空間向量解決立體幾何問(wèn)題第1頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。立體幾何問(wèn)題的類型第2頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，是利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題的發(fā)展。主要變化是維數(shù)增加了，討論的對(duì)象由二維圖形變?yōu)槿S圖形。為了用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，首先必須把點(diǎn)、直線、平面的位置用向量表示出來(lái)。第3頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一直線的方向向量和法向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量。如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是：zxyAB1.直線的方向向量第4頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一αn直線的方向向量和法向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時(shí)向量n叫做平面α的法向量.第5頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一利用空間向量決定點(diǎn)、直線和平面在空間中的位置1、如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置？OP2、如何確定一條直線在空間的位置？3、如何確定一個(gè)平面在空間的位置？O第6頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面向量，所以我們可以利用直線的方向向量和平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系。第7頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一知識(shí)點(diǎn)設(shè)直線的方向向量為分別為，平面的法向量分別為第8頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一習(xí)題講解1、設(shè)分別是直線的方向向量，根據(jù)下列條件判斷直線的位置關(guān)系。第9頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一習(xí)題講解2、設(shè)分別是平面的法向量，根據(jù)下列條件判斷平面的位置關(guān)系。第10頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題講解定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。已知：直線和平面，其中，相交，，求證：第11頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），求平面ABC的一個(gè)法向量。習(xí)題講解依題意得：解：設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量，令，則所以，平面ABC的一個(gè)法向量為1第12頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).求平面的法向量的坐標(biāo)的步驟第13頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2、在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy習(xí)題講解第14頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖）,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).2、在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.習(xí)題講解AAABCDOA1B1C1D1zxy第15頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖）,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).第16頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二.立體幾何問(wèn)題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab第17頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD第18頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

第19頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naααnaLL第20頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy第21頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(II),而

n=-2+0+2=0AB1

∥平面DBC1第22頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

n1n1n2

n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβα第23頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:面AED⊥面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1第24頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),于是設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得解之得取z=2得n1=(-1,0,2)同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD第25頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角就行了.第26頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值為_(kāi)____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD第27頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,

∴cos<，>=.第28頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,則L與α所成的角θ=-<a,n>或θ=<a,n>-(下圖).

naa

于是,因此θθnαα第29頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO第30頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)由得，解得，取y=,得n=(3,,0)而∴∴第31頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）二面角設(shè)n1、n2分別是二面角兩個(gè)半平面α、β的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號(hào)時(shí)相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號(hào)時(shí)互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n1n2n2第32頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的余弦值.BCzxyABCDS第33頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由得n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的余弦值為.第34頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,

這時(shí)分別在a、b上任取A、B兩點(diǎn),則向量在n上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB第35頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例8在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1第36頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).

∵,∴異面直線AC1與BD間的距離第37頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)點(diǎn)到平面的距離A為平面α外一點(diǎn)(如圖),n為平面α的法向量,過(guò)A作平面α的斜線AB及垂線AH.

==.于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與平面的法向量模的比值.nABHαθ第38頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB第39頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期一解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可見(jiàn),選擇平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量時(shí),與平面內(nèi)的點(diǎn)選擇無(wú)關(guān).第40頁(yè)，共4