24/2423/24/2023屆陜西省渭南市高三下學期教學質(zhì)量檢測(Ⅰ)理科數(shù)學試題命題人：王建龍韓黎波蔡雯偉注意事項：1.本試題滿分150分，考試時間120分鐘.2.答卷前務必將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫在答題卡和答題紙上.3.將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi).一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集定義計算.【詳解】對于集合B，，；故選：B.2.設復數(shù)滿足，則的虛部是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的值，然后兩邊同除，最后用復數(shù)的除法運算求解.【詳解】，即所以的虛部是.故選：C3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.20【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示得，再求向量的模；【詳解】解：由，得，則，即所以.故選：B4.已知拋物線，則它的焦點坐標是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線化為標準方程，確定焦點位置，根據(jù)公式計算即可.【詳解】解：拋物線化為，∵拋物線開口向上，焦點在軸正半軸，∴焦點為，即．故選：D.【點睛】拋物線性質(zhì)的應用技巧：（1）利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標準方程；（2）要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)簡化運算.5.2022年6月5日上午10時44分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號F運載火箭，將神舟十四號載人飛船和3名中國航天員送入太空這標志著中國空間站任務轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載人飛行任務正式開啟.火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強級（單位：）與聲強（單位：）滿足.若人交談時的聲強級約為，且火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為，則火箭發(fā)射時的聲強級約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設人交談時的聲強為，從而得到，求出火箭發(fā)射時的聲強為，代入解析式求出答案.【詳解】設人交談時的聲強為，則火箭發(fā)射時的聲強為，則，解得：，則火箭發(fā)射時的聲強為，將其代入中，得：，故火箭發(fā)射時的聲強級約為.故選：B6.如圖，在直三棱柱中，，且分別是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線線平行可得或其補角是異面直線與所成的角，利用三角形三邊關(guān)系，由余弦定理即可求解.【詳解】如圖，在棱上取一點，使得，取的中點，連接,，由于分別是棱的中點，所以，故四邊形為平行四邊形，進而,又因為是的中點，所以,所以，則或其補角是異面直線與所成的角.設，則，從而，故,故異面直線與所成角的余弦值是.故選：A7.為了激發(fā)同學們學習數(shù)學的熱情，某學校開展利用數(shù)學知識設計的比賽，其中某位同學利用函數(shù)圖象設計了如圖的，那么該同學所選的函數(shù)最有可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將圖形置于直角坐標系中，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性即可得結(jié)果.【詳解】將圖形置于直角坐標系中，如圖所示：由圖易知該函數(shù)為偶函數(shù)，對于選項B，滿足，即為奇函數(shù)，故可排除；對于選項D，滿足，即為非奇非偶函數(shù)，故可排除；對于選項C，，令，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以在恒成立，即在單調(diào)遞增，故排除；故選：A.8.若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切二倍角公式即同角三角函數(shù)關(guān)系化簡得到，.【詳解】變形為，即，因為，所以，，所以，因為，所以，解得：，因為，，解得：.故選：B9.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增的概率為，且隨機變量．則等于（）[附：若，則，．]A.0.1359 B.0.1587 C.0.2718 D.0.3413【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件可求出，則.根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即可求得.【詳解】使在R上單調(diào)遞增的充要條件是，即，故.由于隨機變量，則，即，即，.故，，所以．故選：A．10.在中，內(nèi)角所對應的邊分別為，且，若的面積，則面積的最小值為A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】因為，所以,因為，所以因為因此面積最小值為，選B.點睛：三角形中最值問題，一般轉(zhuǎn)化為條件最值問題:先根據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或函數(shù)方法求最值.在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.11.已知雙曲線C：(a>0，b>0)的右焦點為F，點A，B分別為雙曲線的左，右頂點，以AB為直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線在第一，二象限分別交于P，Q兩點，若OQ∥PF(O為坐標原點)，則該雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得為等腰三角形，作,垂足為,過作軸，交漸近線第一象限部分于,則，利用相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合的基本關(guān)系求得的關(guān)系，進而求.【詳解】如圖所示，,又雙曲線的漸近線關(guān)于軸對稱，,為等腰三角形，作,垂足為,過作軸，交漸近線第一象限部分于,則，,.由三角形相似的性質(zhì)得,即，整理得，故選：D.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線和離心率，關(guān)鍵是抓住問題的特殊性，適當添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)及的基本關(guān)系得到的關(guān)系，從而求得離心率的值.12.已知函數(shù)，，的定義域均為，為的導函數(shù).若為偶函數(shù)，且，.則以下四個命題：①；②關(guān)于直線對稱；③；④中一定成立的是（）A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④【答案】D【解析】【分析】由為偶函數(shù)可得為奇函數(shù)，繼而得到是以4為周期周期函數(shù)，即可判斷①③④，由可得，繼而得到，即可判斷②【詳解】對②：由，可得，則（與為常數(shù)），令，則，所以，則，故關(guān)于直線對稱，②正確；對①：∵為偶函數(shù)，則，∴，則為奇函數(shù)，故，即，則是以4為周期的周期函數(shù)，由，令，則，可得，故，①正確；由，令，則，即，令，則，即，故，則，對③：由，即，則，由于無法得出的值，③錯誤；對④：，④正確；故選：D.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是_____________.【答案】8【解析】【分析】由題中條件作出平面區(qū)域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義分析運算.【詳解】由，作出平面區(qū)域，如圖所示，∵，即，表示斜率為2，橫截距為的直線，∴當直線過點時，橫截距取到最大值，故的最大值是.故答案為：8.14.杜甫“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨，揭示了戰(zhàn)爭給人民帶來的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》，“三別”是指《新婚別》《無家別》《垂老別》．語文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中選一篇推薦給同學們課外閱讀，那么語文老師選的三篇中含《新安吏》和《無家別》的概率是________．【答案】【解析】【分析】寫出從“三吏”中選兩篇，從“三別”中選一篇的樣本空間，寫出事件“語文老師選的三篇中含《新安吏》和《無家別》”的樣本點，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】將《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》分別記為a、b、c，《新婚別》《無家別》《垂老別》分別記為d、e、f，從“三吏”中選兩篇，從“三別”中選一篇的樣本空間為，共9個樣本點，記事件A為“語文老師選的三篇中含《新安吏》和《無家別》”，則，共2個樣本點，故，故答案為：15.將函數(shù)和直線的所有交點從左到右依次記為，，…，，若，則____________.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)題意作出兩個函數(shù)的圖象分析交點個數(shù)，利用對稱性化簡向量的和即可求解.【詳解】如圖可知：函數(shù)和直線共有5個交點，依次為，其中，∵函數(shù)和直線均關(guān)于點對稱，則關(guān)于點對稱，∴，且，故故答案為：10.16.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為1，則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為_______；用過三點的平面去截勒洛四面體，所得截面的面積為_____________.【答案】①.②.【解析】【分析】空1：根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，設該球與勒洛四面體的一個切點，連接，則三點共線，且為該球球心，也是正四面體的中心，再求正四面體的外接球半徑即可得以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑；空2：再結(jié)合勒洛四面體的構(gòu)成可知過三點的截面面積為3個半徑為1，圓心角為的扇形的面積減去兩個邊長為1的正三角形的面積，再計算即可得答案.【詳解】空1：根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖1，點為該球與勒洛四面體的一個切點，為該球球心，由正四面體的性質(zhì)可知該該球球心為正四面體的中心，半徑為，連接，則三點共線，此時，為正四面體的外接球的半徑，由于正四面體的棱長為1，其可以在棱長為的正方體中截出，所以正四面體的外接球的半徑即為棱長為的正方體的外接球半徑，即正方體體對角線的一半，則，故勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑；空2：如圖2，根據(jù)勒洛四面體的構(gòu)成可知，過三點的截面面積為3個半徑為1，圓心角為的扇形的面積減去兩個邊長為1的正三角形的面積，所以所得截面的面積為.故答案為：；.【點睛】方法點睛：①由勒洛四面體分析內(nèi)切球的球心所在的位置，結(jié)合正方體求其半徑；②分析可知勒洛四面體面積最大的截面即經(jīng)過四面體表面的截面，計算出該截面面積，可得結(jié)果.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設數(shù)列的前項和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，從而利用等差數(shù)列求和公式求出，再利用求出答案；（2）裂項相消法求和.【小問1詳解】∵，∴，∴，∴，當時，，又適合上式，因此；【小問2詳解】，故.18.在多面體ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四邊形ACDE為直角梯形，，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F(xiàn)為DE的中點，且點滿足．（1）證明：GF平面ABC；（2）當多面體ABCDE的體積最大時，求二面角A-BE-D的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證四邊形CDNM為平行四邊形，進而可得CM//DN，又中位線定理得GF//DN，則GF//CM，再由線面平行的判定定理即可證結(jié)論.（2）過B作BH⊥AC交AC于H，由多面體ABCDE體積最大得BH最大，可知，為的中點，從而建立空間直角坐標系，求面ABE與面DBE的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示即可求二面角ABED的正弦值.【小問1詳解】取AB，EB中點M，N，連接CM，MN，ND，在梯形ACDE中，且DC=EA，而M，N分別為BA，BE中點，∴MN//EA，MN=EA，∴MN//CD，MN=CD，即四邊形CDNM是平行四邊形，∴CM//DN，又，N為EB中點，∴G為EN中點，又F為ED中點，∴GF//DN，故GF//CM，又CM平面ABC，GF平面ABC，∴平面ABC.【小問2詳解】在平面ABC內(nèi)，過B作BH⊥AC交AC于H．∴平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，BH平面ABC，BH⊥AC，∴BH⊥平面ACDE，則BH為四棱錐B-ACDE的高，又底面ACDE面積確定，要使多面體ABCDE體積最大，即BH最大，此時AB=BC=，，為的中點，連結(jié)，易得，易知HB，HC，HF兩兩垂直，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系H-xyz，∴，則，設為平面ABE的一個法向量，則，即，取，設為平面DBE的一個法向量，則，即，取，∴，∴二面角ABED的正弦值為.19.某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評估藥物對目標適應癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗，檢測顯示臨床療效評價指標的數(shù)量與連續(xù)用藥天數(shù)具有相關(guān)關(guān)系.隨機征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗，并得到了一組數(shù)據(jù)，其中表示連續(xù)用藥天，表示相應的臨床療效評價指標的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗，剛開始用藥時，指標的數(shù)量變化明顯，隨著天數(shù)增加，的變化趨緩.經(jīng)計算得到如下一些統(tǒng)計量的值：，.（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到；（2）新藥經(jīng)過臨床試驗后，企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時批量生產(chǎn)該商品，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為，兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品相互獨立.（i）隨機抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；（ii）若在抽查中發(fā)現(xiàn)3件不合格藥品，求其中至少有2件藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.附：相關(guān)系數(shù).【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）帶相關(guān)系數(shù)公式計算即可；（2）（i）記事件，，計算即可；（ii）根據(jù)條件概率計算得，再由服從二項分布解決即可.【小問1詳解】樣本的相關(guān)系數(shù)為【小問2詳解】（i）設“隨機抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品為不合格”，“隨機抽取一件藥品為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，“隨機抽取一件藥品為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則，又，于是.（ii）在抽查中發(fā)現(xiàn)的任一件不合格藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率為：，故3件不合格藥品中至少有2件藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率為.20.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠流長.某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）步驟1：設圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設定點到圓心的距離為4，按上述方法折紙.（1）以點、所在的直線為軸，建立適當?shù)淖鴺讼担笳酆蹏傻臋E圓的標準方程；（2）若過點且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，在軸的正半軸上是否存在定點，使得直線，斜率之積為定值？若存在，求出該定點和定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在點，使得直線與斜率之積為定值.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義對照折紙的方法求出；（2）設直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)斜率的定義求解即可.【小問1詳解】如圖，以所在的直線為軸，的中點為原點建立平面直角坐標系設為橢圓上一點，由題意可知，，所以點軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓，因為，，所以，，則，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由已知：直線過，設的方程為，由題意m必定是存在的，聯(lián)立兩個方程得，消去得，得，設，，則，（*），，將（*）代入上式，可得上式，要使為定值，則有，，又∵，∴，此時，∴存在點，使得直線與斜率之積為定值；綜上，橢圓的標準方程為，存在點，使得直線與斜率之積為定值.21.已知函數(shù)，其中，為的導函數(shù).（1）當，求在點處的切線方程；（2）設函數(shù)，且恒成立.①求的取值范圍；②設函數(shù)的零點為，的極小值點為，求證：.【答案】（1）（2）①;②詳見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義即可求解.（2）①先對函數(shù)求導，得到，推出，求導，得到，解對應不等式，得到單調(diào)性，求出其最小值，再根據(jù)恒成立，即可得出結(jié)果；②先設，求導得.設，對其求導，判定單調(diào)性，從而得到函數(shù)單調(diào)性，得到是函數(shù)的極小值點，得到，再由①得時，，推出所以，得到，得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再由題意，即可得出結(jié)論成立.【小問1詳解】時，,,,，所以函數(shù)在處的切