幾何圖形中的十字架結(jié)構(gòu)

基本模型在正方形ABCD中，若BN⊥AM，則可以推出以下結(jié)論：△ADM≌△BANAM=BN在正方形ABCD中，若E、F、G、H分別為AB、CD、BC、AD邊上的點，且EF⊥GH，則上述結(jié)論仍然成立。因此，我們可以利用全等推導(dǎo)出相等，從而得出垂直的結(jié)論。如果EF=GH，則EF與GH不一定垂直?？梢援嫵龇蠢齺碚f明這一點，如下圖所示。例題1：將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使得點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F在AD邊，求折痕FG的長。由于正方形內(nèi)可出現(xiàn)垂直，因此我們可以利用這一結(jié)論來解題。模型拓展一在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有一點E，若CE⊥BD，則CE和BD之間有以下數(shù)量關(guān)系：如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，E、F、G、H分別為AD、BC、AB、CD邊上的點，當(dāng)EF⊥GH時，也可以利用上述結(jié)論來推導(dǎo)出相等和垂直的結(jié)論。例題1：已知直線y=-1/x+2與x軸、y軸分別交于B、A兩點，將△AOB沿著AB翻折，使點O落在點D上，當(dāng)反比例函數(shù)y=k/x經(jīng)過點D時，求k的值。練習(xí)：如圖所示，把邊長為AB=6，BC=8的矩形ABCD對折，使點B和D重合，求折痕MN的長。模型拓展二直角三角形可以看成是連接矩形對角線后分成的圖形，因此矩形的結(jié)論可以沿用至直角三角形內(nèi)。例題1：在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，點D為AC上一點，連接BD，E為AB上一點，CE⊥BD，當(dāng)AD=CD時，求AE的長。練習(xí)：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，點D為BC邊上的中點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC于點F，則AF/FC的值為___________。其它四邊形中的十字如圖所示，把邊長為AB=22，BC=4且∠B=45°的平行四邊形ABCD對折，使點B和D重合，求折痕MN的長。2、如圖所示，四邊形ABCD中，BA=BC=6，DA=DC=8，且∠BAD=90°，DE⊥CF，求DE的長度?！揪毩?xí)題】1、如圖所示，將邊長為6cm的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在Q處，EQ與BC交于點G。（1）求AF的長度；（2）求△EBG的周長；（3）求CH的長度。2、如圖所示，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點，BF⊥AC，垂足為E，AD1/AB2=S1，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則S1/S2的值等于多少。3、如圖所示，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=2。其中正確的結(jié)論有幾個？A.4個B.3個C.2個D.1個4、新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”。如圖所示，△ABC中，AF、BE是中線，且AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此時AC的長度為多少？5、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC于點F。（1）如果AB/BD=1，求AD/DC的值；（2）如果AB/BD=n，求AD/DC的所有可能的值（用含n的式子表示），不必證明。【其它四邊形中的十字】1、如圖所示，把邊長為AB=22、BC=4且∠B=45°的平行四邊形ABCD對折，使點B和D重合，求折痕MN的長度。2、已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G。（一）問題初探；如圖①，若四邊形ABCD是正方形，且DE⊥CF，則DE與CF的長度關(guān)系是什么？（二）類比延伸（1）如圖②，若四邊形ABCD是矩形，AB=m，AD=n，且DE⊥CF，則DE/CF=多少？（用含m，n的代數(shù)式表示）（2）如圖③，若四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)∠B+∠EGC=180°時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由。（三）拓展探究探究證明：某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請你給出證明。在圖1中，已知矩形ABCD，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點G，H。要證明EF/AD=GH/AB。解法：連接AC，BD，由于矩形ABCD中，AC=BD，所以∠ACD=∠BAC，∠CBD=∠CAD，因此△ACD∽△BAC，△CBD∽△CAD。設(shè)EF與AD的交點為K，GH與AB的交點為L，則有：EK/AK=EF/AD，HL/BL=GH/AB。由于EK=HL，AK=BL，所以EK/AK=HL/BL，即EF/AD=GH/AB。因此，結(jié)論得證。結(jié)論應(yīng)用：在滿足探究證明中的條件下，又AM⊥BN，點M，N分別在邊BC，CD上，若EF/BN=11/15，則GH/AM的值為多少？解法：根據(jù)探究證明中的結(jié)論，有EF/AD=GH/AB。又因為AM⊥BN，所以AM/BN=AD/AB，即AM=AD×BN/AB。將AM和BN代入EF/BN=11/15中，得EF/AD=11/15×BN/AM。將EF/AD=GH/AB代入，得GH/AB=11/15×BN/AM。將AM代入，得GH/AB=11/15×BN/(AD×BN/AB)，即GH/AM=11/15×AB/AD。因此，GH/AM=22/3。答案為22/3。聯(lián)系拓展：在圖3中，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求DN的值。解法：連接AC，BD，由于矩形ABCD中，AC=BD，所以∠ACD=∠BAC，∠CBD=∠CAD，因此△ACD∽△BAC，△CBD∽△CAD。設(shè)DN與AC的交點為K，則有：DN/AD=AK/AC。又因為AM⊥DN，所以∠AKM=9