專題10立體幾何初步必考題型分類訓練【三年高考真題練】一．選擇題（共3小題）1．（2022?上海）如圖正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分別為棱AB、BC、BB1、CD的中點，聯(lián)結(jié)A1S，B1D．空間任意兩點M、N，若線段MN上不存在點在線段A1S、B1D上，則稱MN兩點可視，則下列選項中與點D1可視的為（）A．點P B．點B C．點R D．點Q【分析】線段MN上不存在點在線段A1S、B1D上，即直線MN與線段A1S、B1D不相交，因此所求與D1可視的點，即求哪條線段不與線段A1S、B1D相交，再利用共面定理，異面直線的判定定理即可判斷．【解答】解：線段MN上不存在點在線段A1S、B1D上，即直線MN與線段A1S、B1D不相交，因此所求與D1可視的點，即求哪條線段不與線段A1S、B1D相交，對A選項，如圖，連接A1P、PS、D1S，因為P、S分別為AB、CD的中點，∴易證A1D1∥PS，故A1、D1、P、S四點共面，∴D1P與A1S相交，∴A錯誤；對B、C選項，如圖，連接D1B、DB，易證D1、B1、B、D四點共面，故D1B、D1R都與B1D相交，∴B、C錯誤；對D選項，連接D1Q，由A選項分析知A1、D1、P、S四點共面記為平面A1D1PS，∵D1∈平面A1D1PS，Q?平面A1D1PS，且A1S?平面A1D1PS，點D1?A1S，∴D1Q與A1S為異面直線，同理由B，C選項的分析知D1、B1、B、D四點共面記為平面D1B1BD，∵D1∈平面D1B1BD，Q?平面D1B1BD，且B1D?平面D1B1BD，點D1?B1D，∴D1Q與B1D為異面直線，故D1Q與A1S，B1D都沒有公共點，∴D選項正確．故選：D．【點評】本題考查新定義，共面定理的應用，異面直線的判定定理，屬中檔題．2．（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為（）A．0 B．2 C．4 D．12【分析】3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直．【解答】解：3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直，∴每天0點至12點（包含0點，不含12點），相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為2，故選：B．【點評】本題考查兩條異面直線垂直的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力，是中檔題．3．（2020?上海）在棱長為10的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為左側(cè)面ADD1A1上一點，已知點P到A1D1的距離為3，P到AA1的距離為2，則過點P且與A1C平行的直線交正方體于P、Q兩點，則Q點所在的平面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD【分析】由圖可知點P在△AA1D內(nèi)，過P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，過F作FG∥CD，交BC于G，由平面與平面平行的判定可得平面EFG∥平面A1DC，連接AC，交FG于M，連接EM，再由平面與平面平行的性質(zhì)得EM∥A1C，在△EFM中，過P作PQ∥EM，且PQ∩FM于Q，可得PQ∥A1C，由此說明過點P且與A1C平行的直線相交的面是ABCD，即Q點所在的平面是平面ABCD．【解答】解：如圖，由點P到A1D1的距離為3，P到AA1的距離為2，可得P在△AA1D內(nèi)，過P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，過F作FG∥CD，交BC于G，則平面EFG∥平面A1DC．連接AC，交FG于M，連接EM，∵平面EFG∥平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC＝A1C，平面A1AC∩平面EFM＝EM，∴EM∥A1C．在△EFM中，過P作PQ∥EM，且PQ∩FM于Q，則PQ∥A1C．∵線段FM在四邊形ABCD內(nèi)，Q在線段FM上，∴Q在四邊形ABCD內(nèi)．∴則Q點所在的平面是平面ABCD．故選：D．【點評】本題考查空間中直線與直線位置關(guān)系的判定及應用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．二．填空題（共3小題）4．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為9π，則圓柱的側(cè)面積為24π．．【分析】由底面積為9π解出底面半徑R＝3，再代入側(cè)面積公式求解即可．【解答】解：因為圓柱的底面積為9π，即πR2＝9π，所以R＝3，所以S側(cè)＝2πRh＝24π．故答案為：24π．【點評】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1，高為2，AB為上底面圓的一條直徑，C是下底面圓周上的一個動點，則△ABC的面積的取值范圍為．【分析】上頂面圓心記為O，下底面圓心記為O'，連接OC，過點C作CM⊥AB，垂足為點M，由于AB為定值，則S△ABC的大小隨著CM的長短變化而變化，分別求解CM的最大值和最小值，即可得到答案．【解答】解：如圖1，上底面圓心記為O，下底面圓心記為O'，連接OC，過點C作CM⊥AB，垂足為點M，則，根據(jù)題意，AB為定值2，所以S△ABC的大小隨著CM的長短變化而變化，如圖2所示，當點M與點O重合時，CM＝OC＝，此時S△ABC取得最大值為；如圖3所示，當點M與點B重合，CM取最小值2，此時S△ABC取得最小值為．綜上所述，S△ABC的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查了空間中的最值問題，將三角形面積的最值問題轉(zhuǎn)化為求解線段CM的最值問題進行求解是解題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．6．（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則圓柱的側(cè)面積為4π．【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計算即可．【解答】解：圓柱的底面半徑為r＝1，高為h＝2，所以圓柱的側(cè)面積為S側(cè)＝2πrh＝2π×1×2＝4π．故答案為：4π．【點評】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式應用問題，是基礎(chǔ)題．三．解答題（共2小題）7．（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊△ABC，O為AC邊中點，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．（1）求三棱錐體積VP﹣ABC；（2）若M為BC中點，求PM與面PAC所成角大?。痉治觥浚?）直接利用體積公式求解；（2）以O(shè)為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，求得平面PAC的法向量，即可求解．【解答】解：（1）在三棱錐P﹣ABC中，因為PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，又O為AC邊中點，所以△PAC為等腰三角形，又AP＝AC＝2．所以△PAC是邊長為2的為等邊三角形，∴PO＝，三棱錐體積VP﹣ABC＝＝＝1，（2）以O(shè)為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，則P（0，0，），B（，0，0），C（0，1，0），M（，，0），＝（，，﹣），平面PAC的法向量＝（，0，0），設(shè)直線PM與平面PAC所成角為θ，則直線PM與平面PAC所成角的正弦值為sinθ＝||＝＝，所以PM與面PAC所成角大小為arcsin．【點評】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．8．（2020?上海）已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為正方形，邊長為3，PD⊥平面ABCD．（1）若PC＝5，求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）若直線AD與BP的夾角為60°，求PD的長．【分析】（1）利用已知條件求出，棱錐的高，然后求解棱錐的體積即可．（2）由已知中四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為3的正方形，PD⊥平面ABCD．異面直線AD與PB所成角為60°，可得△PBC為直角三角形，且∠PBC＝60°，BC＝3，代入求出PC后，解直角△PDC可得答案．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC．∵CD＝3，∴PC＝5，∴PD＝4，∴VP﹣ABCD＝＝12，所以四棱錐P﹣ABCD的體積為12．（2）∵ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，BC⊥CD又∵PD∩CD＝D∴BC⊥平面PCD∴BC⊥PC∵異面直線AD與PB所成角為60°，BC∥AD∴在Rt△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝3故PC＝3在Rt△PDC中，CD＝3∴PD＝3【點評】本題考查幾何體的體積，空間點線面的距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計算能力，是中檔題．【三年自主招生練】一．填空題（共4小題）1．（2020?上海自主招生）用平面截一個單位正方體，若截面是六邊形，則此六邊形周長最小值為3．【分析】畫出圖象，結(jié)合圖象求出六邊形的周長，即可求得此六邊形周長最小值．【解答】解：如圖示：，則結(jié)合對稱性可知，六邊形的周長最小值是6×＝3，故答案為：3．【點評】本題考查利用平面幾何的知識解決立體幾何，考查學生的空間想象能力，考查運算求解能力．2．（2020?上海自主招生）空間三條直線a，b，c兩兩異面，則與三條直線都相交的直線有無窮多條條．【分析】在a、b、c上取三條線段AB、CC′、A′D′，作一個平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′，在直線A′D′上取一點P，過a、P作一個平面β，平面β與DD′交于Q、與CC′交于R，由面面平行的性質(zhì)定理，得QR∥a，由點P的任意性，得與a，b，c都相交的直線有無窮多條．【解答】解：在a、b、c上取三條線段AB、CC′、A′D′，作一個平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′，如右圖所示在c上，即在直線A′D′上取一點P，過a、P作一個平面β平面β與DD′交于Q、與CC′交于R，則由面面平行的性質(zhì)定理，得QR∥a，于是PR不與a平行，但PR與a共面．故PR與a相交，得直線PR是與a，b，c都相交的一條直線．根據(jù)點P的任意性，得與a，b，c都相交的直線有無窮多條．故答案為：無窮多條．【點評】本題考查滿足條件的直線條件的求法，考查空間直角坐標系的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．3．（2020?上海自主招生）立方體8個頂點任意兩個頂點所在的直線中，異面直線共有174對．【分析】求出正方體中不在同一個平面上的4個點的個數(shù)，然后求出這4個點中異面直線的對數(shù)即可．【解答】解：立方體中有8個頂點，任意兩個頂點所構(gòu)成的直線有：＝28，其中不在同一個平面上的4個點的個數(shù)有C84﹣12＝58，4個點中異面直線的對數(shù)是：3，所以過正方體任意兩個頂點的直線共有28條，其中異面直線有：58×3＝174對．故答案為：174．【點評】本題考查排列組合的知識，結(jié)合空間幾何體難度比較大，注意不在同一個平面的4點中，能夠出現(xiàn)異面直線，是解答本題的關(guān)鍵．4．（2020?上海自主招生）已知三棱錐P﹣ABC的體積為10.5，且AB＝6，AC＝BC＝4，AP＝BP＝10，則CP長度為7或．【分析】先根據(jù)題意證明平面ABC⊥平面PCD，進而得到P點到CD的距離即P點到平面ABC的距離，再利用三棱錐P﹣ABC的體積為10.5，求出sin∠PDC，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出cos∠PDC，在△PDC中運用余弦定理即可求出PC的長度．【解答】解：取AB中點D，因為AB⊥CD，AB⊥PD，又因為PD∩CD＝D且PD，CD?平面PCD，則AB⊥面PDC，又因為AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面PCD，那么P點到CD的距離即P點到平面ABC的距離，依題意可得，所以，那么，由余弦定理可得或．故答案為：7或．【點評】本題考查線面垂直及面面垂直的證明，三棱錐體積公式，余弦定理，考查學生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題．二．解答題（共2小題）5．（2022?上海自主招生）兩個圓柱體底面積S1，S2，體積V1，V2，側(cè)面積相等，，求的值．【分析】設(shè)出底面半徑和高，由題意結(jié)合側(cè)面積和體積的關(guān)系得到半徑的比值，然后計算底面積的比值即可．【解答】解：設(shè)兩圓柱的底面半徑為r1，r2，高為h1，h2，由題意可得：2πr1h1＝2πr2h2，即，且，從而．故答案為：．【點評】本題主要考查圓柱的側(cè)面積公式，圓柱的體積公式，圓柱的底面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022?上海自主招生）正四面體裝水到高度的，問倒置后高度至何處．【分析】設(shè)正四面體的底面積為S，高為h，體積為V＝，可得有水部分的體積為，倒置后，再由體積比是相似比的立方求解．【解答】解：設(shè)正四面體的底面積為S，高為h，體積為V＝，正四面體裝水到高度的，則上面無水部分也為正四面體，底面積為，高為，體積為，有水部分的體積為，倒置后，下面正四面體的體積是，即有水部分的體積與原正四面體的體積比為，∴倒置后高度至何處原正四面體高的．【點評】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．【最新模擬練】一．選擇題（共3小題）1．（2022?青浦區(qū)校級模擬）如圖是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三視圖．搭成這個幾何體所用的小立方塊的個數(shù)是（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進一步求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體由8個小立方體構(gòu)成的組合體；故選：D．【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，主要考查學生的空間想象性能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022?浦東新區(qū)校級二模）設(shè)l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，下列命題中的真命題為（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α∥β C．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α∥β【分析】在A中，α與β相交或平行；在B中，α與β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故A錯誤；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故B錯誤；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D錯誤．故選：C．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的應用，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．3．（2022?浦東新區(qū)校級模擬）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF不平行 C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點C與點G到平面AEF的距離相等【分析】在A中，若D1D⊥AF，則DD1⊥平面AEF，從而CC1⊥EF，不成立；在B中，取B1C1的中點Q，連接A1Q，GQ，推導出平面A1GO∥平面AEF，從而A1G∥平面AEF；在C中，連接D1F，D1A，延長D1F，AE交于點S，則EF∥AD1，所以A，E，F(xiàn)，D1四點共面，從而截面即為梯形AEFD1，進而；在D中，記點C與點G到平面AEF的距離分別為h1，h2，由，，得以h1≠h2．【解答】解：在A中，若D1D⊥AF，又因為D1D⊥AE且AE∩AF＝A，所以DD1⊥平面AEF，所以DD1⊥EF，所以CC1⊥EF，不成立，故A錯誤；在B中，如圖所示，取B1C1的中點Q，連接A1Q，GQ，由條件可知：GQ∥EF，A1Q∥AE，且GQ∩A1Q＝Q，EF∩AE＝E，所以平面A1GQ∥平面AEF，又因為A1G?平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，故B錯誤；在C中，如圖所示，連接D1F，D1A，延長D1F，AE交于點S，因為E，F(xiàn)為BC、C1C的中點，所以EF∥AD1，所以A，E，F(xiàn)，D1四點共面，所以截面即為梯形AEFD1，又因為，，所以，所以，故C正確；在D中，記點C與點G到平面AEF的距離分別為h1，h2，因為，又因為，所以h1≠h2，故D錯誤．故選：C．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．二．填空題（共12小題）4．（2022?奉賢區(qū)二模）若一個圓錐的主視圖（如圖所示）是邊長為3，3，2的三角形，則該圓錐的表面積是4π．【分析】根據(jù)圓錐的主視圖是邊長為3，3，2的三角形，得到圓錐的母線長是3，底面直徑是2，代入圓錐的側(cè)面積公式，結(jié)合底面積，進而得到結(jié)果．【解答】解：圓錐的主視圖是邊長為3，3，2的三角形圓錐的母線長是3，底面直徑是2，所以半徑是1，圓錐的側(cè)面積是πrl＝3π，底面積是πr2＝π，故該圓錐的表面積是4π．故答案為：4π．【點評】本題考查由三視圖求表面積，考查圓錐的三視圖，這是比較特殊的一個圖形，它的主視圖與側(cè)視圖相同，本題是一個基礎(chǔ)題．5．（2022?浦東新區(qū)二模）如果一個圓錐的底面積和側(cè)面積分別為9π和15π，則該圓錐母線與底面所成角的大小為.（用反三角函數(shù)值表示）【分析】圓錐的底面積和側(cè)面積分別為9π和15π，由此求出底面半徑與母線的比值，從而能求出該圓錐的母線與底面所成角的大?。窘獯稹拷猓骸邎A錐的底面積和側(cè)面積分別為9π和15π，設(shè)底面圓的半徑為r，母線長為l，該圓錐母線與底面所成角為α，∴＝＝＝，∴該圓錐母線與底面所成角的余弦值為cos＝，∴該圓錐母線與底面所成角的大小為arccos．故答案為：arccos．【點評】本題考查圓錐的底面積、側(cè)面積公式、圓錐的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．6．（2022?徐匯區(qū)二模）已知球的體積為，則該球的左視圖所表示圖形的面積為π．【分析】由球的體積公式得到半徑，進而求解結(jié)論．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，∵球的體積為＝?πR3，∴球的半徑R＝1，又因為球的左視圖所表示的圖形是球的大圓，∴該球的左視圖所表示圖形的面積為：π?R2＝π．故答案為：π．【點評】本題考查球的體積公式以及三視圖的應用，屬于簡單題．7．（2022?閔行區(qū)校級二模）若圓錐的底面半徑為2，高為6，則該圓錐的側(cè)面積為24π．【分析】計算出圓錐的母線長，利用圓錐的側(cè)面積公式可求得結(jié)果．【解答】解：由題意可知，該圓錐的母線長為，因此，該圓錐的側(cè)面積為．故答案為：24π．【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積的計算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022?青浦區(qū)校級模擬）圓錐的半徑為2，高為2，則圓錐的側(cè)面積為4π．【分析】先算出母線長，就可以算圓錐側(cè)面積．【解答】解：如圖，圓錐的母線，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，故側(cè)面積為，故答案為：．【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積的計算，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022?浦東新區(qū)校級二模）已知一個圓錐的底面積和側(cè)面積分別為9π和15π，則該圓錐的體積為12π【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由已知列式求得r與l的值，進一步求得h，再由體積公式求體積．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，由題意得，解得．∴h＝．∴該圓錐的體積為V＝＝12π．故答案為：12π．【點評】本題考查圓錐的側(cè)面積與體積公式，是基礎(chǔ)的計算題．10．（2022?浦東新區(qū)校級二模）將圓錐的側(cè)面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為圓錐底面周長得出圓錐底面半徑，從而得出圓錐的高，代入體積公式計算即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝2π，∴r＝1．∴圓錐的高h＝．∴圓錐的體積V＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，側(cè)面展開圖，屬于基礎(chǔ)題．11．（2022?寶山區(qū)二模）若正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為1，則此三棱錐的體積為．【分析】過S作SO⊥平面ABC，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)求的高SO，代入體積公式計算．【解答】解：正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為1如圖：過S作SO⊥平面ABC，∴OC為底面正三角形的高，且OC＝××＝，∴棱錐的高SO＝＝，∴三棱錐的體積V＝×××××＝．故答案是．【點評】本題考查了正三棱錐的性質(zhì)及體積計算，解題的關(guān)鍵是利用正三棱錐的性質(zhì)求高．12．（2022?青浦區(qū)二模）一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點p為頂點，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容器．當x＝6cm時，該容器的容積為48cm3．【分析】根據(jù)圖形，在等腰△PAB中算出高PE＝5，再由勾股定理得出四棱錐的高PO＝4，最后根據(jù)錐體體積公式，算出四棱錐P﹣ABCD的體積，即為該容器的容積．【解答】解：等腰△PAB中，AB＝x＝6，高PE＝5∴四棱錐的高PO＝＝＝4由此可得，四棱錐P﹣ABCD的體積為V＝×S正方形ABCD×PO＝×62×4＝48即得該容器的容積為48cm3故答案為：48【點評】本題給出平面圖形，求翻折成的正四棱錐的體積，著重考查了正四棱錐的性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．13．（2022?浦東新區(qū)校級二模）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的邊長AB＝AA1＝1，AD＝，它的外接球是球O，則A、A1這兩點的球面距離等于．【分析】求出球的半徑和∠AOA1，根據(jù)弧長公式得出答案．【解答】解：A1C＝＝2，∴外接球半徑為OA1＝A1C＝1，∴△OAA1為等邊三角形，∴∠AOA1＝，∴球A、A1這兩點的球面距離為＝．故答案為：．【點評】本題考查了球面距離的計算，屬于基礎(chǔ)題．14．（2022?寶山區(qū)校級二模）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為28π．【分析】由題意可知，該幾何體是由圓柱與圓錐組合而成，其表面積等于圓柱+圓錐在減去重疊或者多余的部分．【解答】解：由題意可知，該幾何體是由圓柱與圓錐組合而成：其表面積等于圓錐側(cè)面積+圓柱側(cè)面+圓柱底面積．圓錐S側(cè)＝πrl＝8π，圓柱側(cè)面+圓柱底面積＝4×2πr+πr2＝16π+4π＝20π，∴該幾何體的表面積為28π．故答案為28π．【點評】本題考查了組合體的表面積的求法．組合體的表面積在計算時注意要減去重疊的部分．屬于基礎(chǔ)題．15．（2022?閔行區(qū)校級模擬）某四棱錐的三視圖如圖所示（實線部分），圖中小正方形的邊長均為1．則該幾何體的體積為2．【分析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為四棱錐P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2BC＝2，BC∥AD，AB⊥AD，再由棱錐體積公式求解．【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為四棱錐P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA＝AB＝AD＝2BC＝2，BC∥AD，AB⊥AD，∴該幾何體的體積為V＝．故答案為：2．【點評】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．三．解答題（共16小題）16．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，PD＝DC＝1，直線PB與平面ABCD所成的角為．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）求異面直線AM與PC所成的角的大?。痉治觥浚?）根據(jù)線面角的定義，錐體的體積公式即可求解；（2）將兩異面直線平移成相交直線，再結(jié)合解三角形知識即可求解．【解答】解：（1）∵PD⊥底面ABCD，∴直線PB與平面ABCD所成的角為∠PBD＝，又PD＝1，∴DB＝，又底面ABCD是矩形，且DC＝1，∴BC＝，∴四棱錐P﹣ABCD的體積為；（2）取AD的中點N，連接NC，NP，又M為BC中點，∴AN＝DN＝MC＝，且AN∥MC，∴四邊形AMCN為平行四邊形，∴AM∥NC，∴直線AM與PC所成的角即為NC與PC所成的角，即直線AM與PC所成的角為∠PCN＝θ或其補角，又NP＝NC＝，又PC＝，∴cosθ＝，∴θ＝arccos，∴異面直線AM與PC所成的角的大小為arccos．【點評】本題考查線面角的定義，錐體的體積公式，兩異面直線所成角，屬基礎(chǔ)題．17．（2022?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，已知點P在圓柱OO1的底面圓O上，AB為圓O的直徑，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱錐A1﹣APB的體積為．（1）求圓柱OO1的表面積；（2）求異面直線A1B與OP所成角的余弦值．【分析】（1）由題意可得AP＝2，BP＝2，進而可得關(guān)于AA1的等式，可得AA1，代入表面積公式可得答案；（2）取AA1中點Q，連接OQ，PQ，可得∠POQ或它的補角為異面直線A1B與OP所成的角，由余弦定理可得結(jié)果．【解答】解：（1）由題意，在△AOP中，OA＝OP＝2，∠AOP＝120°，所以AP＝2，在△BOP中，OB＝OP＝2，∠BOP＝60°，所以BP＝2，因為三棱錐A1﹣APB的體積為．所以＝＝，解得AA1＝4，故圓柱OO1的表面積為S表＝2π×22+2π×2×4＝24π．（2）取AA1中點Q，連接OQ，PQ，則OQ∥A1B，得∠POQ或它的補角為異面直線A1B與OP所成的角，又，AQ＝AO＝2，得OQ＝2，PQ＝4，由余弦定理得cos∠POQ＝＝﹣，∴異面直線A1B與OP所成角的余弦值為．【點評】本題考查圓柱的表面積，以及異面直線所成的角，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．18．（2022?青浦區(qū)二模）如圖，已知圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，E是弧的中點．（1）求該圓柱的表面積和體積；（2）求異面直線BE與AD所成角的大?。痉治觥浚?）根據(jù)圓柱的表面積公式和體積公式能求出該圓柱的表面積和體積．（2）根據(jù)AD∥BC，得到∠EBC或其補角是直線BE與AD所成角，取弧的中點F，連接EC、EF、BF，求出BE＝EC＝，由此能求出異面直線BE與AD所成角的大?。窘獯稹拷猓海?）由已知可得圓柱的底面半徑r＝1，高h＝2，∴該圓柱的表面積為：S＝S側(cè)+S底＝2πrh+2πr2＝6π，該圓柱的體積為：V＝S底h＝πr2h＝2π．（2）∵AD∥BC，∴∠EBC是異面直線BE與AD所成角（或所成角的補角），取弧的中點F，連接EC、EF、BF，BE＝EC＝＝＝，在△EBC中，cos∠EBC＝＝，∴，∴異面直線BE與AD所成角的大小為arccos．【點評】本題考查圓柱的表面積和體積、異面直線所成角、圓柱的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．19．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長等于4，點E是棱DD1的中點．（1）求直線A1E與直線B1C所成的角；（2）若底面ABCD上的點P滿足PD1⊥平面A1EC1，求線段DP的長度．【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，利用向量的夾角公式能求出直線A1E與直線B1C所成的角；（2）假設(shè)在底面ABCD上存在點P，使得PD1⊥平面A1EC1，設(shè)P（a，b，0），求出向量，，的坐標，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)求出a，b，由此能求出線段DP的長度．【解答】解：（1）以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A1（4，0，4），E（0，0，2），B1（4，4，4），C（0，4，0），∴＝（﹣4，0，﹣2），＝（﹣4，0，﹣4），設(shè)直線A1E與直線B1C所成角為，∴cosθ＝＝＝，∴θ＝arccos，∴直線A1E與直線B1C所成的角為arccos．（2）假設(shè)在底面ABCD上存在點P滿足PD1⊥平面A1EC1，設(shè)P（a，b，0），∵C1（0，4，4），D1（0，0，4），∴＝（﹣4，4，0），＝（0，4，2），＝（a，b，﹣4），由PD1⊥平面A1EC1，得：，解得a＝2，b＝2，∴P（2，2，0），∴＝（2，2，0），||＝＝2，∴線段DP的長度為2．【點評】本題考查異面直線所成角、線面垂直的性質(zhì)、向量坐標運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．20．（2022?松江區(qū)二模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，，F(xiàn)是PD的中點，點E在棱CD上．（1）求四棱錐P﹣ABCD的全面積；（2）求證：PE⊥AF．【分析】（1）根據(jù)題意可證明側(cè)面為直角三角形，直接計算側(cè)面底面面積求和能求出四棱錐P﹣ABCD的全面積；（2）先證明出CD⊥平面PAD，再證明AF⊥平面PDC，由此能證明PE⊥AF．【解答】解：（1）∵BC∥AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∵BP?平面ABP，∴BC⊥BP，∴∠PBC＝90°，同理可證明∠PDC＝90°，∴四棱錐P﹣ABCD的全面積為：S全＝S底+S△PAB+S△PBC+S△PDC+S△PAD＝＝．（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD，∵PA＝AD，點F是PD的中點，∴AF⊥PD，又PA＝AD，點F是PD的中點，∴AF⊥PD，∵CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC，∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．【點評】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、四棱錐的全面積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．21．（2022?奉賢區(qū)模擬）三棱錐B﹣ACD中，BA、BC、BD兩兩互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成的角大小為arccos，求三棱錐B﹣ACD的體積．【分析】設(shè)DB＝h，取DC中點F，推導出EF∥AD，則∠BEF是異面直線BE與AD所成角，求出h＝4，由此能求出三棱錐B﹣ACD的體積．【解答】解：設(shè)DB＝h，取DC中點F，∴△BEF中，BE＝，BF＝EF＝，∵EF∥AD，∴∠BEF是異面直線BE與AD所成角，∵異面直線AD與BE所成的角大小為arccos，∴∠BEF＝arccos，∴＝，∴h＝4，∴三棱錐B﹣ACD的體積V＝＝．【點評】本題考查中位線定理、異面直線所成角、線面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．22．（2022?黃浦區(qū)校級模擬）如圖所示，設(shè)有底面半徑為3的圓錐．已知圓錐的側(cè)面積為15π，D為PA中點，．（1）求圓錐的體積；（2）求異面直線CD與AB所成角．【分析】（1）由圓錐側(cè)面積公式可求得母線長，進而得到圓錐的高，利用圓錐體積公式可求得結(jié)果；（2）解法一：取OA邊上中點E，由線面垂直的判定可證得AB⊥平面CDE，由線面垂直性質(zhì)得AB⊥CD，由此可得結(jié)果；解法二：取圓弧AB中點E，連結(jié)OE，以O(shè)為坐標原點可建立空間直角坐標系，由向量運算可得，知AB⊥CD，由此可得結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)圓錐母線長為l，∵S側(cè)＝πrl＝3πl(wèi)＝15π，∴l(xiāng)＝5，即PA＝PB＝5，∴圓錐的高，∴；（2）解法一：取OA邊上中點E，連結(jié)DE，CE，AC，∵DE是△AOP的中位線，∴DE∥OP，∵OP垂直于底面，∴DE垂直于底面，∴DE⊥AB，∵CA＝CO，E為OA中點，∴CE⊥OA，即AB⊥CE，∵CE∩DE＝E，CE，DE?平面CDE，∴AB⊥平面CDE，又CD?平面CDE，∴AB⊥CD，即異面直線AB與CD所成角為；解法二：取圓弧AB中點E，連結(jié)OE，則OE⊥AB，以O(shè)為坐標原點，的正方向為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則A（0，﹣3，0），B（0，3，0），，，∴，，∴，即AB⊥CD，∴異面直線AB與CD所成角為．【點評】本題考查了圓錐的體積和異面直線所成角的計算，屬于中檔題．23．（2022?寶山區(qū)校級模擬）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其中．（1）若點P是棱AA1上的動點，求三棱錐B1﹣PBC的體積．（2）求點D1到平面ACB1的距離．【分析】（1）根據(jù)AA1與平面BCC1B1平行，直接求解三棱錐P﹣B1BC的體積即可；（2）以D為原點，建立空間直角坐標系，求得平面ACB1的法向量與，再根據(jù)線面距離的空間向量方法求解即可．【解答】解：（1）實際上需求三棱錐P﹣B1BC的體積，由正四棱柱，，△B1BC的面積為，因為P是棱AA1上的動點且AA1與平面BCC1B1平行，則只需寫出AA1與平面BCC1B1間的距離即可，由于A1B⊥平面BCC1B1，不妨記三棱錐的高為A1B，則三棱錐P﹣B1BC的體積；（2）以D為原點，如圖建立空間直角坐標系：則，可知，設(shè)平面ACB1的法向量為，則，不妨設(shè)，同時設(shè)點D1到平面ACB1的距離為d，則，故點D1到平面ACB1的距離為．【點評】本題考查了三棱錐的體積和點到平面的距離計算，屬于中檔題．24．（2022?寶山區(qū)校級二模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是邊AB及BC的中點，將△AED，△BEF及△DCF折起，使A、C、B點重合于A1點．（1）求三棱錐A1EFD的體積；（2）求A1D與平面DEF所成角的正切值．【分析】（1）由已知證明A1D⊥平面A1EF，然后利用等體積法求多面體A1EFD的體積；（2）取EF的中點M，連結(jié)A1M，DM，即可證明平面A1MD⊥平面EFD，再說明A1D與平面DEF所成角為∠A1DM，再利用銳角三角函數(shù)計算可得．【解答】解：（1）由條件可知A1E⊥A1D，A1F⊥A1D，且A1E∩A1F＝A1，A1E，A1F?平面A1EF，∴AlD⊥平面AlEF，∵△A1EF是等腰直角三角形，∴，∴；（2）取EF的中點M，連結(jié)A1M，DM，∵A1E＝A1F，∴A1M⊥EF，同理，DM⊥EF，且A1M∩EF＝M，A1M，EF?平面A1MD，∴EF⊥平面A1MD，又EF?平面A1MD，∴平面A1MD⊥平面EFD，且平面A1MD∩平面EFD＝MD，∴A1D與平面DEF所成角為∠A1DM，∵A1D⊥平面A1EF，A1M?平面A1EF，∴A1D⊥A1M，∵，∴，所以，所以，所以A1D與平面DEF所成角的正切值為．【點評】本題考查了三棱錐的體積和線面角的計算，屬于中檔題．25．（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，AB＝1，，四棱錐P﹣ABCD的體積為，M為BC的中點．（1）求異面直線AM與PB所成的角；（2）求直線PM與平面PBD所成的角．【分析】（1）利用四棱錐P﹣ABCD的體積為，可求得PD＝2，以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法可求異面直線AM與PB所成的角；（2）利用（1）建立的坐標系，求得平面PBD的一個法向量與直線PM的方向向量，可求直線PM與平面PBD所成的角．【解答】解：（1）由四棱錐P﹣ABCD的體積為，得SABCD?PD＝，∴×AD?AB?PD＝，∴××1×PD＝，∴PD＝1，以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（，0，0），M（，0，0），P（0，0，1），B（，1，0）∴＝（﹣，0，0），＝（，1，﹣1），∴cos＜，＞＝＝＝﹣，∴異面直線AM與PB所成的角為45°；（2）由（1）知D（0，0，0），＝（0，0，1），＝（，1，0），設(shè)平面PBD的一個法向量為＝（x，y，z），則，令x＝1，則y＝﹣，z＝0，∴平面PBD的一個法向量為＝（1，﹣，0），又＝（，0，﹣1），設(shè)直線PM與平面PBD所成為θ，∴sinθ＝＝＝．∴直線PM與平面PBD所成的角為arcsin．【點評】本題考查線線角的求法，以及線面角的求法，屬中檔題．26．（2022?寶山區(qū)模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P是CC1的中點，過AP的平面與BB1，DD1分別交于Q，R，且BQ＝．（1）求異面直線PQ與AB所成角的大??；（2）求C1到平面AQPR的距離．【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，確定PQ與AB的位置關(guān)系，進而求PQ與AB所成角的大小；（2）C1到平面AQPR的距離即C到平面AQP的距離，根據(jù)等體積法求解即可．【解答】（1）解：∵ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，∴AB⊥平面BCC1B1，∵PQ?平面BCC1B1，∴AB⊥PQ，∴異面直線PQ與AB所成角的大小為90°．（2）C1到平面AQPR的距離即C到平面AQP的距離，S△PQC＝＝，AB為三棱錐A﹣PQC的高，VA﹣PQC＝＝；P是CC1的中點，過AP的平面與BB1，DD1分別交于Q，R，且BQ＝，∴DR＝，四邊形AQPR為菱形，AC＝，AP＝＝，RQ＝BD＝，S△APQ＝SAQPR＝＝，設(shè)C1到平面AQP的距離為d，∵V＝VA﹣PQC＝×d＝，解得：d＝．∴求C1到平面AQPR的距離為．【點評】本題考查異面直線的夾角和點到平面的距離，是中檔題．27．（2022?嘉定區(qū)校級模擬）如圖，圓錐的底面半徑OA＝2，高PO＝6，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點．（1）求圓錐的側(cè)面積和體積；（2）求異面直線CD與AB所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）【分析】（1）由已知求得圓錐的母線長，再由圓錐的側(cè)面積公式與體積公式求解；（2）以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)C，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解異面直線CD與AB所成角的大?。窘獯稹拷猓海?）∵圓錐的底面半徑OA＝2，高PO＝6，∴母線長PB＝，則圓錐的側(cè)面積S＝＝，體積V＝＝8π；（2）連接CO，∵C為底面直徑AB所對弧的中點，∴CO⊥AB，以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)C，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，3），∴，，∴cos＜＞＝＝．∴異面直線CD與AB所成角的大小為．【點評】本題考查圓錐側(cè)面積與體積的求法，訓練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．28．（2022?靜安區(qū)二模）在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．【分析】（1）由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°．由此我們可以計算出PO即棱錐的高，及底面菱形的面積，代入即可得到棱錐的體積．（2）求異面直線DE與PA所成角的大小有兩種不同的思路：法一是以O(shè)為坐標原點，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系．表示出空間中各個點的坐標，進而給出相關(guān)向量的坐標，然后利用異面直線的夾角的余弦等于其方向向量夾角余弦值的絕對值，求出夾角．法二是取AB的中點F，連接EF、DF．由E是PB的中點，得EF∥PA，則∠FED是異面直線DE與PA所成角（或它的補角），然后解三角形FED求出夾角．【解答】解：（1）在四棱錐P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°．在Rt△AOB中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO，于是，PO＝BOtan60°＝，而底面菱形的面積為2．∴四棱錐P﹣ABCD的體積V＝×2×＝2．（2）解法一：以O(shè)為坐標原點，射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系．在Rt△AOB中OA＝，于是，點A、B、D、P的坐標分別是A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）．E是PB的中點，則E（，0，）于是＝（，0，），＝（0，，）．設(shè)與的夾角為θ，有co