鎮(zhèn)海中學(xué)2017學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定地區(qū)填寫(xiě)學(xué)校、班級(jí)、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考據(jù)號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。3．全部答案必然寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷。參照公式：柱體的體積公式：V=Sh，此中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高.錐體的體積公式：V=Sh，此中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高.球的表面積公式：2S=4πR，此中R表示球的半徑.球的體積公式：V=3πR，此中R表示球的半徑.第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若拋物線的準(zhǔn)線方程為,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】D【分析】由題得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.應(yīng)選

D.2.若雙曲線

的左、右焦點(diǎn)分別為

，點(diǎn)在雙曲線

上，且

，則

等于（）A.11B.9C.5D.3【答案】B考點(diǎn)：雙曲線．3.直線a與平面所成角的為30o，直線b在平面內(nèi)，且與b異面，若直線a與直線b所成的角為，則( )A.0o<≤30oB.0o<≤90oC.30o≤≤90oD.30o≤≤180o【答案】C【分析】設(shè)直線a在平面α的射影為直線c，在平面α內(nèi)作直線d⊥c，由三垂線定理可得直線d⊥a．因?yàn)橹本€a與平面α所成的角為30°，所以直線a與直線c所成的角為30°，等于平面α內(nèi)的直線與直線a所成角的最小值．直線b在平面α內(nèi)，當(dāng)b與直線d平行或重合時(shí)，可得a⊥b，直線a與b所成的角為90°，達(dá)到最大值；當(dāng)b與直線c平行或重合時(shí)，可得a、b所成的角為30°，達(dá)到最小值．所以，直線a與b所成的角為φ的取值范圍為30°≤θ≤90°．應(yīng)選C4.設(shè)為向量，則“A.充分不用要條件C.充分必需條件D.

B.

”是“”(必需不充分條件既不充分也不用要條件

)【答案】C【分析】先討論充分性：由

得所以“”是“”的充分條件.再討論必需性：因?yàn)?，所以，所以“”是“”的必需條件.應(yīng)選C.5.設(shè)是兩條不一樣樣的直線，是兩個(gè)不一樣樣的平面，以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是（）A.若，且，則B.若，且，則C.若，且，則D.若，且，，則【答案】

A【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，能夠證明，所以選項(xiàng)可能平行，也可能訂交，也可能異面，所以選項(xiàng)不垂直，知足已知條件，可是

A正確;對(duì)于選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)不垂直；對(duì)于選項(xiàng)

B，繪圖可知，直線m和C，能夠舉反例，D，可能不平行，是相

n交的關(guān)系.應(yīng)選A.6.橢圓

M:

長(zhǎng)軸上的兩個(gè)極點(diǎn)為

、，點(diǎn)

P為橢圓

M上除

、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若

且

，則動(dòng)點(diǎn)

Q在以下哪一種曲線上運(yùn)動(dòng)

(

)A.圓

B.

橢圓

C.

雙曲線

D.

拋物線【答案】B【分析】設(shè)P（m，n），Q（x，y）∵橢圓M的方程為，∴作出橢圓以以下圖，可得長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為A（﹣a，0），B（a，0）=（x+a，y），=（m+a，n）∵=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣①同理依據(jù)=0，可得m﹣a=﹣②②，可得m2﹣a2=．③∵點(diǎn)P（m，n）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，∴，整理得n2=（a2﹣m2），代入③可得：2222，化簡(jiǎn)得m﹣a=（a﹣m）此方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓，B項(xiàng)是正確答案故選B.7.如圖，小于的二面角中，，，且為鈍角，是在內(nèi)的射影，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）．．A.為鈍角B.C.D.【答案】D【分析】如圖,過(guò)點(diǎn)B作垂足為C,過(guò)點(diǎn)A作垂足為D.在直角△BCO中,,在直角三角形中，因?yàn)槭卿J角二面角，所以同理,因?yàn)閼?yīng)選D.點(diǎn)睛：此題的重點(diǎn)是證明利用什么方法來(lái)判斷選項(xiàng)，因?yàn)檫x項(xiàng)判斷的是角的大小關(guān)系，所以一般要結(jié)構(gòu)直角三角形，再利用三角函數(shù)分析分析.8.已知點(diǎn)P在以為左右焦點(diǎn)的橢圓上，橢圓內(nèi)一點(diǎn)在的延伸Q線上，知足，若，則該橢圓離心率取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】∵知足QF1⊥QP，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)F2重合時(shí)，∵sin∠F1PQ=，不如設(shè)|PF1|=13，則|PF2|=12．∴可得：e=．所以e．當(dāng)點(diǎn)Q在最下端時(shí)，∠F1QF2最大，此時(shí)F1Q⊥F2Q．可得點(diǎn)Q在橢圓的內(nèi)部，當(dāng)b=c，e=，所以．綜上可得：．應(yīng)選C．點(diǎn)睛：此題的重點(diǎn)在于找到點(diǎn)Q的臨界地點(diǎn)，進(jìn)而找到它們對(duì)應(yīng)的橢圓的離心率.所以此題利用了數(shù)形聯(lián)合的思想，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解題過(guò)程中注意靈巧運(yùn)用.第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題:本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．9.雙曲線的焦距為_(kāi)_________，漸近線方程為_(kāi)_______．【答案】(1).6(2).【分析】由題得所以焦距,故第一個(gè)空填6.由題得漸近線方程為.故第二個(gè)空填.10.命題“若實(shí)數(shù)知足，則”的逆否命題是________命題（填“真”或許“假”）；否命題是________命題（填“真”或許“假”）．【答案】(1).假(2).真【分析】，所以原命題是假命題，因?yàn)樵}和逆否命題的真假性是一致的，所以其逆否命題是假命題.其否命題是“若實(shí)數(shù)知足，則”，所以其否命題是真命題.故填(1).假(2).真.11.已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，平面，且，則與平面所成角的正弦值為_(kāi)_______．若點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線與所成角的余弦值是________．【答案】(1).(2).【分析】如圖，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)BO，PO，∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，PA⊥平面ABC,∴BO⊥AC，∴BO⊥平面APC∴則PB與平面PAC所成角是∠BPO，可得BO=，PB=sin∠BPO==．如圖，成立空間直角坐標(biāo)系，易得AD與PC的交點(diǎn)H為PC中點(diǎn)，A（0，0，0），B（，，0），C（0，1，0），H（0，，）=（0，，），=（﹣，，0）cos，故答案為：(1).(2).點(diǎn)睛：此題的難點(diǎn)在第二問(wèn)，直接研究比較困難，利用空間向量來(lái)研究問(wèn)題就簡(jiǎn)單了好多，所以要注意一點(diǎn)，假如利用幾何法比較困難，能夠試一試用空間向量來(lái)研究.12.已知，直線AM，BM訂交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是，則點(diǎn)M的軌跡C的方程是___________．若點(diǎn)為軌跡C的焦點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，是直線與軌跡的一個(gè)交點(diǎn)，且，則_____．【答案】(1).(2).【分析】設(shè)M（x，y），∵A（1，），B（﹣1，），直線AM，BM訂交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是，∴kAM﹣kBM=，整理，得點(diǎn)M的軌跡C的方程是x2=4y（x≠±1）．∵點(diǎn)F為軌跡C的焦點(diǎn)，∴F（0，1），P是直線l：y=﹣1上的一點(diǎn)，Q是直線PF與軌跡C的一個(gè)交點(diǎn)，且=3，作QM⊥y軸于M點(diǎn)，作PN⊥y軸于N點(diǎn)，則，∴MF=，∴Q（，），∴|QF|=．故答案為：(1).(2).13.過(guò)正四周體ABCD的中心且與一組對(duì)棱AB和CD所在直線都成60角的直線有________條．【答案】4【分析】因?yàn)檎闹荏w的全部邊長(zhǎng)都相等，全部三角形的內(nèi)角都是60°，除了一組對(duì)棱AB和CD，剩下的四條棱與AB和CD所成的角都是60°，所以只需把這四條棱平移到正四周體的中心，所以有四條.故填4.14.已知雙曲線上一點(diǎn)P到兩漸近線的距離分別為，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)________．【答案】或【分析】雙曲線的兩條漸近線的方程為bx﹣ay=0或bx+ay=0，點(diǎn)P（x0，y0）到兩條漸近線的距離之積為，即，又點(diǎn)P（x0，y0）知足雙曲線的方程，∴222222bx0﹣ay0=ab，∴，即2a2+2b2=5ab，∴b=2a或b=a，則e=故填或．15.四棱錐中，平面ABCD，，，BC//AD，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且二面角的平面角大小為，若動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡將ABCD分紅面積為的兩部分，則=_______．【答案】【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)成立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)Q的軌跡與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q（0，b，0）（b＞0）．由題意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）.=（2，0，0）．設(shè)平面APD的法向量為=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量為=（x2，y2，z2）則即，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小為，∴cos＜＞=即解得b=．∴S△ADQ=．S梯形﹣S=．ABCD△ADQ∵S1＜S2，∴S1=，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．故答案為（3﹣4）：4．點(diǎn)睛：此題的重點(diǎn)是找到點(diǎn)Q的軌跡在四邊形ABCD內(nèi)的部分，它就是一條線段在y軸上的地點(diǎn),因?yàn)榇祟}的背景比較適合用坐標(biāo)系和空間向量來(lái)解答.

DQ，確立點(diǎn)

Q三、解答題：本大題共

5小題，共

74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16.已知從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)．又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且，．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）在橢圓C中，求以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦MN所在的直線方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】試題分析:(1)第一問(wèn),直接由獲得,化簡(jiǎn)獲得一個(gè)方程,再聯(lián)合對(duì)應(yīng)的方程,獲得a,b,c的值，即獲得橢圓C的方程.（2）先利用韋達(dá)定理獲得斜率k的方程，再依據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程.試題分析：（Ⅰ）由題意知：，故，即，解得，又，解得，故橢圓C的方程為；（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，且明顯直線MN的斜率存在，故設(shè)直線MN的方程為，代入橢圓方程得故，解得，故直線MN的方程為17.（本小題滿分15分）如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且，分別是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：①平面；②平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角．【答案】（Ⅰ）看法析；（Ⅱ）.【分析】試題分析：（1）第一問(wèn)，先證明，即可證明平面；證明和，即可證明平面.(2)第二問(wèn)，先證明即為直線與平面所成角．再解，即可獲得直線與平面所成角．試題分析：（Ⅰ）①連結(jié)，，故點(diǎn)G即為與的交點(diǎn)，且G為又GF

的中點(diǎn)，又平面，

F為

的中點(diǎn)，故平面

，故平面②因?yàn)槭堑妊苯侨切我驗(yàn)槿庵?/p>

斜邊的中點(diǎn)，所以為直三棱柱，所以面

面

．，所以

面

，

．設(shè)

，則

．所以

，所以

．又

，所以平面

．（2）由（1）知

在平面

上的投影為

，故在平面

上的投影落在

AF上．所以即為直線

與平面

所成角．由題知：不如設(shè)

，所以

，在所以18.

中，，即直線如圖，平行四邊形

，與平面平面

所成角為．，

，

，（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值的大?。敬鸢浮浚á瘢┛捶ㄎ?；（Ⅱ）.【分析】試題分析：（1）第一問(wèn)，證明，即可證明

平面

.(2)

第二問(wèn)，先作出二面角的平面角，再解三角形，即可獲得二面角

的余弦值的大小

.試題分析：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)

A作

，因?yàn)槠叫兴倪呅纹矫?，平行四邊形平?CD，平面ABCD，故平面CDE，又平面CDE，故，又，，平面ABCD，故平面（Ⅱ）過(guò)作⊥交于，過(guò)作⊥交于，連結(jié).由（Ⅰ）得⊥平面，又∵平面，∴平面⊥平面.∴平面ADE，⊥，又∵垂直，且.∴⊥平面，得角就是所求二面角的一個(gè)平面角.又∵，，∴所求二面角的余弦值為.19.拋物線，，為拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上兩點(diǎn)，線段的中垂線交軸于，，。（Ⅰ）證明：是的等差中項(xiàng)；（Ⅱ）若，為平行于軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為定值，求直線的方程．【答案】（Ⅰ）看法析；（Ⅱ）.........................試題分析：（Ⅰ）設(shè)，由拋物線定義知又中垂線交軸于，故，因?yàn)椋?，，故即，是的等差中?xiàng).（Ⅱ）因?yàn)椋?。設(shè)，，故圓心，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橄议L(zhǎng)為定值，故為定值，這里R為圓的半徑，d為圓心到的距離。故令，即時(shí)，為定值，故這樣的直線的方程為.點(diǎn)睛：此題的難點(diǎn)在于求出弦長(zhǎng)的平方后，怎樣分析出它為定值的條件，此題利用了分別參數(shù)求定值的方法.20.如圖，已知橢圓：的左、右極點(diǎn)分別為，是橢圓上異于的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，且P位于第一象限．（Ⅰ）若直線MN與x軸垂直，務(wù)實(shí)數(shù)t的值；（Ⅱ）記的面積分別是，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）時(shí)，.【分析】試題分析：（1）第一問(wèn)，聯(lián)立直線AM和BN的方程獲得它們的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由題得，獲得的值，獲得t的值.(2)第二問(wèn)，先算出的表達(dá)式，再獲得的分析式，再利用導(dǎo)數(shù)或二次函數(shù)求它的最小值.試題分析：(Ⅰ)設(shè)，故直線AM的方程為，直線BN的方程為聯(lián)立得：，解得：,代入直線AM可得(Ⅱ)直線的方程為，代入橢圓的方程并整理得：解得直線的方程為，代入橢圓