專(zhuān)題02中心對(duì)稱(chēng)圖形-平行四邊形

內(nèi)容導(dǎo)航

的考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+高考考點(diǎn)，有的放矢

1重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升

「復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專(zhuān)練，全面突破

???考點(diǎn)聚焦<<<

*核心考點(diǎn)聚焦

1、旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)

2、中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形

3、平行四邊形的性質(zhì)與判定

4、矩形的性質(zhì)與判定

5、菱形的性質(zhì)與判定

6、正方形的性質(zhì)

7、三角形的中位線(xiàn)定理及應(yīng)用

，中考考點(diǎn)聚焦

常考考點(diǎn)真題舉例

根據(jù)正方形的性質(zhì)求解2024?江蘇徐州?中考真題

利用菱形的性質(zhì)求解2024?山東青島?中考真題

中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別2024?山東青島?中考真題

利用菱形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)2024?山東濟(jì)寧?中考真題

利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明2024?四川雅安?中考真題

與三角形中位線(xiàn)有關(guān)的求解問(wèn)題2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題

根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線(xiàn)段長(zhǎng)2024?四川南充?中考真題

???重點(diǎn)速記<<<

IJ

-?旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)

定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫旋

轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過(guò)的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角.

三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

性質(zhì)：

1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

2）每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

作圖步驟：

1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；

2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；

3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

4）按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形.

二.中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形

中心對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)圖形

X4.P

圖形

c

BCB

如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與它自

如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個(gè)圖

定義身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，

形重合，我們就把這兩個(gè)圖形叫做成中心對(duì)稱(chēng).

這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱(chēng)中心.

區(qū)別中心對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形的關(guān)系中心對(duì)稱(chēng)圖形是指具有某種特性的一個(gè)圖形

兩者可以相互轉(zhuǎn)化，如果把中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這“一個(gè)圖形”

聯(lián)系就是中心對(duì)稱(chēng)圖形；反過(guò)來(lái)，如果把一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形相互對(duì)稱(chēng)的兩部分看成兩個(gè)圖形，那么這

“兩個(gè)圖形”中心對(duì)稱(chēng).

三.平行四邊形的性質(zhì)與判定

1.平行四邊形的性質(zhì)可以從三個(gè)方面記,

①邊：對(duì)邊平行且相等；②角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；③對(duì)角線(xiàn)：對(duì)角線(xiàn)互相平分;

2.平行四邊形的問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為全等三角形的判定與性質(zhì)類(lèi)問(wèn)題來(lái)解決。

3、平行四邊形的判定也可以從三個(gè)方面記，

①邊：兩組對(duì)邊分別平行；兩組對(duì)邊分別相等；一組對(duì)邊平行且相等；②角：兩組對(duì)角分別相等；

③對(duì)角線(xiàn)：對(duì)角線(xiàn)互相平分；

【高分技巧】平行四邊形的判定和性質(zhì)經(jīng)常綜合在一起考，即先考判定一個(gè)四邊形是平行四邊，然后再利

用平行四邊形的性質(zhì)去解剩余的問(wèn)題。做題時(shí)，不要太輕率，要綜合考慮用到的考點(diǎn)。

四.矩形的性質(zhì)與判定

1.矩形的性質(zhì)可以從在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加性質(zhì)記憶，

①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②增加性質(zhì)：四個(gè)角都是直角、對(duì)角線(xiàn)相等；

【高分技巧】矩形問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方向有直角三角形、等腰三角形。正因此，矩形常和勾股定理結(jié)合來(lái)求長(zhǎng)度。

2.矩形的判定：

①?gòu)钠叫兴倪呅稳胧峙卸?，把矩形有平行四邊形沒(méi)有的性質(zhì)加上，就可以證一個(gè)平行四邊是矩形；

②從普通四邊形入手判定則有：

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形、對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分的四邊形是矩形；

五.菱形的性質(zhì)與判定

1.菱形的性質(zhì)可以從在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加性質(zhì)記憶，

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②增加性質(zhì)：四條邊都相等、對(duì)角線(xiàn)互相垂直、每條對(duì)角線(xiàn)平分一組

對(duì)角；

【高分技巧】菱形問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方向有直角三角形、等腰三角形。也常和勾股定理結(jié)合來(lái)求長(zhǎng)度。

2.菱形面積的特殊計(jì)算方法：對(duì)角線(xiàn)相乘除以2

3.菱形的判定也可以從兩個(gè)方向記憶：

①?gòu)钠叫兴倪呅稳胧峙卸?，把菱形有平行四邊形沒(méi)有的性質(zhì)加上，就可以證一個(gè)平行四邊是菱形；

②從普通四邊形入手判定則有：

有四條邊相等的四邊形是菱形、對(duì)角線(xiàn)垂直且互相平分的四邊形是菱形；

六.正方形的性質(zhì)

1、正方向具有矩形和菱形的一切性質(zhì)；

【高分技巧】正方形問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方向只有一個(gè)一一等腰直角三角形；

七.三角形的中位線(xiàn)

三角形中位線(xiàn)：在^ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣，

連接三角形一兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn).

中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。

/\

???難點(diǎn)強(qiáng)化<<<

IJ

【題型1特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合】

1.（23-24八年級(jí)下?甘肅蘭州?期末）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以"正方形與旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展探究活動(dòng).

【探索發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖①，在正方形28CD中，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，4F18￡于點(diǎn)尸，將線(xiàn)段4F繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到線(xiàn)段力G,連接DG,可證得AABF三AADG.請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程.

【深入思考】

（2）在（1）的條件下，如圖②，延長(zhǎng)BE,GD交于點(diǎn)、H,試猜想線(xiàn)段BF,FH,之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的猜想.

【拓展延伸】

（3）在（2）的條件下，如圖③，連接CH,將線(xiàn)段DH繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段HP,點(diǎn)P在上，

試猜想BP與C”的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BF+DH=FH,證明見(jiàn)解析（3）BP=V2CH,證明見(jiàn)解析

【分析】（1）可推出NG4F=NZMB=90。，從而NG4D=乙B4F,根據(jù)SAS即可得證；

（2）根據(jù)AABF=AADG,AAFB=^AGD=90°,BF=DG進(jìn)而可推出矩形AFHG是正方形，從而FH=

GH,進(jìn)一步得出結(jié)果；

（3）在上截取BX=DH,證明△CBX=ACDH（SAS）得CX=CH,乙BCX=/.DCH,進(jìn)而得出NHCX=

乙BCD=90。，從而HX=&CH,進(jìn)一步得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：國(guó)四邊形ABCD是正方形，

0ZSXD=90°,AB=AD,

團(tuán)線(xiàn)段4F繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段4G,

071G=AF,Z.GAF=90°=7.BAD,

^BAD-^FAD=Z.GAF-^FAD,即NBAF=^DAG,

在和△ZOG中，

AB=AD

Z-BAF=Z-DAG,

、AF=AG

ABF=AXD(7(SAS)；

(2)解：BF+DH=FH,

證明：團(tuán)4F18E,

^\Z-AFB=AAFH=90°,

由(1)知：AABF=AADG,

^AFB=AAGD=90°,BF=DG,

^GAF=90°,

團(tuán)四邊形/F”G是矩形，

回AG=AF,

團(tuán)矩形力F”G是正方形，

MH=GH=DG+DH=BF+DH,

即BF+D”=FH；

(3)解：BP=V2CH.

證明：如圖，在BH上截取BX=DH,

團(tuán)四邊形力BCD和4HG都是正方形，

^BCD=90°=Z.GHF,乙DEH=幺BEC,BC=DC,

回4CBX=90°-乙BEC=90°一乙DEH=乙CDH,

在△CBX和△CD”中，

BC=DC

乙CBX=乙CDH,

.BX=DH

0ACBX=△CDH(SAS),

團(tuán)CX=CH,乙BCX=(DCH,

團(tuán)4BCX+Z.DCX=乙DCH+乙DCX,

國(guó)乙HCX=乙BCD=90°,

回HX=VCX2+CH2=VCX2+CH2=V2CH,

團(tuán)將線(xiàn)段DH繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段HP,

0PH=DH,

回BP=BH-PH=BH-DH=BH-BX=HX=42CH,

即BP=/（汛

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理等知識(shí)，通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期末）如圖，菱形A8CD的對(duì)角線(xiàn)4C與BD相交于點(diǎn)。，CD的中點(diǎn)為E,連接

OE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使得EF=OE,連接CF,DF.

⑴求證：四邊形OCFD是矩形；

（2）若=5,BD=16,求菱形力BCD的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵96

【分析】（1）由DE=CE,EF=OE,證明四邊形OCFO是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)證明NC。。=90°,

則四邊形OCFD是矩形；

（2）由菱形的性質(zhì)得。。=OB=^BD=8,由矩形的性質(zhì)得CD=OF=10,貝1|。4=OC=

2222

y/CD-OD=V10-8=6,,所以AC=12,則S變妾彩形=-2AC-BD212x16=96.

【詳解】（1）證明：?.￡0的中點(diǎn)為E,

-'-DE=CE,

'-'EF—OE,

???四邊形OCFD是平行四邊形，

???四邊形ABCO是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O,

.■.AC1BD,

“COD=90°,

???四邊形OCFD是矩形.

（2）解：-.-EF=0E=5,BD=16,

.■.OF=2EF=10,OD=0B=-2BD=8,

??.CD=OF=10,

.?.04=OC=VCD2-OD2=V102-82=6,

：.AC=204=12,

'S菱形ABCD=-BD=-x12x16=96'

菱形ABC。的面積為96.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，求得CD=0F=10及04=

OC=6是解題的關(guān)鍵.

3.(23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期末)四邊形力BCD為正方形，點(diǎn)E為線(xiàn)段4C上一點(diǎn)，連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EF1DE,

交射線(xiàn)BC于點(diǎn)F,以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

備用圖

(1)如圖1,求證：矩形OEFG是正方形；

(2)若=3,CE=2V2,求CG的長(zhǎng)度；

⑶當(dāng)線(xiàn)段DE與正方形4BCD的某條邊的夾角是30。時(shí)，求MFC的度數(shù).

【答案】①見(jiàn)解析

⑵魚(yú)

(3)30°或120°

【分析】(1)作EP1CD于十，EQ1BC^Q,證明Rt△EQF三Rt△EPD,得到EF=ED,根據(jù)正方形

的判定定理證明即可；

(2)由正方形的性質(zhì)可得4。=CD=3,AC=3V2,AD=3,DE=DG,4EDG=90°=4ADC,由"SAS"

可證AADEmACDG,可得CG=AE=V5；

(3)分兩種情況：當(dāng)DE與4。的夾角為30。時(shí)，當(dāng)DE與DC的夾角為30。時(shí)，分別畫(huà)出圖形求出結(jié)果即

可；

【詳解】(1)證明：如圖1,作EP1CD于P,￡7?18(7于0,

BQFC

圖1

EZDCX=ABCA=45°,

回EQ=EP,

0ZQEF+Z.PEF=90°,乙PED+乙PEF=90°,

同乙QEF=乙PED,

在Rt△EQF和Rt△EPD中,

ZQEF=乙PED

EQ=EP,

、乙EQF=乙EPD

團(tuán)Rt△EQF=Rt△EPD(ASA),

0EF=ED,

團(tuán)矩形DEFG是正方形；

(2)解：團(tuán)四邊形ABC。是正方形，AB=3,

財(cái)。=CP=3,Z.ADC=90°,AC=V2AD=3vL

國(guó)CE=2V2,

^\AE=V2,

團(tuán)四邊形DEFG是正方形，

^\DE—DG,Z.EDG=90°=Z.ADC,

回乙4DE=Z.CDG,

0AADE=△CDG(SAS),

回CG=AE=V2；

(3)解：①當(dāng)DE與4。的夾角為30。時(shí)，如圖2,

圖2

團(tuán)4/OE=30°,Z.ADC=90°,

國(guó)乙EDC=60°,

0ZEDC+Z.DEF+乙EFC+乙FCD=360°,

0ZEFC=360°-90°-90°-60°=120°,

②當(dāng)。E與OC的夾角為30。時(shí)，如圖3,

過(guò)E作于M點(diǎn)，過(guò)E作引V_LCO于N點(diǎn),

AD

圖3???乙DEH=A.DCF=9V/DHE=乙FHC,

團(tuán)四邊形ABC。是正方形，

同4BCD=90°,乙ECN=45°,

回乙EMC=乙ENC=乙BCD=90°,

團(tuán)NE=NC,

回四邊形EMCN為正方形，

團(tuán)四邊形。EFG是矩形，

@EM=EN,乙DEN+乙NEF=乙MEF+乙NEF=90°,

^\Z-DEN=Z-MEFf

在A(yíng)DEN和△FEM中，

2DNE=4FME

EN=EM,

ZDEN=4FEM

S1ADEN=AFEM（ASA）,

B/.EFC=/-EDC=30°,

綜上所述：乙EFC=30。或120°.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的

應(yīng)用及分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵.

4.（24-25九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期末）【問(wèn)題背景】

（教材原題）如圖1,四邊形4BCD是正方形，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，^AEF=90°,且EF交正方形外角

的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)?求證：AE=EF（無(wú)需證明）.

ADADAD

【問(wèn)題探究】

⑴如圖2,四邊形4BCD是正方形，點(diǎn)E在BC上，乙4EF=90。，AE=EF,連接CF,貝!kDCF的度數(shù)

為一；

⑵如圖3,四邊形2BCD是菱形，點(diǎn)E在BC上，^AEF=^ABC=a（a>90°）,AE=EF,連接CF.探

究NDCF與N48C的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴45。

（2）zDCF=14ABe-90°,證明見(jiàn)解析

【分析】（1）連接4C,過(guò)點(diǎn)E作E”1BC,交2C于點(diǎn)H,由SAS可證△力EHdFEC,可得N4HE=乙FCE=

135°,即可求出ADCF；

（2）由AAS可得AEFG三AAEB,可得FG=BE,EG=AB,由角的數(shù)量關(guān)系可求解.

【詳解】（1）解：如圖2,連接AC,過(guò)點(diǎn)E作EH1BC,交4C于點(diǎn)〃，

（圖2）

回四邊形4BCD是正方形，

SAB=BC=CD=AD,^ABC=乙BCD=4ADC=90°,乙ACB=45°,

回EH1BC,

回NHEC=AAEF=90°,

0ZEWC=Z.ECH=45°,^AEH=乙CEF=90°-4FEH,

0FW=EC,"HE=135°,

△AEH^DAFEC中，

AE=FE

Z.AEH=Z.CEF,

EH=EC

BAAEH=AFEC(SAS),

回=乙FCE=135°,

0ZDCF=乙FCE-乙BCE=135°-90°=45°,

故答案為:45°；

(2)解：ZDCF=|Z71BC-90°.證明如下：

證明：如圖3,在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)G,使得NFGE=N力BC=a,

(圖3)

^\Z-AEF—Z.ABC-a,

國(guó)乙FEG=Z-AEC—Z-AEF=Z-ABC+Z-BAE—Z-AEF=Z-BAE,

又回EF=/E,

EFG三△ZEB(AAS),

回FG=BE,EG=AB,

回四邊形4BCD是菱形，

團(tuán)EG=AB=BC,

回BE=CG,

MG=CG,

0Z￡)CF=Z.DCG-乙FCG=a-=-a-90°=-Z.ABC-90°.

222

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合應(yīng)用，主要考查正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與

判定，添加恰當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5.(24-25八年級(jí)上?山東青島?期末)如圖，已知長(zhǎng)方形。48c的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，OA=16,

OC=8,。、E分別為。力、BC上的兩點(diǎn)，將長(zhǎng)方形0aBe沿直線(xiàn)DE折疊后，點(diǎn)A剛好與點(diǎn)C重合，點(diǎn)

8落在點(diǎn)F處，再將其打開(kāi)、展平.

*用圖

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是；

(2)求直線(xiàn)DE的函數(shù)表達(dá)式；

⑶設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿折線(xiàn)。-4-BTC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t秒，當(dāng)SMDE=2SA-D時(shí),求？的值.

【答案】⑴(16,8)

(2)y=2x—12

⑶不存在，見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)。4=16,OC=8,知8(16,8).

(2)設(shè)。。=m,則4。=16-m,可得8?+巾2=(16-m)2,解得m=6,故。(6,0),CD=AD=16-

m=10,證明CE=CD=10,知E(10,8),再用待定系數(shù)法可得直線(xiàn)DE的函數(shù)表達(dá)式為y=2比一12；

(3)求出=^x8x6=24；再分當(dāng)0WtW10時(shí)，尸在線(xiàn)段40上，當(dāng)10<t<18時(shí)，P在線(xiàn)段

4B上，當(dāng)18<tW34時(shí).尸在線(xiàn)段BC上三種情況討論可得答案.

【詳解】(1)解：???0A=16,OC^AB=8,

8),

故答案為：(16,8).

(2)解：設(shè)貝1]力。=16-機(jī)，

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CD=AD=16-m,AADE=乙CDE,

■：OC2+OD2=CD2,

■■■82+m2=(16—m)2,

解得：m=6,

：.D(6,0),CD=AD=1610,

???BC||OA,

Z.ADE=Z-CED,

Z.CDE=Z-CED,

.?.CE=CD=10,

???E(10,8),

設(shè)直線(xiàn)DE的函數(shù)表達(dá)式為丫=k%+b,把。(6,0),E(10,8)代入得:

r6fc+b=0

tlOfc+6=8'

解得：｛/=窘,

S=-12

???直線(xiàn)。E的函數(shù)表達(dá)式為y=2久—12；

(3)解：???OC=8,OD=6,

*',S&OCD=5X8x6=24；

???AD=10,

，當(dāng)OWtWlO時(shí)，尸在線(xiàn)段ZD上，

AD<2OD,

?，.此時(shí)不存在點(diǎn)P,使S^POE=2s△℃￡);

當(dāng)時(shí)，尸在線(xiàn)段ZB上，如圖：

此時(shí)BE=BC-CE=16-10=6,

???S梯形O/BE=1X(6+10)X8=64,S^PAD=|X10(t-10)=5t50,SABPE=3x6[8—(t-10)]=

54-3t,

???64-(5t-50)-(54-3t)=2x24,

解得：t=6(不符合題意，舍去)，

當(dāng)18<tW34時(shí).尸在線(xiàn)段BC上，如圖:

SRPDE-2s.CD，

???PE=OD=12,

CE=10,BE=6,

二在線(xiàn)段BC上，不存在尸，使PE=2。。，

綜上所述，P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不存在時(shí)刻使5心.=2SA℃D.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，勾股定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判

定，三角形面積，翻折問(wèn)題等，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

6.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))綜合與實(shí)踐：在菱形力BCD中，NB=60。，作乙MAN=LB,AM,4V分別交BC,

CD于點(diǎn)M,N.

圖①圖②圖③

⑴【動(dòng)手操作】如圖①，若M是邊的中點(diǎn)，根據(jù)題意在圖①中畫(huà)出4MAN,則NB4M=

度；

(2)【問(wèn)題探究】如圖②，當(dāng)M為邊BC上任意一點(diǎn)時(shí)，求證：AM=AN；

⑶【拓展延伸】如圖③，在菱形4BCD中，4B=4,點(diǎn)P,N分別在邊BC,CD上，在菱形內(nèi)部作"AN=乙B,

連接4P,若4P=g,求線(xiàn)段ON的長(zhǎng).

【答案】⑴圖見(jiàn)解析，30。

⑵見(jiàn)解析

⑶1或3

【分析】(1)根據(jù)題意作圖，由菱形的性質(zhì)可得AABC是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AM1

BC,由直角三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)如解圖，連接AC,由四邊形2BCD是菱形，可得△ABC和A4DC都是等邊三角形，再證△三

ACAN(ASA)即可求解；

(3)根據(jù)題意作圖如解圖，過(guò)點(diǎn)4作4H18C于點(diǎn)H,連接AC,可得△ABC是等邊三角形，由勾股定

理可得2H=2百，在RtAZPi"中，4P]=V13MW=2百，由勾股定理可得HP】=1,同理可得HP?=1，

分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的左側(cè)(Pi的位置)時(shí)，CP=CH+HP[=2+1=3；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的右側(cè)0

的位置)時(shí)，CP=CH—HP?=2—1=1；再由(2)知4BAP=ACAN(ASA),可得線(xiàn)段DN的長(zhǎng)為1

或3,由此即可求解.

【詳解】(1)解：作NM4N如解圖，

C

回四邊形ABC。是菱形，

國(guó)AB=BC,

如圖所示，連接ZC,Z,B=60°,

0AABC是等邊二角形，

^BAC=60°,

回點(diǎn)M是中點(diǎn)，

團(tuán)AM18C,即Z71MB=90o,

團(tuán)乙BAM=30°,

故答案為：30；

(2)證明：如解圖，連接4C,

A

四邊形/BCD是菱形，且乙8=60°,

AB=AD=BC=CD,乙B=乙D=60°,

ABC^AZDC都是等邊三角形，

??.AB=AC,/-B=乙ACN=ABAC=60°,

???^BAM+^MAC=60°,

???^MAN=60°,

???^MAC+乙CAN=60°,

???Z-BAM=乙CAN,

/.△BAM=△CZN(ASA),

??.AM=AN.

(3)解：根據(jù)題意作圖如解圖，過(guò)點(diǎn)/作于點(diǎn)H,連接AC,

.?.BC=CD=AB=4,

??.△是等邊三角形，

1

???BH=CH=-BC=2,

2

AH=7AB2-BH?=V42-22=2亞

在RtAAPi”中，APr=V13,AH=2V3,

HP】=四用一AH2=J（Vi3）2-（2V3）2=1,同理可得HP2=1,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的左側(cè)（Pi的位置）時(shí)，CP=CH+HPi=2+1=3；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的右側(cè)（P2的位置）時(shí)，CP=CH—HP2=2—1=1；

???CP=1或3；

由（2）M1ABAPCAN（.ASA）,

■.BP=CN,

DN=CP,

線(xiàn)段DN的長(zhǎng)為1或3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理

的綜合運(yùn)用，掌握菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，分類(lèi)討論思想

是解題的關(guān)鍵.

7.（24-25九年級(jí)上?廣東韶關(guān)?期中）【閱讀理解】

半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等.通過(guò)旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)

補(bǔ)短，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等三角形，用以解決線(xiàn)段關(guān)系、角度、

面積等問(wèn)題，

【初步探究】

如圖1,在正方形2BCD中，點(diǎn)E,F分別在邊上，連接力E,4F,EF.若NEHF=45。，將△力DF繞

點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，得到AABG.易證：AAEFmAAEG.

(1)根據(jù)以上信息，填空：

①NE4G=°；

②線(xiàn)段BE、EF、DF之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為；

【遷移探究】

(2)如圖2,在正方形4BCD中，若點(diǎn)E在射線(xiàn)CB上，點(diǎn)F在射線(xiàn)DC上，^EAF=45°,猜想線(xiàn)段

BE、EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論;

【拓展探索】

(3)如圖3,已知正方形48CD的邊長(zhǎng)為3魚(yú),4區(qū)4尸=45。，連接BD分別交2尸于點(diǎn)M、N,若點(diǎn)M

恰好為線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，且BMVDM,求線(xiàn)段MN的長(zhǎng).

圖1

【答案】(1)①45；(2)BE+DF=EF；(2)BE+EF=DF.證明見(jiàn)解析；(3)MN=2.5

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，構(gòu)造全等三角

形是解答的關(guān)鍵.

(1)如圖1,先由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得乙4BG=ND=^ABE=90°,^GAB=Z.FAD,AG=AF,

BG=DF,進(jìn)而可得G、B、E共線(xiàn)，/.EAG=45°,證明△E4F三△EAG(SAS)得到EF=EG即可求解;

(2)在圖2中，在DC上截取DH=BE,連接4H,先證明△48E三△ADH(SAS),得至IjHE=NB4E=

Z.DAH,則可得NEAF=^FAH=45°,再證明△EAF=△HAF(SAS)得至IjEF=HF,進(jìn)而可得結(jié)論；

(3)將AanN繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABK,連接KM,先求得8。=6,則由已知得8M=2,DM=4,

由旋轉(zhuǎn)可得，AADNm4ABK,乙KAN=90°,易證4KBM=90°,證明AAMK三△4MN得到KM=MN,

設(shè)MK=MN=x,貝l|BK=DN=4—x,利用勾股定理列方程求解x值即可.

【詳解】解：(1)回四邊形4BCD是正方形,

0XD=AB,=4DAB=/.ABC=90°,

將AADF繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，得到AABG.

貝UNABG=ZD=4ABE=90°,/.GAB=/.FAD,AG=AF,BG=DF,

BIG、B、E共線(xiàn)，

^EAF=45°,

S^EAG=/.GAB+/-BAE=^FAD+/.BAE=45°,

在A(yíng)EAF和AEAG中，

AF=AG

Z.EAF=LEAG，

,AE=AE

??.△EAF瓦4G(SAS),

??.EF=EG,

BE+BG=EG,

回BE+DF=EF,

故答案為：①45；②BE+DF=EF；

(2)解：BE+EF=DF.

證明如下：如圖2,在DC上截取=連接A”,

AB=AD

在和△AD”中，\z.ABE=ZD,

、BE=DH

/.△ABE三△ZD”(SAS),

??.AE=AH/BAE=4DAH,

???乙BAE+乙BAH=Z.BAH+Z.DAH=90°,^Z.EAH=乙BAD=90°,

??.AEAF=45°,

???^EAF=Z.FAH=45°,

AE=AH

在^EAF^WL”AF中，NEAF=乙HAF,

AF=AF

/.△EAF三△HAF(SAS),

??.EF=HF,

???DH+HF=DF,

國(guó)BE+EF=DF,

(3)將AADN繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABK,連接KM.

El四邊形4BCD是正方形,

???AB=AD=3五/BAD=90°,4ABD=AADB=45°,

BD=y/AB2+AD2=6

1

???BM=-BD=2,DM=BD-BM=4,

3

由旋轉(zhuǎn)可得，△ADN=AABK,乙KAN=90°,

???AK=AN,BK=DN,乙ABK=乙ADB=45°,

???4KBM=乙ABK+^ABD=90°

???乙KAN=90°,/.MAN=45°,

???^KAM=4MAN=45°,

又；AM=AM,

??.AAMK=AAMN,

???KM=MN,

設(shè)MK=MN=x,則BK=DN=4—x,

在RtABMK中，BK2+BM2=MK2,

■.(4-x)2+22=/,

解得％=2.5,

MN=2.5.

【題型2特殊平行四邊形中求最值問(wèn)題】

1.（24-25九年級(jí)上?山東青島?期末）如圖，P是矩形48CD的對(duì)角線(xiàn)8。上一點(diǎn)，AB=3,BC=5,PE1BC

【答案】C

【分析】連接CP,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EF=CP,AP+EF的最小值即為4P+CP的最小值，當(dāng)4,P,C

三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AP+CP的值最小，且為AC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理得到AC=7AB2+BC2,于是得到結(jié)論.

【詳解】解：連接CP,

???PE1BC,PF1CD,

二四邊形PECF是矩形，

EF=CP,

：.AP+EF的最小值即為AP+CP的最小值，

當(dāng)A,P,c三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，ap+cp的值最小，且為ac的長(zhǎng)度，

?.?四邊形4BCD是矩形，

AC-yjAB2+BC2——V32+52=V34>

??.AP+EF的最小值為諄.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的

判定與性質(zhì).

2.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期末）如圖，在矩形4BCD中，AB=3,4D=4,點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)P分別作BC,CD的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)民尸，連接EF,貝帕F的最小值為.

【答案】y

【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂線(xiàn)段最短，連接CP,由矩形的性質(zhì)可得四邊形PECF

是矩形，即得CP=EF,可知要求EF的最小值，就是要求CP的最小值，當(dāng)CP1BD時(shí)，CP取最小值,

由勾股定理得BD=山1B2+4D2=5,再根據(jù)三角形的面積求出CP即可求解，正確作出輔助線(xiàn)是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接CP,

團(tuán)四邊形Z8C0是矩形,

固乙4=乙DCB=90°,

國(guó)PE1BC,PF工CD,

^PEC=乙PFC=90°,

團(tuán)四邊形PECF是矩形，

國(guó)CP=EF,

團(tuán)要求E尸的最小值，就是要求CP的最小值，

當(dāng)CP1BD時(shí)，CP取最小值，

在&△840中，^BAD=90°,AB=3,AD=4,

國(guó)BD=VAB2+AD2=V32+42=5,

回S^BCD=S〉A(chǔ)BD~3AB,AD=~BD,CP,

碎x3x4=，5xCP,

22

17

MP=Y，

國(guó)E尸的最小值為蓑，

故答案為：蓑.

3.（23-24八年級(jí)下?貴州黔東南?期末）在矩形4BCD中，點(diǎn)E,尸分別是4B,4D上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF,將△4EF

沿EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，連接BP,若4B=2,BC=3,貝的小值為.

【答案】V13-3/-3+V13

【分析】本題考查矩形與折疊、勾股定理、線(xiàn)段最值問(wèn)題，由題意得，點(diǎn)4點(diǎn)尸關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，可得當(dāng)

點(diǎn)、B、P、F三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，BP的最小，止匕時(shí)，點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)BD上，利用勾股定理求得=g，由折

疊的性質(zhì)得，AD=FP=3,再利用BP=BD-PF求解即可.

【詳解】解:由折疊的性質(zhì)得，NA=乙EPF=90°,

則當(dāng)BP1EP,即點(diǎn)8、P、/三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，BP的最小，

此時(shí)，點(diǎn)尸在對(duì)角線(xiàn)8。上，

回AB=2,BC=3,

WD=V22+32=V13,

由折疊的性質(zhì)得，AD=FP=3,

WP=BD-PF=V13-3,

故答案為：V13-3.

4.（23-24八年級(jí)下?廣東汕頭?期末）如圖，在菱形4BCD中，力B=6,乙4=120。，點(diǎn)、P,Q,K分別為線(xiàn)段

BC,CD,BD上的任意一點(diǎn)，貝UPK+QK的最小值為

【答案】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，作點(diǎn)P關(guān)于8。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',連接PK,P'Q,過(guò)點(diǎn)4作4H1CD于

H,然后根據(jù)直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)的所有連線(xiàn)中垂直線(xiàn)段最短的性質(zhì)可知當(dāng)P',K,。共線(xiàn)，P，QIC。時(shí)，

PK+QK的最小值，然后求解即可.

【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',連接P'K,P'Q,過(guò)點(diǎn)4作4H1CD于H,

則PK+QK=P'K+QK>P'Q,

回當(dāng)P,K,。共線(xiàn)，P，QICD時(shí)，PK+QK的最小值,

團(tuán)四邊形4BCD是菱形,

.-.AB=AD=6,AB||CD,

0ZX=120°,

乙ADH=180°-120°=60°,

BZ.DAH=30°,

0￡）W=-AD=3,

2

AH—V62—32——3A/3,

.?.點(diǎn)P到CD的距離=AH=3V3,

PK+QK的最小值為3百，

故答案為：3h.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，熟記

菱形的軸對(duì)稱(chēng)性和利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)的方法是解題的關(guān)鍵.

5.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期末）如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形A8CD中，E為CD邊上一點(diǎn)，且DE=1,M是

對(duì)角線(xiàn)4C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝UDM+EM的最小值為_(kāi).

【答案】V13

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問(wèn)題，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.連

接BM、BE,根據(jù)正方形的性質(zhì)可證出ABCMmADCM,得到BM=DM,利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，

再利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短性質(zhì)即可得出DM+EM的最小值.

【詳解】解：如圖，連接BM、BE,

邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD,

BC=CD=3,乙BCM=Z.DCM=45°,4BCD=90°,

又?:CM=CM,

??.ABCM=ADCM(SAS),

???BM=DM,

???DE=1,

■.CE=CD-DE=3-1=2,

.?.在RtABCE中，BE=VBC2+CE2=V32+22=V13,

由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短性質(zhì)得，BM+EM>BE,

DM+EM>V13,

DM+EM的最小值為g.

故答案為：V13.

6.(24-25九年級(jí)上,全國(guó)?期末)如圖，在正方形2BCD中，AB=BC=CD=AD.AB=11,E為4B邊上一

點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且BF=3,將點(diǎn)E繞著點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)G,連接DG,貝5G的長(zhǎng)的最小

值為—.

【答案】8

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)G作GH1BC,證明

△EBF任F”G(AAS),進(jìn)而得到點(diǎn)G在與BC平行且與BC的距離為3的直線(xiàn)上，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)G在CD

邊上時(shí)，DG最小，求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作GH18C,垂足為4

0ZGWF=90°,

回四邊形ABC。是正方形，

B\AB=CD=11,ZB=90°

0Z5=乙GHF=90°,

由旋轉(zhuǎn)得：EF=FG/EFG=9。。,

0Z￡FF+乙GFH=90°,

0ZBEF+乙BFE=90°,

0ZBFF=乙GFH,

0AEBF=△FHG(AAS),

0BF=GH=3,

團(tuán)點(diǎn)G在與BC平行且與BC的距離為3的直線(xiàn)上，

回當(dāng)點(diǎn)G在CD邊上時(shí)，DG最小且DG=11-3=8,

EIDG的最小值為8.

答案為：8.

【題型3中點(diǎn)四邊形問(wèn)題】

1.（24-25八年級(jí)下?江蘇南京?階段練習(xí)）閱讀理解：我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊

形叫中點(diǎn)四邊形，如圖1,在四邊形48C。中，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,的中點(diǎn)，依次

連接各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH.

⑴菱形的中點(diǎn)四邊形的形狀是;

（2）如圖2,在四邊形2BCD中，點(diǎn)M在48上且AaMD和為等邊三角形，E,F,G,H分別為

AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，試判斷四邊形EFGH的形狀并證明.

⑶若四邊形4BCD的中點(diǎn)四邊形為正方形，AB+CD的最小值為4,則BD=.

【答案】（1）矩形

⑵四邊形EFGH為菱形；證明見(jiàn)解析

（3）272

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)及矩形的判定可得出答案；

（2）連接AC、DB,由等邊三角形的性質(zhì)得出AM=DM,AAMD=^CMB=60°,CM=BM,證出

/LAMC=^DMB,由SAS證明AZMC三△DMB,得出AC=DB,由三角形中位線(xiàn)定理得出EF||AC,EF=

171C,GH||AC,GH=^AC,HE=^DB,得出EF||GH,EF=GH,證出四邊形EFGH是平行四邊形；

再得出EF=HE,即可得出結(jié)論；

（3）連接BD交4C于。，連接。M、ON,當(dāng)點(diǎn)。在MN上（即M、0、N共線(xiàn)）時(shí)，OM+ON最小，最

小值為MN的長(zhǎng)，再證明MN=即可求得答案.

【詳解】（1）解：如圖，

四邊形48CD是菱形時(shí)，連接各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFNM,

根據(jù)中位線(xiàn)性質(zhì)得到EFIIDB,MNWDB,

回EFIIMN,

同理可得EMIFN,

回EFNM為平行四邊形，

又EL4BCD是菱形，

SiAC1BD,貝i]EM1MN,

EIEFNM為矩形.

故答案為：矩形；

(2)解：四邊形EFGH為菱形.理由如下:

連接4C與BD,如圖2所示：

0A4用。和4MC8為等邊三角形，

???AM=DM,^AMD=4CMB=60°,CM=BM,

???^AMC=乙DMB,

在△2用。和4DMB中，

-AM=DM

^AMC=乙DMB,

.CM=BM

.?.AAMC=ADM8(SAS),

AC=DB,

???￡1,F,G,”分別是邊48,BC,CD,DA的中點(diǎn)，

EF是AABC的中位線(xiàn)，GH是△AC。的中位線(xiàn)，HE是A2BD的中位線(xiàn),

111

EF||AC,EF=-AC,GH||AC,GH=-AC,HE=-DB,

222

???EF||GH,EF=GH,

??.四邊形EFGH是平行四邊形；

???AC=DB,

???EF=HE,

???四邊形"GH為菱形；

(3)解：如圖3,連接3。交4c于O,連接。M、ON,

A

當(dāng)點(diǎn)。在MN上（即M、O、N共線(xiàn)）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長(zhǎng)，

02（OM+ON）的最小值=2MN,

由性質(zhì)探究知：AC1BD,

又回M,N分別是AB,CD的中點(diǎn)，

固4B=2OM,CD=2ON,

回2（。"+ON）=AB+CD,

SAB+CD的最小值=2MN,

回四邊形ENFM是正方形，

0FM=FN,4MFN=90°,

SMN=7FM2+FN2=42FN,

回N,尸分別是DC,BC的中點(diǎn)，

1

團(tuán)尸N

2

5\MN=—BD,

2

0—SDX2=4,

2

0BD=2V2,

故答案為：2&.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了三角形中位線(xiàn)定理，平行四邊形、矩形、菱形的判定，全

等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用前面得出的結(jié)論解決新問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

2.（23-24八年級(jí)下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）綜合與探究:如圖1,四邊形4BCD中，E、F、G、”分別是

AC,AB,BD、CD的中點(diǎn)，順次連接F,G、H.

（圖1）（備用圖）

（1）如圖1,P在四邊形48CD內(nèi)一點(diǎn)，使PC=PA,PD=PB/APC=乙BPD,其他條件不變，試探究四

邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)在(1)的條件下，若乙DPB=90。,￡^=5,求四邊形EFGH的面積.

【答案】(1)四邊形EFGH是菱形，理由見(jiàn)解析

(2)25

【分析】(1)連接AC、BD,證明AaPD=△CPB(SAS)得到2D=BC,再由三角形中位線(xiàn)定理得到EF=

|SC,EH=^A