３—5第二類拉格朗日方程質(zhì)點(diǎn)i的虛位移將上式代入動(dòng)力學(xué)普遍方程（3-15）式：因qk是獨(dú)立的，所以注意廣義力可得1.基本形式的拉格朗日方程1分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!上式應(yīng)用起來很不方便。我們要作變換上式中的第二項(xiàng)與廣義力相對應(yīng)，稱為廣義慣性力。注意到廣義力可得拉格朗日改造動(dòng)力學(xué)普遍方程的步：就是把主動(dòng)力的虛功改造為廣義力虛功。拉格朗日改造動(dòng)力學(xué)普遍方程的第二步：就是改造慣性虛功項(xiàng)，使之與系統(tǒng)的動(dòng)能的變化聯(lián)系起來。

2分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!

變換2.

3.

1.

3分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!2.保守體系的拉格朗日方程

如果主動(dòng)力都是保守力，即，則為廣義力

4分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!3.對拉格朗日方程的評價(jià)(1)拉氏方程的特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)）：

是一個(gè)二階微分方程組，方程個(gè)數(shù)與體系的自由度相同。形式簡潔、結(jié)構(gòu)緊湊。而且無論選取什么參數(shù)作廣義坐標(biāo)，方程形式不變。方程中不出現(xiàn)約束反力，因而在建立體系的方程時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，不必考慮未知的約束反力。體系越復(fù)雜，約束條件越多，自由度越少，方程個(gè)數(shù)也越少，問題也就越簡單。

拉氏方程是從能量的角度來描述動(dòng)力學(xué)規(guī)律的，能量是整個(gè)物理學(xué)的基本物理量而且是標(biāo)量，因此拉氏方程為把力學(xué)規(guī)律推廣到其他物理學(xué)領(lǐng)域開辟了可能性，成為力學(xué)與其他物理學(xué)分支相聯(lián)系的橋梁。5分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!

應(yīng)用拉氏方程解題的步驟：

1.判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨(dú)立）坐標(biāo)。

2.計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

3.計(jì)算廣義力，計(jì)算公式為：或

若主動(dòng)力為有勢力，也可將勢能V表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

4.建立拉氏方程并加以整理，得出k個(gè)二階常微分方程。

5.求出上述一組微分方程的積分。6分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!

系統(tǒng)動(dòng)能：系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)（動(dòng)勢）代入拉格朗日方程7分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!已知：M1的質(zhì)量為m1，M2的質(zhì)量為m2，桿長為l。試建立此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：圖示機(jī)構(gòu)為兩個(gè)自由度，取x1，

為廣義坐標(biāo)，則有。系統(tǒng)動(dòng)能：求導(dǎo)：8分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!同理：由拉格朗日方程得9分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!10分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!

例：與剛度為k的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光滑水平面上滑動(dòng)。滑塊A上又連一單擺，擺長l，擺錘質(zhì)量為m2。試列出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：將彈簧力計(jì)入主動(dòng)力，則系統(tǒng)成為具有完整、理想約束的二自由度系統(tǒng)。保守系統(tǒng)。取x,為廣義坐標(biāo)，x軸

原點(diǎn)位于彈簧自然長度位置，

逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?1分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!

系統(tǒng)勢能：(以彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)，滑塊A所在平面為重力勢能零點(diǎn))拉格朗日函數(shù)：12分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。上式為系統(tǒng)在平衡位置(x=0,=0)附近微幅運(yùn)動(dòng)的微分方程。

若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運(yùn)動(dòng)，此時(shí)<<1o，cos

≈1，sin

≈，略去二階以上無窮小量，則13分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!

變換1.

由

兩邊對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)可得兩邊再對求偏導(dǎo)即可得14分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!可得由為理想完整系的拉格朗日方程，方程數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)。其中：——主動(dòng)力的廣義力，可以是力、力矩或其他力學(xué)量（不包含約束反力）

——體系相對慣性系的動(dòng)能

——廣義動(dòng)量，可為線動(dòng)量、角動(dòng)量或其他物理量

15分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!2.保守體系的拉格朗日方程

將Qk代入拉格朗日方程式，得想一想：上式的成立、適用條件是什么？保守體系的拉格朗日方程為：為拉格朗日函數(shù)（動(dòng)勢），是表征體系約束運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和相互作用等性質(zhì)的特征函數(shù)。勢能V不包含廣義速度，引入拉格朗日函數(shù)16分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!3.對拉格朗日方程的評價(jià)(2)拉氏方程的價(jià)值

拉氏方程在理論上、方法上、形式上和應(yīng)用上用高度統(tǒng)一的規(guī)律，描述了力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律，為解決體系的動(dòng)力學(xué)問題提供了統(tǒng)一的程序化的方法，不僅在力學(xué)范疇有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值，而且為研究近代物理學(xué)提供了必要的物理思想和數(shù)學(xué)技巧。17分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!

[例]

物塊C的質(zhì)量為m1，A，B兩輪皆為均質(zhì)圓輪，半徑R，質(zhì)量為m2，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：圖示機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度，所受約束皆為完整、理想、定常的，以物塊平衡位置為原點(diǎn)，取x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)勢能：(以彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn))18分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!

注意到可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程19分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!系統(tǒng)勢能：（選質(zhì)點(diǎn)M2在最低位置為零勢能位置）求導(dǎo)運(yùn)算可得：由拉格朗日方程得20分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!

[例]

水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)。均質(zhì)桿OA：重P，可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)；均質(zhì)小齒輪：重Q，半徑r

，沿半徑為R的固定大齒輪滾動(dòng)。系統(tǒng)初始靜止，系桿OA位于圖示OA0位置。系桿OA受大小不變力偶M作用后，求系桿OA的運(yùn)動(dòng)方程。解：圖示機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度，所受約束皆為完整、理想、定常的，可取OA桿轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。21分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!

代入拉氏方程：積分，得：故：代入初始條件，t=0時(shí)，得22分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!

系統(tǒng)動(dòng)能：23分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!

代入：并適當(dāng)化簡得：24分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!謝謝大家25分析力學(xué)基礎(chǔ)第二類拉格朗日方程共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!

變換2.

由

對時(shí)間求微分可得對求偏導(dǎo)可表示為

而