第一節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的概念三、分段函數(shù)四、反函數(shù)五、初等函數(shù)六、函數(shù)的基本性態(tài)七、建立函數(shù)關(guān)系舉例二、函數(shù)的表示法第一章函數(shù)極限連續(xù)八、備用知識第一節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的概念三、分段函數(shù)四、反函數(shù)五、初等函1一、函數(shù)的概念

定義

設(shè)

D

為一個非空實(shí)數(shù)集合，若存在確定的對應(yīng)規(guī)則

f

，使得對于數(shù)集

D

中的任意一個數(shù)

x,按照

f都有唯一確定的實(shí)數(shù)

y與之對應(yīng)，則稱

f是定義在集合

D

上的函數(shù).D:f的定義域x:自變量y:因變量一、函數(shù)的概念定義設(shè)D為一個非空實(shí)數(shù)集合，若存在確2如果對于自變量x的某個確定的值x0，因變量y能夠得到一個確定的值，那么就稱函數(shù)f在x0處有定義，其因變量的值或函數(shù)f的函數(shù)值記為實(shí)數(shù)集合

稱為函數(shù)f的值域.如果對于自變量x的某個確定的值x0，因變量y能3

(其中

為大于0的常數(shù))的一切x，稱為點(diǎn)x0的d鄰域，記作U(x0,d).滿足不等式對于不等式0<|x

-

x0

|<

d

稱為點(diǎn)x0的d的空心鄰域，記作U(

,d

).如圖(b)所示.它的幾何意義是：以x0為中心，d

為半徑的開區(qū)間(x0

-

d

,x0+

d)，即x0

-

d<x<x0+

d，如圖(a)所示.(a)Ox0-dx0+dx0x(b)Oxx0

-dx0+dx0

4確定函數(shù)顯然，其定義域是滿足不等式的x值的集合,解此不等式,則得其定義域為:也可以用集合形式表示為解例1確定函數(shù)顯然，其定義域是滿足不等式的x值的集合,解此不5的定義域.解該函數(shù)的定義域應(yīng)為滿足不等式組解此不等式組，得其定義域也可以用集合形式表示為的x值的全體，確定函數(shù)例

2≥≤的定義域.解該函數(shù)的定義域應(yīng)為滿足不等式組解此不等式組，6解例3設(shè)函數(shù)f(x)=x3-2x+3，求解例3設(shè)函數(shù)f(x)=x3-2x+37二、函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常有三種：公式法、表格法和圖示法.1.以數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的公式表示法，公式法的優(yōu)點(diǎn)是便于理論推導(dǎo)和計算.2.以表格形式表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的表格表示法，它是將自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列為表格，表格法的優(yōu)點(diǎn)是所求的函數(shù)值容易查得.3.以圖形表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的圖示法，圖示法的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，且可看到函數(shù)的變化趨勢.二、函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常有三種：公式法、表格法和8三、分段函數(shù)

例4旅客乘坐火車可免費(fèi)攜帶不超20kg的物品，超過20kg而不超過50kg的部分每kg交費(fèi)a元，超過50kg部分每kg交費(fèi)b元.求運(yùn)費(fèi)與攜帶物品重量的函數(shù)關(guān)系.有些函數(shù)雖然也是以數(shù)學(xué)式子表示，但是它們在定義域的不同范圍具有不同的表達(dá)式.這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).三、分段函數(shù)例4旅客乘坐火車可免費(fèi)攜帶不超209情況二：重量大于20kg，但不超過50kg，這時情況三：重量超過50kg，這時情況一：重量不超過20kg，這時解設(shè)物品重量為xkg，應(yīng)交運(yùn)費(fèi)為y元.由題意可知這時應(yīng)考慮三種情況：情況二：重量大于20kg，但不超過50kg，這時情況10因此，所求的函數(shù)是一個分段函數(shù)因此，所求的函數(shù)是一個分段函數(shù)11例5設(shè)解注意例5設(shè)解注意12yxO圖1-3yxO圖1-313例6函數(shù)≤≤例6函數(shù)≤≤14例7語句“變量y是不超過x的最大整數(shù)部分”表示了一個分段函數(shù)，常稱為“取整函數(shù)”，-3-2-1123yxO圖1-4例7語句“變量y是不超過x的最大整數(shù)部分”表示15四、反函數(shù)設(shè)y=

f(x)為定義在D上的函數(shù)，其值域為A.若對于數(shù)集A中的每個數(shù)y,數(shù)集D中都有唯一的一個數(shù)x使f(x)=y，這就是說變量

x是變量y

的函數(shù)

.這個函數(shù)稱為函數(shù)y=

f(x)的反函數(shù),其定義域為A.值域為D.函數(shù)y=f(x)

與x=f-1

(y)二者的圖形是相同的.記為

x

=

f-1

(y).四、反函數(shù)設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，其值16交換

x、y的位置,即得所求的反函數(shù)解例8注意例如

171.基本初等函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,

y=arctanx,y=arccotx；五、初等函數(shù)等五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx；冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)1.基本初等函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)y=arcsinx182.復(fù)合函數(shù)若函數(shù)y=F(u),定義域為U1,函數(shù)u=j(x)的值域為U2,則y通過變量u成為x的函數(shù),這個函數(shù)稱為由函數(shù)y=F(u)和函數(shù)u=j(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),其中變量u稱為中間變量.記為2.復(fù)合函數(shù)若函數(shù)y=F(u),定義域為U1,19例

9即為所求的復(fù)合函數(shù)其定義域為(,

).解例9即為所求的復(fù)合函數(shù)其定20得所求的復(fù)合函數(shù)例

10其定義域為[1,1].解得所求的復(fù)合函數(shù)例10其定21解1例11求f[j(x)]時,應(yīng)將f(x)中的x視為j(x),因此因此解1例11求f[j(x)]時,應(yīng)將f(x22例12解

方法一令u=x1,得f(u)=(u

1)2,再將u=2x1代入,即得復(fù)合函數(shù)方法二因為f(x

1)=x2=[(x

1)+1]2,于是問題轉(zhuǎn)化為求y=f(x)=(x

1)2與j(x)=2x

1的復(fù)合函數(shù)f[j

(x)],因此例12解方法一令u=x1,得f23例13是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的.解例13是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的.解243.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合構(gòu)成,并且可以用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù),叫做初等函數(shù).例如等等,都是初等函數(shù)

.3.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)及常數(shù)25六、函數(shù)的基本性態(tài)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果對于定義域中的任何x，都有f(x)=f(-

x)，則稱y=f(x)為偶函數(shù)；如果有f(-

x)=-

f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù).不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).1.奇偶性六、函數(shù)的基本性態(tài)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)26例14證例14證27例15證例15證282.周期性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為(-

,+)，若存在正數(shù)T，使得對于一切實(shí)數(shù)x，都有：則稱y=f(x)為周期函數(shù).f(x+T)=f(x).規(guī)定：若其中存在一個最小正數(shù)T滿足上式，則規(guī)定T為周期函數(shù)f(x)的最小正周期，簡稱周期.例如

y=sinx,y=tanx的周期分別為函數(shù)

2π，π.

2.周期性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為(-29例16證例16證30設(shè)

x1和

x2為區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個數(shù)，若當(dāng)

x1<x2

時,函數(shù)

y=f(x)滿足則稱該函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，或稱遞增；若當(dāng)

x1<x2

時有則稱該函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少，或稱遞減；3.單調(diào)性設(shè)x1和x2為區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個數(shù)，若31

y=cotx在(0,p)內(nèi)遞減

.函數(shù)的遞增、遞減統(tǒng)稱函數(shù)是單調(diào)的.從幾何直觀來看，遞增，就是當(dāng)

x自左向右變化時，函數(shù)的圖形上升；遞減，就是當(dāng)

x自左向右變化時，函數(shù)的圖形下降

.aabbxyOxyOy=f(x)y=f(x)

32

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

I上有定義，若存在一個正數(shù)

M

，當(dāng)

x

I時，恒有成立，則稱函數(shù)

f(x)為在

I上的有界函數(shù)，≤4.有界性

如果不存在這樣的正數(shù)

M，則稱函數(shù)

f(x)為在

I上的無界函數(shù)

.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若存在一個正數(shù)33例如，因為當(dāng)

x(,

)時,恒有|sinx|≤1,所以函數(shù)f(x)=sinx在(,

)內(nèi)是有界函數(shù).例如，因為當(dāng)x(,)時,恒有34七、建立函數(shù)關(guān)系舉例解設(shè)剪去的小正方形的邊長為

x,則盒子的底面積為(a-2x)2，高為x，因此所求的函數(shù)關(guān)系為

例17設(shè)有一塊邊長為

a

的正方形薄板，將它的四角剪去邊長相等的小正方形制作一只無蓋盒子，試將盒子的體積表示成小正方形邊長的函數(shù).xa-2x盒子的體積為V.x七、建立函數(shù)關(guān)系舉例解設(shè)剪去的小正方形的邊長為x,則盒子35

例18

由直線

y=x，y=2x及x

軸所圍的等腰三角形

OBC，xy=xyxO12y=2xCB在底邊上任取一點(diǎn)x

[0,2].過

x作垂直

x軸的直線，將圖上陰影部分的面積表示成

x的函數(shù)

.解設(shè)陰影部分的面積為

A，當(dāng)x[0,1)

時，例18由直線y=x，y=2x及36當(dāng)

x∈[1,2]

時，所以xy=xyxO12y=2xCB當(dāng)x∈[1,2]時，所以xy=xyxO12y37（1）極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)極坐標(biāo)系中曲線的方程及其圖形OAB八、備用知識（1）極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)極坐標(biāo)系中曲線的方程及其圖形38極坐標(biāo)系中點(diǎn)與有序數(shù)組之間的關(guān)系極坐標(biāo)系中點(diǎn)與有序數(shù)組之間的關(guān)系39O12345AO12345A40（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間關(guān)系極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間關(guān)系是指：極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)O、極軸OA與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)、x軸的正向分別重合時，一點(diǎn)M的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系.

OyxxyAθρM(x,y)(ρ,θ)運(yùn)用上式，可以將平面上一條曲線在直角坐標(biāo)系下的方程化為極坐標(biāo)系下的方程，后者簡稱為極坐標(biāo)方程.（1）（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間關(guān)系極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間41試將直角坐標(biāo)系下的圓心在原點(diǎn)、半徑為R的圓的方程x2+y2=R2(R>0

為常數(shù)）化為極坐標(biāo)方程.例19解將公式（1）代入方程x2+y2=R2，得

ρ=±R.

取正號，所以圓心在極點(diǎn)、半徑為

R的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=R.OyxA試將直角坐標(biāo)系下的圓心在原點(diǎn)、半徑為R例42試將直角坐標(biāo)系圓的方程x2+y2=2Rx(R>0

為常數(shù)）化為極坐標(biāo)方程.例20解將公式（1）代入方程，化簡后得該圓的極坐標(biāo)方程OyxA2RR試將直角坐標(biāo)系圓的方程x2+y243a）當(dāng)極坐標(biāo)中的θ換為-θ時，該極坐標(biāo)方程不變或ρ不變，則該方程所表示的圖形關(guān)于極軸對稱；（3）極坐標(biāo)方程的圖形作極坐標(biāo)方程的圖形通常要做兩方面的工作：（1）對稱性的判定；b）當(dāng)極坐標(biāo)中的θ換為π-θ時，該極坐標(biāo)方程不變或ρ不變，則該方程所表示的圖形關(guān)于半射線對稱；θOA（2）畫出圖形上一系列的點(diǎn)，并把這些點(diǎn)連成光滑曲線，從而得出其圖形.

a）當(dāng)極坐標(biāo)中的θ換為-θ時，該極坐標(biāo)方程不變（3）極坐標(biāo)44解對稱性：當(dāng)θ換為-θ時，試作極坐標(biāo)方程

的圖形，其中a為大于零的常數(shù)，該圖形稱為心形線.例21即ρ不變，所以圖形對稱于極軸.列表θ

ρ

2a1.87a1.5a

a0.5a0ppppp322360OA解對稱性：當(dāng)θ換為-θ時，45對稱性：當(dāng)θ換為π-θ時，方程也不變，解試作極坐標(biāo)方程（稱為三葉玫瑰線）的圖形，其中a為大于零的常數(shù).例22列表θ

r

00.7a

a0.7a0-0.7a-a-0.7a0其圖形關(guān)于半射線對稱.所以圖形關(guān)于θ的周期是AO對稱性：當(dāng)θ換為π-θ時，方程也不變，解46解對稱性：當(dāng)θ換為-θ時，方程不變；當(dāng)θ換為π-θ時，方程也不變；試作雙紐線

的圖形，其中a為大于零的常數(shù).例23列表θ

ra0.7a0pp480所以圖形關(guān)于極軸對稱，也關(guān)于半射線對稱.當(dāng)θ在之間時，方程右邊不為正，所以此間無圖形.AO解對稱性：當(dāng)θ換為-θ時，方程不變；472.幾種常見的參數(shù)方程（1）圓的參數(shù)方程圓心在原點(diǎn)半徑為R的圓的參數(shù)方程為或θOyxtr圓心在點(diǎn)（a,b）,半徑為R的圓的參數(shù)方程為θOyxr2.幾種常見的參數(shù)方程（1）圓的參數(shù)方程圓心在原點(diǎn)半48(2)橢圓的參數(shù)方程或橢圓的參數(shù)方程θOyx

tr當(dāng)橢圓中心在點(diǎn)(x0,y0),且長短軸分別平行與坐標(biāo)軸時，其參數(shù)方程θOyxr(2)橢圓的參數(shù)方程或橢圓49(3)旋輪線（又稱擺線）的參數(shù)方程則旋輪線的形成及其方程：半徑為R的圓，其圓心在正y軸上且相切于原點(diǎn).當(dāng)該圓沿x軸滾動（無滑動）時，OyxRBCMAt設(shè)點(diǎn)為軌跡上的點(diǎn)，由軌跡可知

則圓周上原來與原點(diǎn)相切的點(diǎn)所形成的軌跡稱為旋輪線.(3)旋輪線（又稱擺線）的參數(shù)方程則旋輪線的形成及50(4)星形線的參數(shù)方程星形線的形成及其方程：設(shè)有兩個圓，其半徑分別為R和r,且R=4r.大圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，小圓內(nèi)切與大圓，其切點(diǎn)在x軸正半軸上的點(diǎn)A.當(dāng)小圓沿大圓內(nèi)滾動時（不滑動），則小圓周上原與大圓相切的點(diǎn)的軌跡稱為星形線.其參數(shù)方程為其在直角坐標(biāo)系下的方程為OxyRA(4)星形線的參數(shù)方程星形線的形成及其方程：設(shè)有兩51第一節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的概念三、分段函數(shù)四、反函數(shù)五、初等函數(shù)六、函數(shù)的基本性態(tài)七、建立函數(shù)關(guān)系舉例二、函數(shù)的表示法第一章函數(shù)極限連續(xù)八、備用知識第一節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的概念三、分段函數(shù)四、反函數(shù)五、初等函52一、函數(shù)的概念

定義

設(shè)

D

為一個非空實(shí)數(shù)集合，若存在確定的對應(yīng)規(guī)則

f

，使得對于數(shù)集

D

中的任意一個數(shù)

x,按照

f都有唯一確定的實(shí)數(shù)

y與之對應(yīng)，則稱

f是定義在集合

D

上的函數(shù).D:f的定義域x:自變量y:因變量一、函數(shù)的概念定義設(shè)D為一個非空實(shí)數(shù)集合，若存在確53如果對于自變量x的某個確定的值x0，因變量y能夠得到一個確定的值，那么就稱函數(shù)f在x0處有定義，其因變量的值或函數(shù)f的函數(shù)值記為實(shí)數(shù)集合

稱為函數(shù)f的值域.如果對于自變量x的某個確定的值x0，因變量y能54

(其中

為大于0的常數(shù))的一切x，稱為點(diǎn)x0的d鄰域，記作U(x0,d).滿足不等式對于不等式0<|x

-

x0

|<

d

稱為點(diǎn)x0的d的空心鄰域，記作U(

,d

).如圖(b)所示.它的幾何意義是：以x0為中心，d

為半徑的開區(qū)間(x0

-

d

,x0+

d)，即x0

-

d<x<x0+

d，如圖(a)所示.(a)Ox0-dx0+dx0x(b)Oxx0

-dx0+dx0

55確定函數(shù)顯然，其定義域是滿足不等式的x值的集合,解此不等式,則得其定義域為:也可以用集合形式表示為解例1確定函數(shù)顯然，其定義域是滿足不等式的x值的集合,解此不56的定義域.解該函數(shù)的定義域應(yīng)為滿足不等式組解此不等式組，得其定義域也可以用集合形式表示為的x值的全體，確定函數(shù)例

2≥≤的定義域.解該函數(shù)的定義域應(yīng)為滿足不等式組解此不等式組，57解例3設(shè)函數(shù)f(x)=x3-2x+3，求解例3設(shè)函數(shù)f(x)=x3-2x+358二、函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常有三種：公式法、表格法和圖示法.1.以數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的公式表示法，公式法的優(yōu)點(diǎn)是便于理論推導(dǎo)和計算.2.以表格形式表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的表格表示法，它是將自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列為表格，表格法的優(yōu)點(diǎn)是所求的函數(shù)值容易查得.3.以圖形表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的圖示法，圖示法的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，且可看到函數(shù)的變化趨勢.二、函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常有三種：公式法、表格法和59三、分段函數(shù)

例4旅客乘坐火車可免費(fèi)攜帶不超20kg的物品，超過20kg而不超過50kg的部分每kg交費(fèi)a元，超過50kg部分每kg交費(fèi)b元.求運(yùn)費(fèi)與攜帶物品重量的函數(shù)關(guān)系.有些函數(shù)雖然也是以數(shù)學(xué)式子表示，但是它們在定義域的不同范圍具有不同的表達(dá)式.這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).三、分段函數(shù)例4旅客乘坐火車可免費(fèi)攜帶不超2060情況二：重量大于20kg，但不超過50kg，這時情況三：重量超過50kg，這時情況一：重量不超過20kg，這時解設(shè)物品重量為xkg，應(yīng)交運(yùn)費(fèi)為y元.由題意可知這時應(yīng)考慮三種情況：情況二：重量大于20kg，但不超過50kg，這時情況61因此，所求的函數(shù)是一個分段函數(shù)因此，所求的函數(shù)是一個分段函數(shù)62例5設(shè)解注意例5設(shè)解注意63yxO圖1-3yxO圖1-364例6函數(shù)≤≤例6函數(shù)≤≤65例7語句“變量y是不超過x的最大整數(shù)部分”表示了一個分段函數(shù)，常稱為“取整函數(shù)”，-3-2-1123yxO圖1-4例7語句“變量y是不超過x的最大整數(shù)部分”表示66四、反函數(shù)設(shè)y=

f(x)為定義在D上的函數(shù)，其值域為A.若對于數(shù)集A中的每個數(shù)y,數(shù)集D中都有唯一的一個數(shù)x使f(x)=y，這就是說變量

x是變量y

的函數(shù)

.這個函數(shù)稱為函數(shù)y=

f(x)的反函數(shù),其定義域為A.值域為D.函數(shù)y=f(x)

與x=f-1

(y)二者的圖形是相同的.記為

x

=

f-1

(y).四、反函數(shù)設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，其值67交換

x、y的位置,即得所求的反函數(shù)解例8注意例如

681.基本初等函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,

y=arctanx,y=arccotx；五、初等函數(shù)等五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx；冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)1.基本初等函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)y=arcsinx692.復(fù)合函數(shù)若函數(shù)y=F(u),定義域為U1,函數(shù)u=j(x)的值域為U2,則y通過變量u成為x的函數(shù),這個函數(shù)稱為由函數(shù)y=F(u)和函數(shù)u=j(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),其中變量u稱為中間變量.記為2.復(fù)合函數(shù)若函數(shù)y=F(u),定義域為U1,70例

9即為所求的復(fù)合函數(shù)其定義域為(,

).解例9即為所求的復(fù)合函數(shù)其定71得所求的復(fù)合函數(shù)例

10其定義域為[1,1].解得所求的復(fù)合函數(shù)例10其定72解1例11求f[j(x)]時,應(yīng)將f(x)中的x視為j(x),因此因此解1例11求f[j(x)]時,應(yīng)將f(x73例12解

方法一令u=x1,得f(u)=(u

1)2,再將u=2x1代入,即得復(fù)合函數(shù)方法二因為f(x

1)=x2=[(x

1)+1]2,于是問題轉(zhuǎn)化為求y=f(x)=(x

1)2與j(x)=2x

1的復(fù)合函數(shù)f[j

(x)],因此例12解方法一令u=x1,得f74例13是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的.解例13是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的.解753.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合構(gòu)成,并且可以用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù),叫做初等函數(shù).例如等等,都是初等函數(shù)

.3.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)及常數(shù)76六、函數(shù)的基本性態(tài)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果對于定義域中的任何x，都有f(x)=f(-

x)，則稱y=f(x)為偶函數(shù)；如果有f(-

x)=-

f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù).不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).1.奇偶性六、函數(shù)的基本性態(tài)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)77例14證例14證78例15證例15證792.周期性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為(-

,+)，若存在正數(shù)T，使得對于一切實(shí)數(shù)x，都有：則稱y=f(x)為周期函數(shù).f(x+T)=f(x).規(guī)定：若其中存在一個最小正數(shù)T滿足上式，則規(guī)定T為周期函數(shù)f(x)的最小正周期，簡稱周期.例如

y=sinx,y=tanx的周期分別為函數(shù)

2π，π.

2.周期性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為(-80例16證例16證81設(shè)

x1和

x2為區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個數(shù)，若當(dāng)

x1<x2

時,函數(shù)

y=f(x)滿足則稱該函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，或稱遞增；若當(dāng)

x1<x2

時有則稱該函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少，或稱遞減；3.單調(diào)性設(shè)x1和x2為區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個數(shù)，若82

y=cotx在(0,p)內(nèi)遞減

.函數(shù)的遞增、遞減統(tǒng)稱函數(shù)是單調(diào)的.從幾何直觀來看，遞增，就是當(dāng)

x自左向右變化時，函數(shù)的圖形上升；遞減，就是當(dāng)

x自左向右變化時，函數(shù)的圖形下降

.aabbxyOxyOy=f(x)y=f(x)

83

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

I上有定義，若存在一個正數(shù)

M

，當(dāng)

x

I時，恒有成立，則稱函數(shù)

f(x)為在

I上的有界函數(shù)，≤4.有界性

如果不存在這樣的正數(shù)

M，則稱函數(shù)

f(x)為在

I上的無界函數(shù)

.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若存在一個正數(shù)84例如，因為當(dāng)

x(,

)時,恒有|sinx|≤1,所以函數(shù)f(x)=sinx在(,

)內(nèi)是有界函數(shù).例如，因為當(dāng)x(,)時,恒有85七、建立函數(shù)關(guān)系舉例解設(shè)剪去的小正方形的邊長為

x,則盒子的底面積為(a-2x)2，高為x，因此所求的函數(shù)關(guān)系為

例17設(shè)有一塊邊長為

a

的正方形薄板，將它的四角剪去邊長相等的小正方形制作一只無蓋盒子，試將盒子的體積表示成小正方形邊長的函數(shù).xa-2x盒子的體積為V.x七、建立函數(shù)關(guān)系舉例解設(shè)剪去的小正方形的邊長為x,則盒子86

例18

由直線

y=x，y=2x及x

軸所圍的等腰三角形

OBC，xy=xyxO12y=2xCB在底邊上任取一點(diǎn)x

[0,2].過

x作垂直

x軸的直線，將圖上陰影部分的面積表示成

x的函數(shù)

.解設(shè)陰影部分的面積為

A，當(dāng)x[0,1)

時，例18由直線y=x，y=2x及87當(dāng)

x∈[1,2]

時，所以xy=xyxO12y=2xCB當(dāng)x∈[1,2]時，所以xy=xyxO12y88（1）極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)極坐標(biāo)系中曲線的方程及其圖形OAB八、備用知識（1）極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)極坐標(biāo)系中曲線的方程及其圖形89極坐標(biāo)系中點(diǎn)與有序數(shù)組之間的關(guān)系極坐標(biāo)系中點(diǎn)與有序數(shù)組之間的關(guān)系90O12345AO12345A91（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間關(guān)系極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間關(guān)系是指：極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)O、極軸OA與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)、x軸的正向分別重合時，一點(diǎn)M的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系.

OyxxyAθρM(x,y)(ρ,θ)運(yùn)用上式，可以將平面上一條曲線在直角坐標(biāo)系下的方程化為極坐標(biāo)系下的方程，后者簡稱為極坐標(biāo)方程.（1）（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間關(guān)系極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間92試將直角坐標(biāo)系下的圓心在原點(diǎn)、半徑為R的圓的方程x2+y2=R2(R>0

為常數(shù)）化為極坐標(biāo)方程.例19解將公式（1）代入方程x2+y2=R2，得

ρ=±R.

取正號，所以圓心在極點(diǎn)、半徑為

R的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=R.OyxA試將直角坐標(biāo)系下的圓心在原點(diǎn)、半徑為R例93試將直角坐標(biāo)系圓的方程x2+y2=2Rx(R>0

為常數(shù)）化為極坐標(biāo)方程.例20解將公式（1）代入方程，化簡后得該圓的極坐標(biāo)方程OyxA2RR試將直角坐標(biāo)系圓的方程x2+y294a）當(dāng)極坐標(biāo)中的θ換為-θ時，該極坐標(biāo)方程不變或ρ