華師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十九章第一節(jié)19.同步練習(xí)一、選擇題1．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，已知下列6個(gè)條件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；則不能使四邊形ABCD成為矩形的是（）A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥答案：C解答：A中①AB∥DC；②AB＝DC可判定四邊形是平行四邊形，再加上③AC＝BD可根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行判定；B中②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根據(jù)題意判斷出全等三角形，進(jìn)而得出四邊形是矩形進(jìn)行判定；C中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四邊形是平行四邊形，再加②AB＝DC也不能判定是矩形；D中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四邊形是平行四邊形，再加④∠ABC＝90°可根據(jù)有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形進(jìn)行判定；故選C．分析：根據(jù)矩形的判定方法：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形分別進(jìn)行分析即可．2．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形答案：B解答：∵該四邊形的對(duì)角線互相平分，∴該四邊形是平行四邊形，又∵該平行四邊形的對(duì)角線相等，∴該平行四邊形是矩形，故選B．分析：根據(jù)對(duì)角線互相平分得出平行四邊形，再加上對(duì)角線相等即可得出矩形．3．下列關(guān)于四邊形是矩形的判斷中，正確的是（）A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線互相平分且垂直 D．對(duì)角線互相平分且相等答案：D解答：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)角線互相垂直不一定是矩形，菱形對(duì)角線也互相垂直，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不是矩形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故D選項(xiàng)正確；故選D．分析：根據(jù)矩形的判定方法：①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”），針對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，可選出答案．4．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC答案：C解答：可添加AC＝BD，∵四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，根據(jù)矩形判定定理對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，∴四邊形ABCD是矩形，故選C．分析：四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，則說(shuō)明四邊形是平行四邊形，由矩形的判定定理知，只需添加條件是對(duì)角線相等．5．如果四邊形對(duì)角線互相垂直，則順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形答案：B解答：如下圖所示，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，連接各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則形成中位線EG∥AC，F(xiàn)H∥AC，EF∥BD，GH∥BD，又因?yàn)閷?duì)角線AC⊥BD，所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF⊥FH，F(xiàn)H⊥HG，根據(jù)矩形的定義可以判定該四邊形為矩形．故選B．．分析：根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得到這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由對(duì)角線垂直，能證出有一個(gè)角等于90°，則這個(gè)四邊形為矩形．6．平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相等，則平行四邊形ABCD一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形答案：B解答：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．分析：本題考查特殊平行四邊形的判定，需熟練掌握各特殊平行四邊形的特點(diǎn)．7．如圖，要使平行四邊形ABCD成為矩形，需添加的條件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2答案：C解答：A中是鄰邊相等，不可判定平行四邊形ABCD是菱矩形；B中是對(duì)角線互相垂直，不可判定平行四邊形ABCD是矩形；C中是一內(nèi)角等于90°，可判斷平行四邊形ABCD成為矩形；D中是對(duì)角線平分對(duì)角，不可判定平行四邊形ABCD是矩形．故選C．分析：本題主要應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)為，矩形的判定：①對(duì)角線相等且相互平分的四邊形為矩形；②一個(gè)角是90度的平行四邊形是矩形．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，則下面條件能判定平行四邊形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD且AC⊥BD D．AB＝AD答案：A解答：A選項(xiàng)是對(duì)角線相等，可判定平行四邊形ABCD是矩形．而B(niǎo)、C、D不能．分析：矩形的判定定理有：=1\*GB3①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；=2\*GB3②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；=3\*GB3③對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；據(jù)此分析判斷．9．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為（）A．4 B． C． D．6答案：B解答：如圖，連接PA，∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴，∴∠BAC＝90°，又∵PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形PEAF是矩形，AP＝EF，當(dāng)PA最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)AP⊥CB時(shí)，PA最小，∵AB?AC＝BC?AP，即AP＝＝＝，∴線段EF長(zhǎng)的最小值為；故選B．分析：先由矩形的判定定理推知四邊形PEAF是矩形；連接PA，則PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得PA的值．10．下列命題錯(cuò)誤的是（）A．平行四邊形的對(duì)邊相等B．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形D．矩形的對(duì)角線相等答案：C解答：平行四邊形的性質(zhì)有平行四邊形的對(duì)邊相等，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；平行四邊形的判定定理有兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)正確；矩形的性質(zhì)有矩形的對(duì)角線相等，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)平行四邊形的判定即可判斷B；根據(jù)矩形的判定即可判斷C；根據(jù)矩形的性質(zhì)即可判斷D．11．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)C勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則線段EF的值大小變化情況是（）A．一直增大 B．一直減小 C．先減小后增大 D．先增大后減少答案：C解答：如圖下圖所示，連接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂線段最短可得AP⊥BC時(shí)，AP最短，則線段EF的值最小，∴動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)C勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則線段EF的值大小變化情況是先減小后增大；故選C．分析：連接CP，先判斷出四邊形CFPE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得EF＝CP，再根據(jù)垂線段最短可得CP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，即可判斷出動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)C勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，線段EF的值大小變化情況．12．已知下列命題中：=1\*GB3①矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，且有兩條對(duì)稱(chēng)軸；=2\*GB3②兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形；=3\*GB3③有兩個(gè)角相等的平行四邊形是矩形；=4\*GB3④兩條對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形；其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)答案：C解答：=1\*GB3①矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸，并且有兩條，故該選項(xiàng)正確；=2\*GB3②只有兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；=3\*GB3③所有的平行四邊形對(duì)角都相等，但不一定是矩形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；=4\*GB3④兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再加對(duì)角線相等則為矩形，故該選項(xiàng)正確；所以其中正確的有=1\*GB3①和=4\*GB3④，故選C．分析：根據(jù)矩形的軸對(duì)稱(chēng)性、矩形的判定和矩形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可得到正確命題的個(gè)數(shù)．13．下列關(guān)于矩形的說(shuō)法中正確的是（）A．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分 B．矩形的對(duì)角線相等且互相平分C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形答案：B解答：矩形的對(duì)角線互相平分，且相等，但不一定互相垂直，A項(xiàng)錯(cuò)誤；矩形的對(duì)角線相等且互相平分，B項(xiàng)正確；對(duì)角線相等的四邊形不一定為矩形，例如等腰梯形對(duì)角線相等，但不是矩形，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形，不一定為矩形，D項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．分析：此題考查了矩形的判定與性質(zhì)，是一道概念性試題，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．14．對(duì)角線的平行四邊形是矩形（）A．互相垂直且平分 B．互相平分C．互相垂直 D．相等答案：D解答：根據(jù)矩形的判定：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故選D．分析：根據(jù)矩形的判定定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．15．在四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4，CD＝2，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)（）A． B．C． D．答案：A解答：如下圖所示，延長(zhǎng)BC、AD交于O，∵∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠B＝∠CDO＝90°，∠O＝30°，∵AB＝4，CD＝2，∴OA＝2AB＝8，CO＝2CD＝4，由勾股定理得：，，∴，，∴AB＋AD＋DC＋BC＝，故選A．分析：延長(zhǎng)BC、AD交于O，求出OA、OD、OC、OB的值，求出BC、AD，即可求出答案．二、填空題16．如圖，要使平行四邊形ABCD是矩形，則應(yīng)添加的條件是（只填一個(gè)）．答案：∠ABC＝90°或AC＝BD（不唯一）解答：根據(jù)矩形的判定定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故添加條件：∠ABC＝90°或AC＝BD，故答案為∠ABC＝90°或AC＝BD．分析：根據(jù)矩形的判定定理：①對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，②有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，直接添加條件即可．17．對(duì)角線的四邊形是矩形．答案：相等且互相平分解答：根據(jù)矩形的判定：對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故填“相等且互相平分”．分析：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，而對(duì)角線又相等故為矩形．18．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何輔助線的前提下，要想該四邊形成為矩形，只需再加上的一個(gè)條件是．（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可）答案：∠A＝90°解答：添加的條件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠A＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：∠A＝90°．分析：根據(jù)平行四邊形的判定先推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的定義即可得出答案．19．如圖所示，已知平行四邊形ABCD，下列條件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能說(shuō)明平行四邊形ABCD是矩形的有（填寫(xiě)序號(hào)）．答案：①④解答：能說(shuō)明平行四邊形ABCD是矩形的有：①對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；④有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．分析：矩形是特殊的平行四邊形，矩形有而平行四邊形沒(méi)有的特征是：矩形的四個(gè)內(nèi)角是直角；矩形的對(duì)角線相等且互相平分；可根據(jù)這些特點(diǎn)來(lái)選擇條件．20．如圖，在△ABC中，AB＝AC，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到△FEC，連接AE、BF．當(dāng)∠ACB為度時(shí)，四邊形ABFE為矩形．答案：60解答：如果四邊形ABFE為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，那么AF＝BE，AC＝BC，又因?yàn)锳C＝AB，那么三角形ABC是等邊三角形，所以∠ACB＝60°．分析：本題主要考查了矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等且互相平分．三、解答題21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合）在BC上，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AD，BF．（1）求證：△AEF≌△BED；答案：解答：證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E為AB的中點(diǎn)，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）．（2）若BD＝CD，求證：四邊形AFBD是矩形．答案：四邊形AFBD是矩形解答：證明：∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四邊形AFBD是矩形．分析：（1）AAS或ASA證全等；（2）根據(jù)對(duì)角線互相平分的證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明∠ADB＝90°，進(jìn)而根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得證．22．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF＝BD，連接BF．（1）求證：BD＝CD；答案：解答：證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝CD．（2）如果AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．答案：四邊形AFBD是矩形解答：四邊形AFBD是矩形，理由：∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AF＝BD，又∵過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，即AF∥BC，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∴四邊形AFBD是矩形．分析：（1）先由AF∥BC，利用平行線的性質(zhì)可證∠AFE＝∠DCE，而E是AD中點(diǎn)，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可證△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，從而有BD＝CD；（2）四邊形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四邊形AFBD是平行四邊形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三線合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．23．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在AB邊上，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交∠ABC的平分線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD交直線OD于點(diǎn)E．（1）求證：OE＝OD；答案：解答：證明：∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC；∵ED∥BC，∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，∴△OBD為等腰三角形，∴OB＝OD，在Rt△EBD中，OB＝OD，那么O就是斜邊ED的中點(diǎn)．∴OE＝OD．（2）當(dāng)點(diǎn)O在AB的什么位置時(shí)，四邊形BDAE是矩形？說(shuō)明理由．答案：O為AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BDAE為矩形解答：解：∵四邊形BDAE為矩形，∴∠AEB為直角即△AEB為直角三角形，OA＝OB＝OE＝OD，∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，∴O為斜邊AB的中點(diǎn)，∴O為AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BDAE為矩形．分析：（1）根據(jù)角平分線和等腰三角形腰長(zhǎng)相等性質(zhì)證明OB＝OD，再根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)即可判定O點(diǎn)為DE的中點(diǎn)，即OE＝OD；（2）設(shè)定四邊形BDAE為矩形，可求出Rt△AEB中，O點(diǎn)為斜邊AB的中點(diǎn)．24．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接