本節(jié)內(nèi)容

本節(jié)綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)

1.函數(shù)的單調(diào)性(升降性.增減性)2.函數(shù)的極大值.極小值(極值)3.函數(shù)的最大值.最小值(最值)4.函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)(凸性)7/2/20231一、函數(shù)的上升與下降（單調(diào)性）

ooabab從導(dǎo)數(shù)的幾何意義考察函數(shù)的單調(diào)性：觀察在(a,b)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性變化關(guān)系情況7/2/20232Th.1

（導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)升降的關(guān)系）證明：(必要性)由導(dǎo)數(shù)定義和極限保號(hào)性、(略)(充分性)任取由中值定理可證.推論：（嚴(yán)格單調(diào)的充分條件）若f(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且不變號(hào)，則7/2/20233注1.

Th.1表明，討論可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，只須判別其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可，其步驟是:⑴確定的定義域；⑵求，令求出分界點(diǎn)；⑶用分界點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)開區(qū)間；⑷判別在每個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，即可確定的嚴(yán)格單調(diào)性（嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間）.7/2/20234例1.討論的上升、下降情況.解：該函數(shù)的定義域是R.由它們將R分成三個(gè)區(qū)間：xy'+－+y加題7/2/20235例2.解：定義域是R.由現(xiàn)列表討論如下：xy'+－++y討論的單調(diào)性.加題7/2/20236Th.2（不等式定理）若f(x)與g(x)滿足條件：(1)在[a,b]上可導(dǎo);注2.利用函數(shù)的升降性及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系來證明不等式．yxMoaxb擴(kuò)展7/2/20237Th.2'

若F(x)滿足證明：7/2/20238例3.證明證明：從而得證.單調(diào)增加單調(diào)減少加題7/2/20239例4.證明上：6/粉27燭/2牧02控310證畢證畢6/遙27偶/2忘02食311例5.證明給方程證明吵：6/號(hào)27船/2還02趨312二、束函數(shù)淹的極醬值1.De光f（局部括極值）6/劃27泉/2間02紙313oabxy注3.函數(shù)哪的極鼻值的魚局部挎性.定義辨中可勸以有6/示27脫/2剪02乖314直覺:函數(shù)閥的極豆值可掌能在亂駐點(diǎn)劑或?qū)?shù)不喜存在壺的點(diǎn)領(lǐng)處取莊得.駐點(diǎn)斷或?qū)П贁?shù)不駁存在粒的點(diǎn)藥統(tǒng)稱拔為臨界糊點(diǎn)（極值摟可疑級(jí)點(diǎn)）.6/錘27議/2叮02垮315結(jié)論:oxyy=2xy=報(bào)x1.2.6/像27鋸/2槐02傾316Th聲.3（極值步的必仰要條膏件）由此桃求出趣可能亮使f(x)取極舉值的假點(diǎn)之逃后，喂如何元判定妹它是宮取極概大值剝還是牲極小吵值呢厲？圖示哀可見,由導(dǎo)抹數(shù)符修號(hào)可判指定極地大極勁小值廳點(diǎn).xyoyxo極值勇可疑鑄點(diǎn)6/慈27匯/2萍02雁317Th邪.4（極值關(guān)判別評(píng)法之玩一）餓充分浪條件⑴⑵⑶6/種27瞇/2膽02媽318x－＋

取局部極小值＋－

取局部極大值＋＋

不取局部極值－－

不取局部極值證明允：由函維數(shù)的喂升降扭性及浮極值見定義衡得到.列表仙如下罷：6/姥27暴/2叮02亞319注4.6/術(shù)27屢/2澆02妨320Th.5（極值容判別另法之崗二）默充分孟條件證明速：由二朋階導(dǎo)謎數(shù)定覽義及紗極限缸保號(hào)松性、Th4得證.6/嫌27踩/2鑄02瘦321Th蟲.脹5'(1峽)(2初)定理5是定童理5'的特師殊情者形.擴(kuò)充顏內(nèi)容6/需27帽/2錢02辱322證明她：根據(jù)Ta捧yl綿or公式,有證畢6/斗27米/2躺02即323例6.解：現(xiàn)列艘表討伴論如畜下：(以這零兩個(gè)濫點(diǎn)劃昂分R)即駐球點(diǎn)和孩不可天導(dǎo)點(diǎn)哲分別障為:yxo6/右27碗/2冊(cè)02英324x0y'+不存在－0+y

6/安27潤/2秒02齊325例7.解：加題6/映27爆/2六02猴326例8.解：加題●6/象27賣/2憐02貴327三、娘函數(shù)綱的最癥大值眾和最砌小值最大票、最班小、抬最省交的問領(lǐng)題如何糊求出貌函數(shù)濕在某朝區(qū)間擊上的妹最大廉值和窩最小美值？最大剪值、癥最小炒值問聲題yxaOb6/劃27渡/2羨02泡328注1：函數(shù)癥在某薦一區(qū)思間上廳的最居大值久和最光小值,也叫全局缸極值.可導(dǎo)目函數(shù)岔在[a,罰b]上的蘆最大傭、最襲小值鐵的求侍解步挖驟：注2：6/晉27殘/2驢02筋329例9.解：所以南函數(shù)著的最任大值枕是0,最小魔值是－2.例10候.某生售產(chǎn)隊(duì)川要建竭造一晝個(gè)體斥積為50立方咐米的平有蓋價(jià)圓柱撐形氨猴水池.問這船個(gè)氨磚水池涼的高兇和底室半徑耕取多淘大時(shí)累，用射料最烏?。拷猓河昧侠⒆钍〖寰褪墙K要求對(duì)氨水油池的表面桐積最謙小.設(shè)氨減水池惡的底威半徑獄是r,高是h,它的表胸面積hrO6/些27范/2駝02連330目標(biāo)紅函數(shù)6/衰27妨/2蜓02你331用V＝50立方賤米代載入，供得到答：弊當(dāng)圓臉柱形諷氨水振池的泰高和者直徑和相等杠時(shí)，歇用料炎最省漫。這時(shí)盒相應(yīng)臘的高看為6/襪27滲/2誤02教332弧度弧長6/冤27級(jí)/2丘02不333目標(biāo)岔函數(shù)常數(shù)6/潑27燭/2賞02攤334四、乓函數(shù)義的凸鐵性是描割述函系數(shù)性分狀（彎曲宅方向）的扇一個(gè)華更深培入的臟概念.例如型：yxo6/幸27債/2印02替335上凸(下凹)下凸(上凹)幾何索角度柏：xyoxyo6/鼻27么/2鹿02姥3361.De悼f（函橡數(shù)的標(biāo)凸性擋）6/戒27給/2記02脫337注：帥函數(shù)屢的凹草凸性絕，下閣凸即錦是上菠凹.6/黨27立/2呼02哈3382.函數(shù)橋的凸喊性與粉其導(dǎo)到數(shù)的雪關(guān)系Th.道6⑴⑵證明：由La區(qū)gr岔an嘴ge公式故，得洪：事實(shí)宰上6/及27骨/2藍(lán)02尖339其中席，⑵由⑴昆得摧上凸氏，故翅下捆凸.6/劍27品/2霉02晝340De嫌f:若曲可線霞在其挎上一沫點(diǎn)內(nèi)的一側(cè)杏為上貴凸，臂另一飲側(cè)為晉下凸嚷，則倡稱此考點(diǎn)為靈曲線的拐點(diǎn).嶄(曲線執(zhí)上使鈔凸凹蓋性改蠟變的筒點(diǎn))xyoy=f(x)●6/湊27鍋/2蛋02棄341注：yxo6/褲27條/2派02磚342⑴炕求慰；⑵希令約，求狐解，磁并劃究分f(x)的定志義域艱為若伶干個(gè)開敗區(qū)間.⑶判別爐在燥每個(gè)老開區(qū)五間的江符號(hào).設(shè),列表貧討論柴如下記：3.討論f(x)的凸零性及帶拐點(diǎn)棚的步晚驟x－（上凸）0＋（下凸）是拐點(diǎn)＋（下凸）0－（上凸）是拐點(diǎn)＋（下凸）0＋（下凸）不是－（上凸）0－（上凸）拐點(diǎn)注：侍對(duì)商不哥存在凈的點(diǎn)率亦可樂類似獲討論.6/濱27殊/2巖02駝343例1.討論的凸身性及錄拐點(diǎn).解：xyo·1x0－0＋不存在＋y上凸拐點(diǎn)下凸非拐點(diǎn)下凸6/吵27飽/2獻(xiàn)02頭344例2.解：其定訴義域全是R.由xyo11-1-1x1－0＋0－y極小值－1極大值1駐點(diǎn)升降跌性與鋤極值編性6/圖27踩/2恢02慕345又列表家如下陶：x0－0＋0－0＋

上凸拐點(diǎn)下凸拐點(diǎn)上凸拐點(diǎn)下凸注意:拐點(diǎn)味是曲慕線上山使曲間線彎擊曲方食向發(fā)生生改名變的雖點(diǎn)凹凸葉性與琴拐點(diǎn)6/場(chǎng)27赴/2累02掘346x01－－－0＋＋＋0－－－－0＋＋＋0－－－0＋上凸拐點(diǎn)下凸極小下凸拐點(diǎn)上凸極大上凸拐點(diǎn)下凸統(tǒng)一仔列表當(dāng)如下:合二奶為一6/母27切/2霧02貌3474.曲線府的漸永近線xyo··雙曲短線的漸謎近線6/顯27員/2奔02垮348yxoPKMDe庸f:當(dāng)曲打線C上動(dòng)序點(diǎn)M沿著塊曲線C無限去遠(yuǎn)移權(quán)時(shí)，趟若動(dòng)原點(diǎn)M到某蠟直線L的距及離無停限趨姓于零蒜，則鼓稱直愚線L是曲漿線C的漸曉近線.CLL●●曲線脫的漸炒近線示有兩心種：1.垂直獨(dú)漸近街線:x=藏c(垂直河于x軸)2.斜漸表近線:y=ax漆+b（包咳括水阻平漸味近線y=質(zhì)b）6/負(fù)27監(jiān)/2假02暈349(1航)垂直煤漸近啦線例如籃：即y軸是銀它的劍垂直攻漸進(jìn)稱線.6/法27犯/2委02川350⑵絮斜漸綁近線如何科求出搏漸近幅線藏呢?fù)?？①因刊是字常?shù)質(zhì)，故②見PP刮T49圖6/忠27惕/2惠02忽351性質(zhì):直線蠶是球曲線組的斜崖漸近甚線因此淹得從而由②貫得③④特別超，當(dāng)a巖=口0時(shí)，眠就是水平輔漸近鳥線.即：直線鎖是水摔平漸忌近線求法6/科27猾/2聰02善352例3.解：由于故x=車1為f(x)的垂直獸漸近攀線.又故6/記27層/2狐02膨353故津是漸碧近線.例4.求雙丙曲線心的栗漸近駁線.解：因函拖數(shù)在加題計(jì)算宿得:6/屆27協(xié)/2裙02劣354例5.漢①②③加題P2我21例題按漸麥近線辦的定義圍求極醉限6/虛27笨/2燒02傭355綜合見運(yùn)用揉函數(shù)筑特性鑰描繪溝函數(shù)到圖形,一般安步驟并：5.函數(shù)仍的圖校形(1貍)確定貫函數(shù)管的引定義版域,討論豬函數(shù)痰的奇欄偶性威、對(duì)稱發(fā)性、炸周期蠢性等夏性態(tài);(2溉)求出據(jù)使不存護(hù)在的港點(diǎn),把函像數(shù)的莊定義耐域劃勒分成層幾個(gè)耽部分舞區(qū)間;(3英)根據(jù)另的符號(hào),確定墾函數(shù)工的上權(quán)升或替下降篩區(qū)間,圖形驅(qū)的上測(cè)凸或買下凸背區(qū)間,以及卻極值佳和拐貪點(diǎn);可列嘩表討鐮論;(4市)確定部函數(shù)觸圖形營的水平農(nóng)、垂逃直漸炊近線誼、斜紡漸近遲線;(5腰)描點(diǎn)知作圖.描出極值昏點(diǎn)、宋拐點(diǎn),曲線招與坐漸標(biāo)軸合的交啦點(diǎn).6/熊27洞/2陷02聞356例12予.解：(3榆)列表流討論話如下永：P2究22例題6/運(yùn)27果/2疫02沿357表1.函數(shù)幟的上拆升、膊下降率和極央值.表2.函數(shù)格的上劇凸、刷下凸蹲和拐漆點(diǎn).

x

0(0,1)

1y'

＋不存在

－

0

＋

y無定義

極小值0

x

0y"

＋不存在

＋

0

－

y

無定義拐點(diǎn)6/睜27響/2縱02令358表3.統(tǒng)一夾列表x

01y'＋不存在－

0＋＋＋

＋不存在＋＋＋

0－

y

無定義

極小值0

拐點(diǎn)

6/橡27紅/2蹈02義359(5對(duì))曲線色與坐膚標(biāo)軸追的交味點(diǎn)為A(1竭,0蠶).y

x0.511.521ACB

y=1漸近線O綜合魯上述掩討論惰作圖魄如下腎：6/維27幣/2鉗02望360例13豬.解：（3）列表么討論惠如下衡：6/淹27波/2檢02罪361

－2

－1

0＋

0－不存在－

0＋－－－不存在＋＋＋極大值－4極小值0上苗凸下盞凸無定義又因凍為即，a=廊1，b=設(shè)-16/嗎27質(zhì)/2裹02勺362(5棄)曲線方與坐甜標(biāo)軸脖交于肚原點(diǎn),作圖燦如下歇：yx-2-1O

-1-2-3-46/辭27鋪/2征02歐363Ma胳tl較ab程序6/橫27雅/2吵02呆364函數(shù)毯圖形治的描憐繪,綜合煌運(yùn)用隱函數(shù)女性態(tài)腦的研壺究,是導(dǎo)躲數(shù)應(yīng)清用的宣綜合臂考察.最大剖值最小篩值極大夢(mèng)值極小卸值拐點(diǎn)凹的凸的單增單減6/漆27個(gè)/2尺02解3651.單調(diào)忠性的影判別是拉煎格朗吳日中石值定畫理的曉重要載應(yīng)用.定理控中的稿區(qū)間田換成攜其它翅有限醉或無靈限區(qū)茄間，紀(jì)結(jié)論專仍然洲成立.應(yīng)