學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；(重點、難點)2．會運用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計算.

(難點)問題1正方形有哪些性質(zhì)？ABCD正方形性質(zhì)：①四個角都是直角;②四條邊都相等; ③對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.O導(dǎo)入新課情境引入矩形、菱形演變?yōu)檎叫危赫叫渭仁蔷匦斡质橇庑?.定義法

一個角是直角的平行四形是矩形.矩形的判定方法3.直接法：

有三個角是直角的四邊形叫做矩形.2.對角線法：

對角線相等的平行四邊形是矩形.問題2如何判斷矩形，菱形菱形的判定方法：1.定義法：3.直接法：2.對角線法：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

四邊相等的四邊形是菱形．

二新知探究正方形的判定活動1準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對角線互相垂直已知：如圖,在矩形ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO

，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對角線互相垂直的矩形是正方形.活動2把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯牵^察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角對角線相等已知：如圖,在菱形ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對角線相等的菱形是正方形.正方形判定的幾條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個直角，一組鄰邊相等，總結(jié)歸納對角線相等對角線垂直平行四邊形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角正方形正方形四邊形對角線相等且互相垂直平分正方形的判定方法：判斷一個四邊形是既是矩形，又是菱形.活學(xué)活用1：判斷下列說法是否正確.(1)四條邊相等的四邊形是正方形(2)四個角都相等的四邊形是正方形(3)對角線垂直的平行四邊形是正方形(5)對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形；(4)對角線互相垂直的矩形是正方形;(6)對角線相等的菱形是正方形；(7)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。典型例題1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥BC，DF⊥AC.求證:四邊形CEDF為正方形.N證明：過點D作DN⊥AB，垂足為N∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC∴∠C=∠DFC=∠DEC=90°∴四邊形DFCE是矩形∵AD平分∠FAN，DF⊥AC,DN⊥AB∴DF＝DN∵BD平分∠EBN，DE⊥BC,DN⊥AB∴DE＝DN∴DF＝DE∴四邊形CEDF是正方形典型例題2：如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的動點，且AE=BF=CG=DH．求證：四邊形EFGH是正方形；證明(1):∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=90°，AB=AD∵AE=DH=BF∴AH=BE在△AEH和△BFE中∴△AEH≌△BFE（SAS）∴EH=EF，∠AHE=∠BEF同理：EH=EF=FG=GH∴四邊形EFGH是菱形∵∠AHE+∠AEH=90°∴∠AEH+∠BEF=90°∴∠HEF=90°∵四邊形EFGH是菱形∴四邊形EFGH是正方形活學(xué)活用2.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，作FM⊥BC，交CB的延長線于點M，作DN⊥BC，交BC的延長線于點N，求證：BC=FM+DN證明：過點A做AH⊥BC于H，∴∠AHB=∠AHC=900,∴∠BAH+∠ABH=900,∠HAC+∠ACH=900,∵FM⊥MN,DN⊥MN,∴∠FMB=900=∠AHB,∠DNC=900=∠AHC,在正方形ABFG和正方形ACDE中，AB=BF，AC=CD，∠FBA=∠ACD=900，∴∠ABH+∠FBM=900，∠ACH+∠DCN=900，∴△ABH≌△BFM（AAS），∴FM=BH同理可得△ACH≌△CDH,∴CH=DN,∴BC=BH+CH=FM+DN∴∠BAH=∠FBM，H活學(xué)活用3.已知四邊形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3，BC=4，E是四邊形外一點，DE=DC，DE⊥DC，連接AE，求△ADE的面積.解：作EF⊥AD,CG⊥AD，垂足分別為F、G，∵AD//BC,∴CG⊥BC,∵AB⊥BC，∴AB//CG,∴四邊形ABCG是矩形，∴AG=BC=4,∠G=900,∴DG=AG-AD=1,∵∠EFD=900=∠G,∴∠DEF+∠EDF=∠EDF+∠CDG=900,∴∠DEF=∠CDG,∴△DEF≌△CDG,∴EF=DG=1,.∴S△ADE=AD·EF×3×1.==FG拓展延伸：1.如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形，點E在線段DC上，點A，D，G在同一條直線，且AD=3DE=1，連接AC，CG，AE，并延長AE交CG于點H，求線段AH的長．解：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG為正方形∴AD=CD,DG=DE,∠ADE=∠CDG在△GDC和△EDA中∴△GDC≌△EDA(SAS)∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE∵AD=3，DE=1在Rt△CDG中，由勾股定理得：∴CD=3，DG=1∵∠DAE+∠AED＝90°,∠DEA＝∠CEH∴∠DCG+∠HEC＝90°∴∠EHC＝90°∴AH⊥GC2：如圖，正方形ABCD的邊長為1，點A與原點重合，點B在y軸的正半軸上，點D在x軸的負(fù)半軸上，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°至正方形AB'CD'處，B'C'與CD相交于點M，求點M的坐標(biāo).解：如圖，連接AM∵將邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AB'C′D′∴AD＝AB=AB′＝1，∠BAB′＝30°∴∠B′AD＝60°在Rt△ADM和Rt△AB′M中∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL）∴∠DAM＝∠B′AM＝30°在Rt△ADM中，∠DAM