2025年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽（CMO）模擬試卷：組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階難題解析與訓(xùn)練一、組合數(shù)學(xué)1.設(shè)集合A={1,2,3,4,5}，從A中任取3個(gè)元素，求取出的3個(gè)元素能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。2.有5個(gè)不同的球，放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，求至少有一個(gè)盒子中放有3個(gè)球的概率。二、數(shù)論1.設(shè)p為質(zhì)數(shù)，證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，若n^2≡1(modp)，則n≡±1(modp)。2.設(shè)a、b為正整數(shù)，且a^2+b^2=2p，其中p為奇素?cái)?shù)，證明：a、b中必有一個(gè)是奇數(shù)。三、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論綜合1.設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6}，從A中任取3個(gè)元素，求取出的3個(gè)元素能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率，并且這三個(gè)元素的和為偶數(shù)。2.設(shè)a、b、c為正整數(shù)，且a^2+b^2+c^2=2p，其中p為奇素?cái)?shù)，證明：a、b、c中必有一個(gè)是奇數(shù)。四、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階1.設(shè)a、b、c為正整數(shù)，且a^2+b^2+c^2=2p，其中p為奇素?cái)?shù)，證明：a、b、c中必有一個(gè)是奇數(shù)。2.設(shè)n為正整數(shù)，證明：若n^2≡1(mod8)，則n為奇數(shù)。五、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論高級(jí)1.設(shè)a、b、c為正整數(shù)，且a^2+b^2+c^2=2p，其中p為奇素?cái)?shù)，證明：a、b、c中必有一個(gè)是奇數(shù)。2.設(shè)n為正整數(shù)，證明：若n^2≡1(mod8)，則n為奇數(shù)。六、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論競(jìng)賽題1.設(shè)a、b、c為正整數(shù)，且a^2+b^2+c^2=2p，其中p為奇素?cái)?shù)，證明：a、b、c中必有一個(gè)是奇數(shù)。2.設(shè)n為正整數(shù)，證明：若n^2≡1(mod8)，則n為奇數(shù)。四、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階應(yīng)用要求：解答下列問題，并證明你的結(jié)論。1.設(shè)集合S={1,2,3,...,10}，從S中任取3個(gè)元素，求取出的3個(gè)元素能夠組成一個(gè)等邊三角形的概率。2.證明：任意兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和是偶數(shù)。3.設(shè)正整數(shù)n滿足n^2-1=3p，其中p為質(zhì)數(shù)，證明：n是偶數(shù)。五、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論綜合問題要求：解答下列問題，并給出解題步驟。1.設(shè)集合A={1,2,3,...,20}，從A中任取4個(gè)元素，求取出的4個(gè)元素中至少有兩個(gè)元素相差為2的概率。2.設(shè)p和q是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，且p^2+q^2=2r，其中r為正整數(shù)，證明：p和q中必有一個(gè)是奇數(shù)。3.設(shè)n為正整數(shù)，證明：若n^3-n能被6整除，則n為6的倍數(shù)。六、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論高級(jí)問題要求：解答下列問題，并給出解題步驟。1.設(shè)n為正整數(shù)，證明：若n^3-n能被12整除，則n為3的倍數(shù)。2.設(shè)a、b、c為正整數(shù)，且a^2+b^2+c^2=2p，其中p為奇素?cái)?shù)，證明：a、b、c中必有一個(gè)是奇數(shù)。3.設(shè)集合A={1,2,3,...,15}，從A中任取5個(gè)元素，求取出的5個(gè)元素中至多有2個(gè)元素相鄰的概率。本次試卷答案如下：一、組合數(shù)學(xué)1.解析：要構(gòu)成三角形，任意兩邊之和必須大于第三邊。從集合A中任取3個(gè)元素，總共有C(5,3)種取法。要構(gòu)成三角形，我們需要考慮以下組合：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)。共有10種情況。因此，構(gòu)成三角形的概率為10/C(5,3)=10/10=1。2.解析：每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，所以第一個(gè)球有4種選擇，第二個(gè)球有3種選擇，第三個(gè)球有2種選擇，第四個(gè)球有1種選擇。所以總共有4*3*2*1=24種放法。至少有一個(gè)盒子放3個(gè)球的情況包括：一個(gè)盒子放3個(gè)球，其他盒子放1個(gè)球；一個(gè)盒子放2個(gè)球，另一個(gè)盒子放2個(gè)球。對(duì)于第一個(gè)情況，有4種選擇盒子，然后從5個(gè)球中選擇3個(gè)，剩下的2個(gè)球分別放入另外兩個(gè)盒子。所以有4*C(5,3)種情況。對(duì)于第二個(gè)情況，有C(4,2)種選擇盒子，然后從5個(gè)球中選擇2個(gè)，剩下的3個(gè)球中選擇2個(gè)。所以有C(4,2)*C(5,2)種情況?？偣灿?*C(5,3)+C(4,2)*C(5,2)=40+60=100種情況。因此，至少有一個(gè)盒子放3個(gè)球的概率為100/24=25/6。二、數(shù)論1.解析：由于p是質(zhì)數(shù)，n^2-1可以分解為(n-1)(n+1)。由于p是質(zhì)數(shù)，n-1和n+1不能同時(shí)是p的倍數(shù)，因此它們中必有一個(gè)是1，即n≡±1(modp)。2.解析：如果a和b都是偶數(shù)，那么a^2+b^2也是偶數(shù)，這與a^2+b^2=2p矛盾，因?yàn)閜是奇素?cái)?shù)。如果a和b都是奇數(shù)，那么a^2+b^2也是偶數(shù)，同樣與a^2+b^2=2p矛盾。因此，a和b中必有一個(gè)是奇數(shù)。三、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論綜合1.解析：構(gòu)成三角形的情況同第一題，共有10種。要滿足三個(gè)元素和為偶數(shù)，我們可以考慮以下組合：(1,3,6)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,4)，(3,4,3)，(4,5,3)。共有6種情況。因此，滿足條件的概率為6/C(5,3)=6/10=3/5。2.解析：如果a、b、c都是奇數(shù)，那么a^2+b^2+c^2也是奇數(shù)，這與a^2+b^2+c^2=2p矛盾，因?yàn)閜是奇素?cái)?shù)。因此，a、b、c中必有一個(gè)是偶數(shù)。四、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階應(yīng)用1.解析：構(gòu)成等邊三角形的情況較少，只有(3,4,5)和(6,8,10)。因此，滿足條件的概率為2/C(10,3)=2/120=1/60。2.解析：由于奇數(shù)加奇數(shù)等于偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)等于奇數(shù)，所以任意兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和是偶數(shù)。3.解析：n^2-1=3p可以寫成(n-1)(n+1)=3p。由于3p是3的倍數(shù)，n-1和n+1中必有一個(gè)是3的倍數(shù)。如果n-1是3的倍數(shù)，那么n也是3的倍數(shù)；如果n+1是3的倍數(shù)，那么n也是3的倍數(shù)。因此，n是3的倍數(shù)。五、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論綜合問題1.解析：至少有兩個(gè)元素相差為2的情況包括：(1,3,5)，(2,4,6)，(3,5,7)，(4,6,8)，(5,7,9)，(6,8,10)，(7,9,11)，(8,10,12)，(9,11,13)，(10,12,14)。共有10種情況。因此，滿足條件的概率為10/C(20,4)=10/4845=2/969。2.解析：如果p和q都是偶數(shù)，那么p^2+q^2也是偶數(shù)，這與p^2+q^2=2r矛盾，因?yàn)閞是正整數(shù)。如果p和q都是奇數(shù)，那么p^2+q^2是偶數(shù)，同樣與p^2+q^2=2r矛盾。因此，p和q中必有一個(gè)是奇數(shù)。3.解析：n^3-n可以寫成n(n-1)(n+1)。由于n(n-1)(n+1)是3的倍數(shù)，n、n-1和n+1中必有一個(gè)是3的倍數(shù)。如果n是3的倍數(shù)，那么n^3-n是6的倍數(shù)；如果n-1是3的倍數(shù)，那么n是4的倍數(shù)，n^3-n也是6的倍數(shù)；如果n+1是3的倍數(shù)，那么n是2的倍數(shù)，n^3-n也是6的倍數(shù)。因此，n是6的倍數(shù)。六、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論高級(jí)問題1.解析：n^3-n可以寫成n(n-1)(n+1)。由于n(n-1)(n+1)是12的倍數(shù)，n、n-1和n+1中必有一個(gè)是3的倍數(shù)。如果n是3的倍數(shù)，那么n^3-n是12的倍數(shù)；如果n-1是3的倍數(shù)，那么n是4的倍數(shù)，n^3-n也是12的倍數(shù)；如果n+1是3的倍數(shù)，那么n是2的倍數(shù)，n^3-n也是12的倍數(shù)。因此，n是3的倍數(shù)。2.解析：