猜押01切線的有關(guān)題型（必考）猜押考點3年福建真題考情分析押題依據(jù)相切的性質(zhì)2024年第7題2023年第21題往年中考中，切線的證明是每年的必考題。而近三年的中考則以考查切線性質(zhì)為主，已知切線，證明線段或者求解角度關(guān)系。無論哪種考法，切線的重要性都可見一斑。圓的知識點雖然繁多，但切線的概念在新課程標準中要求考生掌握；而切線的考題，可以串聯(lián)三角形、四邊形知識點，或是尺規(guī)作圖，考查學(xué)生的幾何應(yīng)用能力。因此預(yù)計2025年將會繼續(xù)考查相切有關(guān)的題型。作與直線相切的圓2022年第23題題型一證明圓與直線相切1．（2024·福建泉州·二模）如圖，為的直徑，和相交于點F，平分，點C在上，且，交于點P．(1)求證：是的切線；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．也考查了切線的判定．（1）連接，如圖，先證明，然后利用得到，然后根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；（2）證明，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；（2）證明：∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴.2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，過點A作的切線，點P是射線上的動點，連接，過點B作，交于點D，連接．(1)請補全圖形；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)證明：是的切線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）在射線取一點P，連接，以點為圓心，的長為半徑，畫弧，交于點，再以點為圓心，的長為半徑，畫弧，交于點，最后以點H為圓心，的長為半徑，畫弧，兩弧交于點G，連接并延長，交于點D即可；（2）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)全等三角形的判定推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)切線的判定得出即可．【詳解】（1）解：補全圖形如圖所示：（2）解：證明：連接，∵切于A，∴，即，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，作一個角等于已知角，全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，能熟記圓的切線垂直于過切點的半徑是解此題的關(guān)鍵．3．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，已知與相切于點，點是上一點，且．(1)求證：與相切；(2)若，的半徑為6，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）延長交于點，連接，，由切線的性質(zhì)得，而是的直徑，所以，則，因為，所以，則，求得，即可證明與相切；（2）連接，由切線長定理得，因為，，所以，則，求得，所以．【詳解】（1）證明：延長交于點，連接，，與相切于點，，是的直徑，，，，，，，，，是的半徑，且，與相切．（2）解：連接，、都是的切線，，由（1）得，，，，，，，，，的長為8．【點睛】此題重點考查同角的余角相等、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2024·福建廈門·二模）如圖，在中，，以直角邊為直徑的交斜邊于點D．點E為邊的中點，連接并延長交的延長線于點F．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求陰影部分面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接根據(jù)三角形中位線定理可得，從而得到，進而得到，可證得，從而得到，即可求證；（2）先根據(jù)，求出，根據(jù)圓周角定理求出，解直角三角形求出，再由，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接．∵，E為邊的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∵是公共邊，∴，∴，∵為的半徑，∴直線是的切線；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，圓周角定理，切線的判定，解直角三角形的相關(guān)計算，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2025·福建三明·一模節(jié)選）如圖，在中，，外接于．求證：是的切線【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，由圓周角定理得：，∵，∴，∴，∴，又∵是的半徑，∴是的切線．題型二已知圓與直線相切求解有關(guān)角的問題1．（2024·福建·中考真題）如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為的中點，三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵，為的中點，∴∵∴∵直線與相切，∴，∴故選：A．2．（2024·福建福州·三模）在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內(nèi)一點，且．設(shè)，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了坐標與圖形，解直角三角形的綜合，根據(jù)題意，以點為圓心，以2為半徑畫圓，當時，的值最小，根據(jù)解直角三角形的計算方法即可求解，掌握解直角三角形的計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，點為圓心，以2為半徑畫圓交x軸于點E，F(xiàn)，點在處在第一象限的弧上，

當與相切時，的值最小，，且，∴，∵，，∴，∴，∴，

故選：D．3．（2024·福建漳州·二模）如圖，是的直徑，點在上，交于點，為的切線．

(1)求證：；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、三角形相似的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）連接，由切線的性質(zhì)和圓周角定理得出，，由平行線的性質(zhì)得出，由此可得，再由等邊對等角即可得出；（2）先證明，再證明得出的長，再根據(jù)余弦的定義求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

∵為的切線，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）知，，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．4．（2024·福建南平·二模）如圖，為的直徑，E為的延長線上一點，是的切線，切點為C，過點A作，交延長線于點D，連接，．(1)求證：；(2)已知，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓的切線性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）連接，先得出，即可得出；（2）設(shè)半徑為r，則，，先求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接．是的切線，，，即，為的直徑，，即，，，，．（2）解：設(shè)半徑為r，則，，在中，，，，，在中，，．題型三已知圓與直線相切求線段關(guān)系1．（2024·福建寧德·一模）如圖，是的直徑，過圓上一點作的切線，交的延長線于點，若，的半徑為2，則的長是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，連接，利用切線的性質(zhì)得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)由求出，即可解決問題．【詳解】解：連接，是的切線，，，，在中，，，故選：A．2．如圖，是的直徑，是的切線，C為切點，的延長線交直線于點E，連接．若，，則的長度是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、勾股定理等知識，連接，由切線的性質(zhì)得，則，所以，則，可證明，是等邊三角形，則，，，再證明，所以，則，由，求得，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，則，

∵與相切于點C，，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．3．（2024·福建福州·三模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，過點作的切線交延長線于點，且，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線性質(zhì)知道，推出，結(jié)合等邊對等角和平行線的性質(zhì)，推出，可得，得證；（2）根據(jù)圓周角定理及推論，可以知道，結(jié)合，得到的度數(shù)，然后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，推出的度數(shù)，從而推出的度數(shù)，由（1）可知，再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出的度數(shù)，從而得到的度數(shù)．【詳解】（1）證明：如解圖，連接是的切線；（2）是的直徑四邊形是的內(nèi)接四邊形由（1）可得．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角、弧、弦三者的關(guān)系，圓周角的定理及推論，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形兩個銳角互余，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．題型四與相切有關(guān)的尺規(guī)作圖1．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，在中，．(1)求作分別與，相切，使得圓心O落在上，（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，已知，，求的值．【答案】(1)畫圖見解析(2)【分析】（1）作的角平分線，過作的垂線，垂足為，以為圓心，為半徑畫圓，則即為所求；（2）由（1）得：，，，結(jié)合，，由面積可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，作的角平分線，過作的垂線，垂足為，以為圓心，為半徑畫圓，作于M，由角平分線的性質(zhì)可得：到的距離為圓的半徑，∴是的切線，即，由作圖可得：是的切線，∴即為所求．（2）解：由（1）得：，，，∵，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查的是作角平分線，作垂線，作圓，切線的判定，角平分線的性質(zhì)，銳角的正切的含義，熟練的作圖是解本題的關(guān)鍵．2．（22-23九年級上·福建廈門·期末）如圖，PA，PB是圓的切線，A，B為切點．(1)求作：這個圓的圓心O（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；(2)在（1）的條件下，延長AO交射線PB于C點，若AC＝4，PA＝3，請補全圖形，并求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析；(2)見解析，的半徑為【分析】（1）過點B作BP的垂線，作∠APB的平分線，二線的交點就是圓心；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，利用勾股定理，建立一元一次方程求解即可．【詳解】（1）如圖所示，點O即為所求（2）如圖，∵PA是圓的切線，AO是半徑，PB是圓的切線，∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，∵AC=4，∴PC==5，BC=5-3=2，設(shè)圓的半徑為x，則OC=4-x，∴，解得x=，故圓的半徑為．【點睛】本題考查了垂線的畫法，角的平分線的畫法，切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，一元一次方程的解法，熟練掌握切線的性質(zhì)，切線長定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2024·福建廈門·二模）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點，連接，過點作．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點作的切線，交于點；（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）(2)