y=arcsinx,D(f)=[—1,1],f(D)=[-——]°2,2(2)反余弦函數(shù)：y=arccos<,D(f)=[—1,1],f(D)=[0,n]。⑶反正切函數(shù)：y=arctanx,D(f)=(3,收)，f(D)=(-——)o2'2(4)反余切函數(shù)：y=arccotx,D(f)=(-?，?)，f(D)=(0,n)。極限一、求極限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函數(shù)在某點(diǎn)的極限，等于該點(diǎn)的函數(shù)值。 ”因此遇到大部分簡單題目的時候，可以直接代入進(jìn)行極限的求解。2、傳統(tǒng)求極限的方法(1)利用極限的四則運(yùn)算法則求極限。(2)利用等價無窮小量代換求極限。(3)利用兩個重要極限求極限。(4)利用羅比達(dá)法則就極限。

、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則設(shè)limu=A,limv=B,則x>' x>■(1)lim.(u±v)=lim'u±lim.v=A±BxL， xL，xL，(2)lim(uv)=limulimv=AB.xJ， xJ，x推論TOC\o"1-5"\h\z(a)lim(Cv)=Climv,(C為常數(shù))。xj/. x"(b)limun=(limu)nj/x).u limu A(3)limu=2^J,(b#0).Jv limv Bx>.(4)設(shè)P(x)為多項(xiàng)式P(x)=a()xn+aixn，+…+an,則limP(x)=P(x0)x%(5)設(shè)P(x),Q(x)均為多項(xiàng)式,(5)設(shè)P(x),Q(x)均為多項(xiàng)式,且Q(x)#0,則lim配x>xoQ(x)P(x。)Q(xo)三、等價無窮小常用的等價無窮小量代換有：當(dāng)xt0時，sinx~x,tanx~x,arctanx~x,

x 1 2arcsinx~x,ln(1+x)~x,e-1~x,1-cosx~-x。對這些等價無窮小量的代換，應(yīng)該更深一層地理解為：當(dāng)口->0時，sinD~D,其余類似。四、兩個重要極限sinx重要極限Ilim——=1。x-Qx■I 1它可以用下面更直觀的結(jié)構(gòu)式表示： limsn—=1□T□重要極限II+1重要極限II+1。x其結(jié)構(gòu)可以表示為:lim其結(jié)構(gòu)可以表示為:limi1— =e□)八、洛必達(dá)(L"Hospital港則“0”型和“三”型不定式，存在有l(wèi)imf?=limfix)=A(或8)。0 二 X聲g(x)X盧g(x)一元函數(shù)微分學(xué)一、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在X。處取得增量△x(點(diǎn)x0+Ax仍在該鄰域內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù) y取得增量Ay=f(x0+Ax)—f(x0)。如果當(dāng)△xt0時，函數(shù)的增量Zky與自變量Ax的增量之比的極限limy=limf(x°」x)—f(x0)=f(x°)注意兩個符號Ax和x0在題目中可能換成其.,x-0xx0 .：x他的符號表示。二、求導(dǎo)公式1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(C)'=0(C為常數(shù))⑵㈠用公網(wǎng)儀」(口為任意常數(shù))(ax)'=axlna(aA0,a#1)特殊情況(ex)’=exTOC\o"1-5"\h\z1 1 1(logax)=-logae= (xa0,aa0,a=1), (lnx)=一x xlna x⑸(sinx)'=cosx(6)(cosx)'=-sinx1⑺(tanx)= 2-cosx

(cotx)1

sin2(cotx)1

sin2x'(arcsinx)1---(-1x1)1-x， 1(10)(arccosx)=一一(-1LxU),1-x2(arctanx)(arccotx)11x(arctanx)(arccotx)11x21-1x22、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式[u(x)±v(x)J=u'(x)±v'(x)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)[ku]'=ku'(k為常數(shù))(如:u(x)】_u'(x)v(x)—u(x)v'(x)— 2'v(x)1 v(x)3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)y=f(u),u=/x),且f(u)及中(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=fW(x)]的導(dǎo)數(shù)為dy=電包=f'(u)9'(x)。dxdudx三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)的單調(diào)性_'._、 f(x)A0則f(x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加。_'_ f(x)C0則f(x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少。2、函數(shù)的極值_'....._.....f(x)=0的點(diǎn)一一函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。設(shè)為Xo(1)右X<Xo時，f(x)A0;XAXo時，f(x)<0,則f(Xo)為f(x)的極大值點(diǎn)。，一、4 ' (2)右x<Xo時，f(X)<0;X>Xo時，f(x)>0,則f(x0)為f(x)的極小值點(diǎn)。'(3)如果f(x)在Xo的兩側(cè)的符號相同，那么 f(Xo)不是極值點(diǎn)。3、曲線的凹凸性_" _.f(x)>0,則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的。_" _、 f(x)<0,則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的。4、曲線的拐點(diǎn)(1)當(dāng)f(x)在x0的左、右兩側(cè)異號時，點(diǎn) (x0,f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，此時f(x0)=0.⑵當(dāng)f(x)在x0的左、右兩側(cè)同號時，點(diǎn)(x0,f(x。))不為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。5、函數(shù)的最大值與最小值極值和端點(diǎn)的函數(shù)值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式, dy=f(x)dx,求做分就是求導(dǎo)數(shù)。一元函數(shù)積分學(xué)一、不定積分1、定義，不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，最后的結(jié)果是函數(shù) +C的表達(dá)形式。公式可以用求導(dǎo)公式來記憶。2、不定積分的性質(zhì)(1)[』f(x)dx]'=f(x)或d』f(x)dx=f(x)dx⑵JF'(x)dx=F(x)+C或JdF(x)=F(x)+C][f(x)±@(x)土…土W(x)]dx=Jf(x)dx±『(x)±一±4(x)dx。Jkf(x)dx=kJf(x)dx(k為常數(shù)且k#0)。2、基本積分公式(要求熟練記憶)(1)j0dx=C⑵Jxadx=」-xa++C(a=-1).a1一 一J-dx=inx+C.x1x.但dx= a+C(a>0,a01)InaJexdx=ex+C(6)Jsinxdx=-cosx+C⑺Jcosxdx=sinx+C- 1⑻f——2—dx=tanx+C.cosx(—2-dx=—cotx+C.sinx— 1?rdx=arcsinx+C..1-x2，、 1 . 八[ rdx=arctanx+C.x23、第一類換元積分法對不定彳股分(g(x)dx,將被積表達(dá)式g(x)dx湊成g(x)dx=f嚴(yán)(x)]甲(x)dx=f甲(x)d^(x),這是關(guān)鍵的一步。常用的湊微分的公式有： 1.f(ax+b)dx=一f(ax+b)d(ax+b)af(axk+b)xk'dx=工f(axk+b)d(axk+b)kaf(Tx)-dx=2fTxdVxx一1、1. .，1、,1f(—)，—2~dx=_f(一)d—xx xxf(ex)exdx=f(ex)d(ex). 1 f(lnx)—dx=f(lnx)d(lnx)x⑺f(sinx)cosxdx=f(sinx)d(sinx)f(cosx)sinxdx=-f(cosx)d(cosx)1f(tanx) 2—dx=f(tanx)d(tanx)cosx1 f(cotx)—2—dx=-f(cotx)d(cotx)sinx

一... 1f(arcsinx) dx二f(arcsinx)d(arcsinx).1-x21f(arccosx)，? 一... 1f(arcsinx) dx二f(arcsinx)d(arcsinx).1-x21f(arccosx)，? 2.1-xdx=-f(arccosx)d(arccosx)一,、 1 ,f(arctanx) 2dx=1xf(arctanx)d(arctanx)(x)dx=d(ln(x))((x)=0)udv=uv-vdu、定積分公式1、(牛頓―萊布尼茨公式) 如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的任意一個原函數(shù),b則有[f(x)dx=F(b)—F(a)。a2、計算平面圖形的面積如果某平面圖形是由兩條連續(xù)曲線y1=g(x),y2=f(x)及兩條直線X1=a和X2=b所圍成的(其中y1是下面的曲線，丫2是上面的曲線)，則其面積可由下式求出:S=a[f(x)-g(x)]dx.a3、計算旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)某立體是由連續(xù)曲線 y=f(x)(f(x)>0)和直線xx=a,x=b(a<b)及xxx=a,x=b(a<b)及x軸所圍平體的體積V可由下式求出：b2 b_2Vx=Jf(x)dx=二af(x)dx.多元函數(shù)微分學(xué)1、偏導(dǎo)數(shù)，對某個變量求導(dǎo)，把其他變量看做常數(shù)。

2、全微分公式：dz=df(x,y)=AAx+BAy。3、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一一利用函數(shù)結(jié)構(gòu)圖如果u=^(x,y)、v=W(x,y)在點(diǎn)(x,y)處存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)—,—,—，身，xfy fx :y且在對應(yīng)于(x,y)的點(diǎn)(u,v)處，函數(shù)z=f(u,v)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)—,—,則復(fù)合函數(shù);:u:Vz=fW(x,y)W(x,y)］在點(diǎn)(x,y)處存在對x及y的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且:z:z 二zcu cz二V = + ,

x二u；x二Vexz cz二u tzcv = + .y 二u二y 二v二y4、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于方程F(x,y)對于方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)y=f(x),可以由下列公式求出y對x的導(dǎo)數(shù)y:一'Fx(x,y)'Fy(x,y)2、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)對于由方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數(shù)z=f(x,y),可用下列公式求偏導(dǎo)數(shù):TOC\o"1-5"\h\z' 'z Fx(x,y,z) 二z Fy(x,y,z)丁= T，丁= T，x Fz(x,y,z) 二y Fz(x,y,z)5、二元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)z=f(x0,y0)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且' ' '' '' ''fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0又設(shè)fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,則：(1)當(dāng)B2—AC<0時，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)處取得極值，且當(dāng)A<0時有極大值，當(dāng)A>0時有極小值。⑵當(dāng)B2—ACA。時，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x°,y0)處無極值。(3)當(dāng)B2-AC=0時，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y°)處是否有極值不能確定，要用其它方法另作討論。平面與直線1、平面方程(1)平面的點(diǎn)法式方程：在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn) M0(x0,y0,z0),以n={A,B,C}為法向量的平面方程為A(x-x0)+B(y—y0)+C(z—z0)=0稱之為平面的點(diǎn)法式方程(2)平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0稱之為平面的一般式方程2、特殊的平面方程Ax+By+Cz=0 表示過原點(diǎn)的平面方程Ax+By+D=0表示平行于Oz軸的平面方程Ax+By=0表示過Oz軸的平面方程Cz+D=0 表示平行于坐標(biāo)平面xOy的平面方程3、兩個平面間的關(guān)系設(shè)有平面1:AixBiyCizDi=0二2:A2xB2yC2zD2=0平面巴和n2互相垂直的充分必要條件是： A1A2+B1B2+C1C2=0TOC\o"1-5"\h\z“—一、 AB1 C1 D1平面L和(2平行的充分必要條件是： —二—二—$—A2 B2C2 D2一一 AB1 C1 D1平面。和冗2重合的充分必要條件是： 一=——=—=—A2 B2C2 D24、直線的方程(1)直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程過點(diǎn)M0(x0,yO,z°)且平行于向量s={m,n,p}的直線方程工^=匚也=二^稱之為直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程(又稱點(diǎn)向式方程、對稱式方程)mnp常稱s={m,n,p}為所給直線的方向向量(2)直線的一般式方程

二0稱之為直線的=0般式方程A1x B1y C二0稱之為直線的=0般式方程TOC\o"1-5"\h\zA2xB2y C2z D25、兩直線間關(guān)系設(shè)直線ll,12的方程為x—Xi y-yiz-Zili： - -m1 n1 p1x-x2_y-y2_z-z2i： = =m2 n2p2直線li,l2平行的充分必要條件為~~=一-；m2 n2直線11，l2互相垂直的充分必要條件為 m1m2+n1n2+p1p2=06、直線l與平面n間的關(guān)系設(shè)直線l與平面江的方程為,X-Xo y-yoz-zoi: = = mnp二：A(x-Xo)-B(y-yo)C(z-zo)=0直線l與平面n垂直的充分必要條件為:ABC直線l與平面兀平行的充分必要條件為:Am+Bn+Cp=o

Amo+Bno+Cpo+Dwl落在平面n上的充分必要條件為將初等函數(shù)展開成事級數(shù)AmBnCp=o

AmoBnoCpoD=oI、定理：設(shè)f(x)在U(x0,B)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f(n+f) 書limRn(x)=o,R(x)= ((x-xo)n則在U(xo,5)內(nèi)n，二 (ni)!oOf(x)cnff(n)(xo)n!(x-xo)稱上式為f(X)在點(diǎn)Xo的泰勒級數(shù)。或稱上式為將 f(X)展開為X=Xo的哥級數(shù)。2、幾個常用的標(biāo)準(zhǔn)展開式1D1 =三Xn1-X n-0n③e=，n口n!一 2n/sinx=:(-1)n nZ(2n1)!2nXCOSX::(-1)n TOC\o"1-5"\h\zn* (2n)!一； nXln(1x)=三(一1)一n% n；nu Xln(1-X)=_Tnin常微分方程1、一階微分方程(1)可分離變量的微分方程f(x)g(y)若一階微分方程F(x,y,y)=0通過變形后可寫成g(y)dy=f(x)dx或y'=f(x)g(y)則稱方程F(x,y,y)=0為可分離變量的微分方程.2、、可分離變量微分方程的解方程g(y)dy=f(x)dx必存在隱式通解G(y)=F(x)+C。其中：G(y)=g(y)dy,F(x)=f(x)dx.即兩邊取積分。(2)一階線性微分方程1、定義：方程y'+P(x)y=Q(x)稱為一階線性微分方程(1)非齊次方程一一Q(x)#0；(2)齊次方程——y'+P(x)y=0.2、求解一階線性微分方程_p(x)dx(1)先求齊次方程y'+P(x)y=0的通解：y=Ce」 ,其中C為任意常數(shù)。(2)將齊次通解的C換成u(x)。即y=u(x)e—1(x)dx(3)代入非齊次方程y'+P(x)y=Q(x)，得_『P(x)dx一 fP(x)dxy=e q(x)edxC2、二階線性常系數(shù)微分方程(1)可降階的二階微分方程1、y*=f(x)型的微分方程例3：求方程y"=1e2x—sinx的通解.分析：y'=fy"dx=1e2x+cosx+C1;2 412xy=ydxesinxC1xC2.82、y"=f(x,y)型的微分方程解法：⑴令p=y'，方程化為 p'=f(x,p)；(2)解此方程得通解 p=5(x,Ci);⑶再解方程y'二甲(x,Ci)得原方程的通解y= (x,Ci)dx■C2.3、y"=f(y,y)型的微分方程解法：(1)令p=y',并視p為y的函數(shù)，那么y"=dp=dp.dy=pdp