無(wú)限單元在地基動(dòng)力反應(yīng)中的應(yīng)用摘要：在地下結(jié)構(gòu)或土體的動(dòng)力分析中，無(wú)限地基的模擬是其中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。本文對(duì)無(wú)限地基模擬的人工邊界方法進(jìn)行了若干理論探討，并借助于有限元軟件ABAQUS中對(duì)各類人工邊界進(jìn)行了算例模擬，最后將無(wú)限單元、粘性邊界和修正的粘彈性邊界的數(shù)值計(jì)算結(jié)果同理論解進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，相對(duì)于其它人工邊界而言無(wú)限單元的效果較好，而且使用簡(jiǎn)單，是無(wú)限地基的動(dòng)力模擬的有效方法。關(guān)鍵詞：人工邊界，粘性邊界，粘彈性邊界，無(wú)限單元AnalysisandComparisonsofNumericalSimulationsforInfiniteMediumUsingArtificialBoundaryABSTRACT:Thenumericalsimulationofinfinitemediumisaveryimportanttopicindynamicanalysisofundergroundstructuresorsoils.Thispaperinvestigatestheinfluenceofartificialboundaryconditionssuchasviscousboundary,modifiedviscous-springboundary,andinfiniteelementonstructuralanalysisusingthefiniteelementsoftwarepackage,ABAQUS.Thecomparisonofthenumericalresultswiththeclosedformsolutionshowsthattheinfiniteelementismoreeffectiveandmoreaccuratethantheothertwo.Soitisrecommendedtousetheinfiniteelementwhensimulatinginfinitedomains.Keywords:artificialboundary,viscousboundary,modifiedviscous-springboundary,infiniteelement.1.引言在對(duì)土體或地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析的過(guò)程中，必須對(duì)實(shí)際上近于無(wú)限的計(jì)算域用某一人為邊界截?cái)啵拍茉谟邢薜膮^(qū)域內(nèi)劃分有限個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算。這樣就不可避免地給計(jì)算結(jié)果引入截?cái)嗾`差。特別是對(duì)于動(dòng)力分析問(wèn)題，應(yīng)力波傳到截?cái)噙吔鐣r(shí)將發(fā)生反射，常常會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)不能允許的誤差。這就使得動(dòng)力分析過(guò)程中邊界處理問(wèn)題尤為重要，也吸引了很多學(xué)者進(jìn)行這方面的研究。最初和最簡(jiǎn)單的人工邊界是遠(yuǎn)置人工邊界。1968，Alterman[REF_Ref132620700\h8]首次將無(wú)限域用一個(gè)很大的有限域來(lái)模擬，這種遠(yuǎn)置人工邊界的方法成為現(xiàn)在常用的檢驗(yàn)邊界精度的一個(gè)比較精確的方法。一般認(rèn)為[REF_Ref132622950\h10]，當(dāng)人工邊界與計(jì)算結(jié)構(gòu)的距離為結(jié)構(gòu)特征尺寸5～10倍時(shí)，上述遠(yuǎn)置人工邊界可以取得一個(gè)較穩(wěn)定的值。1969年，Lysmer和Kuhlemeyer[REF_Ref132620780\h6]提出了粘性邊界條件（viscousboundarycondition）。粘性邊界利用在邊界上設(shè)置法向和切向阻尼器的方法吸收反射波的能量，從而減少邊界反射波引入的誤差。粘性邊界因?yàn)槭褂煤?jiǎn)單，因此直到現(xiàn)在都應(yīng)用較多。后來(lái)的研究者又提出了粘彈性邊界的概念，即在粘性邊界的基礎(chǔ)上并聯(lián)一個(gè)彈簧，并建立了若干修正模型[REF_Ref132619934\h3]。隨著單向波動(dòng)理論的發(fā)展，各國(guó)學(xué)者開始從波動(dòng)方程的角度的對(duì)人工邊界條件進(jìn)行研究。Lindman首先從偏微分方程構(gòu)造單側(cè)波動(dòng)方程的角度來(lái)近似模擬人工邊界外行波場(chǎng)，并依據(jù)這一思路發(fā)展了多種人工邊界。而最有代表性的則是Clayton和Engquist(1977)提出的旁軸近似人工邊界（ParaxialApproximationboundary）。這是70年代和80年代人工邊界研究的標(biāo)志性成果。80年代初期，我國(guó)學(xué)者廖振鵬[REF_Ref132620827\h7]（1984）在直接模擬單側(cè)波動(dòng)共同運(yùn)動(dòng)學(xué)特征的基礎(chǔ)上，提出了多次透射人工邊界（MTF）。這種邊界條件，以邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位移來(lái)推求邊界點(diǎn)的位移，使得人工邊界變成一種真正的可動(dòng)邊界，但是在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，這種邊界給出的計(jì)算結(jié)果有時(shí)會(huì)出現(xiàn)低頻漂移和高頻失穩(wěn)現(xiàn)象，并且控制參數(shù)的選取也帶有一定的經(jīng)驗(yàn)性。下面僅對(duì)粘性邊界、修正粘彈性邊界及有限元軟件ABAQUS自帶的無(wú)限單元進(jìn)行簡(jiǎn)要的說(shuō)明，并對(duì)各種邊界的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比研究。結(jié)果表明，ABAQUS自帶的無(wú)限單元使用簡(jiǎn)單，而且具有較高的效率和計(jì)算精度。2.各種邊界條件的簡(jiǎn)要說(shuō)明（1）粘性邊界[REF_Ref132620780\h6]1969年，Lysmer和Kuhlemeyer提出了粘性邊界條件（viscousboundarycondition）。粘性邊界最初的想法是把無(wú)限域分成內(nèi)部域和外部域，從內(nèi)部域向外部域行進(jìn)的波應(yīng)該全部通過(guò)，而沒(méi)有反射，因此，可以把外部域看作是一個(gè)波動(dòng)吸收器或是一個(gè)無(wú)反射邊界?；谶@種思想，Lysmer等提出了邊界條件用以下公式表示： （SEQ公式\*ARABIC1）其中，分別是邊界的法向和切向應(yīng)力；是介質(zhì)密度；分別是波和波波速；分別是法向和切向速度。從以上我們可以看出，粘性邊界的實(shí)質(zhì)就是在人工邊界上施加法向和切向的阻尼器。（2）修正的粘彈性邊界[2,3]杜修力和趙密利用平面波和遠(yuǎn)場(chǎng)散射波經(jīng)驗(yàn)疊加來(lái)反映外行波傳播，并在推導(dǎo)過(guò)程中考慮了多角度透射的影響，然后引入無(wú)限介質(zhì)的線彈性本構(gòu)關(guān)系建立了一種應(yīng)力人工邊界條件。其中對(duì)粘彈性邊界的粘性系數(shù)和彈性系數(shù)各提出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)系數(shù)進(jìn)行了修正。其中對(duì)二維問(wèn)題，法向和切向的彈簧和阻尼系數(shù)分別為：法向 （SEQ公式\*ARABIC2） （SEQ公式\*ARABIC3）切向 （SEQ公式\*ARABIC4） （SEQ公式\*ARABIC5）（3）無(wú)限單元[REF_Ref132621207\h9]無(wú)限元的概念最早由Ungless提出，后來(lái)經(jīng)過(guò)Bettess，Zienkiewicz等人的發(fā)展，在使用上已經(jīng)很廣泛了。REF_Ref133724134\h圖1為整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的映射簡(jiǎn)圖。圖SEQ圖\*ARABIC1整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的映射簡(jiǎn)圖Fig.1Mappedfigurebetweenwholecoordinateandlocalcoordinate對(duì)于一維的情況，整體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)之間的關(guān)系可以寫為 （SEQ公式\*ARABIC6）從而可以看出當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，符合無(wú)限元映射到無(wú)限遠(yuǎn)的條件。將，代入式（6）可以得到，即 （SEQ公式\*ARABIC7）利用插值函數(shù)表達(dá)式，可得 （SEQ公式\*ARABIC8）根據(jù)無(wú)限元的性質(zhì)，認(rèn)為無(wú)窮遠(yuǎn)處的位移為零，即，因此可得 （SEQ公式\*ARABIC9）將式（7）代入式可得 （SEQ公式\*ARABIC10）由此得到位移隨著距離的衰減函數(shù)，即位移為無(wú)限單元節(jié)點(diǎn)位移的和的函數(shù)。將上述推導(dǎo)的無(wú)限單元應(yīng)用于靜力問(wèn)題的有限元分析，可以獲得很好的計(jì)算結(jié)果；但若將其直接應(yīng)用于動(dòng)力問(wèn)題的有限元分析，計(jì)算過(guò)程中有限單元和無(wú)限單元的交界處仍然會(huì)產(chǎn)生一些散射波，從而影響計(jì)算精度。下面的推導(dǎo)將通過(guò)給無(wú)限單元引入分布阻尼的方式消除上述散射波的影響。基于垂直入射平面體波的考慮，假定靠近邊界的區(qū)域的反應(yīng)很小材料處于彈性狀態(tài)，介質(zhì)的平衡方程可以寫為 （SEQ公式\*ARABIC11）其中，為材料的密度，為介質(zhì)位移，為應(yīng)力，是位置點(diǎn)。假設(shè)介質(zhì)變形為彈性，則式（11）解為 （SEQ公式\*ARABIC12）其中，為應(yīng)變，其中，為拉梅彈性常數(shù)（其中為彈性模量，為泊松比）。對(duì)于小變形的情況，，代入式（11）可得 （SEQ公式\*ARABIC13）考慮平面波沿軸傳播時(shí)，對(duì)于壓縮波，可以得到，，；而對(duì)于剪切波，可以得到，或者，，。首先在邊界處施加分布阻尼，即邊界上的阻尼應(yīng)力為，，，然后選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)、使邊界處波的反射為零，就可以達(dá)到提高計(jì)算精度的目的。設(shè)邊界處的入射波為，則反射波為，那么在邊界處施加了分布阻尼以后總的法向應(yīng)力可以寫為 （SEQ公式\*ARABIC14）若考慮反射波為零，即，則式REF_Ref133201220\h （（14）成立的條件為 （SEQ公式\*ARABIC15）同理，可得。將這些分布阻尼內(nèi)嵌入ABAQUS中的無(wú)限單元中就可以進(jìn)行無(wú)限地基的動(dòng)力模擬。由于無(wú)限單元中非線性衰減映射函數(shù)對(duì)分布阻尼具有調(diào)整作用，所以相對(duì)于直接加阻尼器而言，ABAQUS中的無(wú)限單元可以取得更好的效果。3.算例驗(yàn)證對(duì)于無(wú)限大的土體，邊界條件對(duì)計(jì)算精度的影響是不可忽略的，因此，本文對(duì)不同的邊界條件進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。對(duì)于無(wú)限大各向同性地基，理論解表明[REF_Ref132620827\h7]土體自由表面的位移幅值為底部輸入位移幅值的2倍。（1）算例情況說(shuō)明計(jì)算模型[REF_Ref132615429\h1]如REF_Ref130722924\h圖2，均勻場(chǎng)地，計(jì)算物理參數(shù)為：泊松比，質(zhì)量密度，剪切模量，剪切波速。入射波位移過(guò)程為，直入射，人工邊界劃定的計(jì)算范圍，單元大小，計(jì)算時(shí)步，計(jì)算區(qū)各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)初始條件為零。圖SEQ圖\*ARABIC2均勻場(chǎng)地計(jì)算示意圖Fig.2Sketchmapofhomogeneousfield（2）各種邊界計(jì)算結(jié)果及對(duì)比a無(wú)限單元ABAQUS自帶的無(wú)限單元在無(wú)限元映射函數(shù)的基礎(chǔ)上，將分布阻尼嵌入到無(wú)限單元中。為了盡可能使得靠近邊界區(qū)域的反應(yīng)為彈性，應(yīng)使無(wú)限單元遠(yuǎn)離我們所關(guān)心的區(qū)域。中心區(qū)域的有限單元部分的單元大小為，而靠近邊界的有限單元的尺寸可以適當(dāng)放大，REF_Ref133463118\h圖3為無(wú)限元計(jì)算模型的簡(jiǎn)圖。REF_Ref130717514\h圖4，REF_Ref130723011\h圖5分別為自由表面邊界點(diǎn)及中間的兩個(gè)點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比。從圖中可以看出，運(yùn)用無(wú)限單元，表面節(jié)點(diǎn)的位移可以達(dá)到1.8倍到2.4倍之間，而且中間點(diǎn)的位移幅值接近是底部輸入位移幅值的2倍，并可以明顯地看到滯后效應(yīng)。圖SEQ圖\*ARABIC3無(wú)限元計(jì)算模型簡(jiǎn)圖Fig.3Skethmapofinfiniteelement（a）(b)圖SEQ圖\*ARABIC4表面點(diǎn)A（a）、B（b）的位移時(shí)程及相應(yīng)底面位移時(shí)程曲線Fig.4Thedisplacement-timehistoryofsurfacepointA,Bandthecorrespondingbottompoints圖SEQ圖\*ARABIC5表面點(diǎn)C位移時(shí)程及相應(yīng)底面位移時(shí)程曲線Fig.5ThedisplacementtimehistoryofsurfacepointCandthecorrespondingbottompointb.修正的粘彈性性邊界[REF_Ref132619843\h2,3]杜修力和趙密在原有粘彈性邊界的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)參數(shù)進(jìn)行修正，推導(dǎo)出了修正的粘彈性邊界。計(jì)算中采用文獻(xiàn)REF_Ref132619843\h2、REF_Ref132619934\h3中推薦的值，取。計(jì)算結(jié)果的對(duì)比如REF_Ref130723944\h圖6，REF_Ref130723948\h圖7所示。（a）（b）圖SEQ圖\*ARABIC6表面點(diǎn)A（a）、B（b）的位移時(shí)程及相應(yīng)底面位移時(shí)程曲線Fig.6Thedisplacement-timehistoryofsurfacepointA,Bandthecorrespondingbottompoints圖SEQ圖\*ARABIC7表面點(diǎn)C的位移時(shí)程及相應(yīng)底面位移時(shí)程曲線Fig.7Thedisplacement-timehistoryofsurfacepointCandthecorrespondingbottompoint從圖中可以看出，表面中間點(diǎn)的位移幅值只為底面輸入位移時(shí)程的1.8倍左右。c.粘性邊界對(duì)于普通的粘性邊界，直接在邊界上施加切向和法向阻尼器，阻尼系數(shù)利用式（15）進(jìn)行計(jì)算。REF_Ref133467005\h圖8、REF_Ref133463556\h圖9為粘性邊界的情況下，底部位移時(shí)程與表面位移時(shí)程曲線，可以發(fā)現(xiàn)，位移幅值為底部輸入幅值的1.4倍到1.8倍之間。（a）(b)圖SEQ圖\*ARABIC8表面點(diǎn)A（a）、B（b）的位移時(shí)程及相應(yīng)底面位移時(shí)程曲線Fig.8Thedisplacement-timehistoryofsurfacepointA,Bandthecorrespondingbottompoints圖SEQ圖\*ARABIC9表面點(diǎn)C的位移時(shí)程及相應(yīng)底面位移時(shí)程曲線Fig.9Thedisplacement-timehistoryofsurfacepointCandthecorrespondingbottompoint4.結(jié)論從以上的分析可見(jiàn)，人工邊界條件對(duì)無(wú)限地基動(dòng)力反應(yīng)的影響是很大的，因此恰當(dāng)?shù)娜斯み吔鐥l件是無(wú)限域動(dòng)力反應(yīng)的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。常規(guī)的粘性邊界或粘彈性邊界是在邊界節(jié)點(diǎn)上施加阻尼器和彈簧，這對(duì)于網(wǎng)格劃分有一定的依賴性，并且計(jì)算效果也并不盡如人意。本文使用有限元軟件ABAQUS中的無(wú)限單元，將分布阻尼內(nèi)嵌入無(wú)限單元中，從而不僅避免了網(wǎng)格依賴性，還可以借助于映射函數(shù)考慮波動(dòng)向外傳播過(guò)程中的衰減以及無(wú)限遠(yuǎn)處零位移邊界條件的影響。同時(shí)這種單元使用簡(jiǎn)單，并且具有良好的穩(wěn)定性和收斂性，是無(wú)限地基的動(dòng)力模擬的有效方法。參考文獻(xiàn)：SEQ文獻(xiàn)\*ARABIC1陳原，工程場(chǎng)地地震動(dòng)相干函數(shù)研究[D]，同濟(jì)大學(xué)博士學(xué)位論文，指導(dǎo)教師：李杰，2005.SEQ文獻(xiàn)\*ARABIC2.趙密.粘彈性人工邊界及其透射人工邊界的比較研究[D]，北京工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文，指導(dǎo)教師：杜修力，2004.SEQ文獻(xiàn)\*ARABIC3.杜修力，趙密，王進(jìn)