關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)第一頁，共四十頁，2022年，8月28日常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

三、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)四、級(jí)數(shù)收斂的必要條件第一節(jié)

第九章一、問題的提出

第二頁，共四十頁，2022年，8月28日一、問題的提出1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積第三頁，共四十頁，2022年，8月28日二、級(jí)數(shù)的概念1.級(jí)數(shù)的定義:(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列級(jí)數(shù)的部分和第四頁，共四十頁，2022年，8月28日2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:第五頁，共四十頁，2022年，8月28日余項(xiàng)第六頁，共四十頁，2022年，8月28日解第七頁，共四十頁，2022年，8月28日

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上第八頁，共四十頁，2022年，8月28日解已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，第九頁，共四十頁，2022年，8月28日解第十頁，共四十頁，2022年，8月28日第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日

例4.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日三、基本性質(zhì)結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日解第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:

將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:

設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.因此必有例如機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日例6.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日四、級(jí)數(shù)收斂的必要條件

設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見:

若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上

,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:定理部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日解由圖可知第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日證明第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日證明由比較審斂法的推論,得證.第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日證明第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日收斂發(fā)散第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).兩點(diǎn)注意:第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日解第三十七