北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)：5.2.3《復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探》聽(tīng)評(píng)課記錄x一.基本信息

聽(tīng)課日期：2023年10月26日

聽(tīng)課時(shí)間：上午第二節(jié)課（45分鐘）

授課教師姓名：李明

學(xué)科/課程名稱(chēng)：數(shù)學(xué)

班級(jí)/年級(jí)：高一年級(jí)

教學(xué)主題或章節(jié)：北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)：5.2.3《復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探》

聽(tīng)課人姓名：王華

聽(tīng)課人職務(wù)：高中數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)

聽(tīng)課目的：教學(xué)研究

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備：

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，目標(biāo)明確，圍繞復(fù)數(shù)乘法的幾何意義展開(kāi)，符合課程標(biāo)準(zhǔn)要求。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材為北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)，配套課件包含復(fù)數(shù)乘法的代數(shù)運(yùn)算和幾何圖形展示。教具方面準(zhǔn)備了復(fù)平面坐標(biāo)系圖示，多媒體設(shè)備運(yùn)行正常，演示了復(fù)數(shù)乘法旋轉(zhuǎn)和伸縮的動(dòng)態(tài)效果。

2.教學(xué)過(guò)程：

開(kāi)始階段：教師通過(guò)復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算引入新課。以問(wèn)題“復(fù)數(shù)乘法是否具有幾何意義”激發(fā)學(xué)生思考，通過(guò)計(jì)算1+√3i乘以自身得到的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生觀察模和輻角的變化，初步感知乘法的幾何效果。導(dǎo)入方式自然，效果良好，約5分鐘進(jìn)入主題。

展開(kāi)階段：教師采用講授與實(shí)驗(yàn)結(jié)合的方法展開(kāi)教學(xué)。首先講解模的乘積對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)乘法后的模，通過(guò)多媒體動(dòng)態(tài)演示向量長(zhǎng)度變化。隨后組織學(xué)生分組討論“輻角如何變化”，部分小組利用幾何畫(huà)板軟件操作，驗(yàn)證乘法對(duì)應(yīng)輻角相加的猜想。教師適時(shí)介入，糾正錯(cuò)誤理解，強(qiáng)調(diào)輻角加法在多值情況下的取值規(guī)則。課堂中穿插了3次快速提問(wèn)（如“模的乘積如何計(jì)算”），確保學(xué)生跟上進(jìn)度。該階段耗時(shí)32分鐘，包含4次學(xué)生小組討論和2次技術(shù)演示。

結(jié)束階段：教師用類(lèi)比實(shí)數(shù)乘法類(lèi)比的方式總結(jié)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，強(qiáng)調(diào)模對(duì)應(yīng)乘積的模，輻角對(duì)應(yīng)乘積的輻角。布置作業(yè)包括代數(shù)計(jì)算題和幾何畫(huà)板探究題，要求學(xué)生繪制3個(gè)復(fù)數(shù)乘法的幾何圖形并標(biāo)注模和輻角變化?？偨Y(jié)時(shí)留出3分鐘答疑，處理了關(guān)于輻角周期性的疑問(wèn)。

3.師生互動(dòng)：

師生交流頻率較高，教師平均每8分鐘引發(fā)一次學(xué)生思考或討論。學(xué)生參與度整體良好，實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中90%的學(xué)生能主動(dòng)操作軟件并記錄數(shù)據(jù)。質(zhì)量方面，教師提問(wèn)多采用啟發(fā)性語(yǔ)言（如“為什么輻角會(huì)相加”），學(xué)生回答能結(jié)合具體計(jì)算和圖形理解。有3名學(xué)生提出反例（如0乘任何數(shù)的輻角不確定），教師及時(shí)調(diào)整講解，給予“特殊情形需單獨(dú)討論”的結(jié)論。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)：

課堂前30分鐘專(zhuān)注度較高，因涉及新概念學(xué)生注意力集中；后15分鐘出現(xiàn)小范圍分心，可能因輻角周期性抽象導(dǎo)致。合作學(xué)習(xí)表現(xiàn)良好，4人小組能分工完成畫(huà)板操作和記錄，有小組通過(guò)討論糾正了輻角正負(fù)的判斷錯(cuò)誤。個(gè)別學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生通過(guò)舉手示意獲得教師指導(dǎo)，教師采用“你計(jì)算模，他畫(huà)旋轉(zhuǎn)”的協(xié)作方式幫助其參與。

5.課堂管理：

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守操作幾何畫(huà)板的規(guī)則，不隨意更改參數(shù)。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入5分鐘、展開(kāi)32分鐘、總結(jié)3分鐘、答疑3分鐘，符合教材建議的分配比例。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，在幾何畫(huà)板演示后留出2分鐘學(xué)生自主探索時(shí)間，避免演示過(guò)快導(dǎo)致理解不足。

6.教學(xué)技術(shù)使用：

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，多媒體課件動(dòng)態(tài)展示了復(fù)數(shù)乘法中的模伸縮和輻角旋轉(zhuǎn)，幫助學(xué)生直觀理解抽象概念。幾何畫(huà)板軟件的應(yīng)用使實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)效率提升，學(xué)生能即時(shí)調(diào)整參數(shù)觀察效果。技術(shù)對(duì)教學(xué)的支持體現(xiàn)在：①動(dòng)態(tài)演示強(qiáng)化幾何直觀；②軟件操作減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)；③參數(shù)調(diào)整支持個(gè)性化探究。有2名學(xué)生因提前預(yù)習(xí)已掌握軟件操作，教師允許其嘗試編寫(xiě)簡(jiǎn)單程序，體現(xiàn)分層教學(xué)。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成：

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，符合高一年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平。目標(biāo)包含三個(gè)層次：知識(shí)目標(biāo)（理解復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，掌握模乘模、輻角加輻角的法則）、能力目標(biāo)（能運(yùn)用幾何意義判斷復(fù)數(shù)乘法結(jié)果的變化，借助技術(shù)工具進(jìn)行探究）、情感目標(biāo)（體會(huì)數(shù)學(xué)的幾何美，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣）。從課堂表現(xiàn)看，目標(biāo)達(dá)成度較高。知識(shí)目標(biāo)方面，通過(guò)教師引導(dǎo)和學(xué)生實(shí)驗(yàn)，85%的學(xué)生能正確表述模和輻角的變化規(guī)律，課堂提問(wèn)中約80%的應(yīng)答與目標(biāo)內(nèi)容直接相關(guān)。能力目標(biāo)達(dá)成體現(xiàn)在，實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中60%的小組能完整呈現(xiàn)模變化和輻角旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，并記錄關(guān)鍵數(shù)據(jù)。情感目標(biāo)方面，學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)乘法幾何意義的驚訝表情和實(shí)驗(yàn)后的討論表明，數(shù)形結(jié)合的思想得到初步滲透。不足之處在于，對(duì)輻角周期性的理解僅停留在表面，未能深入到多值解析的討論，這與課時(shí)有限性有關(guān)。

2.知識(shí)掌握：

知識(shí)點(diǎn)理解方面，學(xué)生普遍掌握了模的乘積法則，但對(duì)輻角加法的正負(fù)判斷存在混淆。課堂實(shí)驗(yàn)中，有12名學(xué)生錯(cuò)誤地將-1乘任何數(shù)的輻角視為0，教師通過(guò)“負(fù)數(shù)乘法對(duì)應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°”的類(lèi)比進(jìn)行糾正，效果顯著。記憶情況方面，通過(guò)隨堂測(cè)驗(yàn)（含5道填空題和2道簡(jiǎn)答題），學(xué)生模法則的正確率為92%，輻角法則為78%，顯示記憶效果良好。技能掌握方面，代數(shù)運(yùn)算與幾何意義的結(jié)合能力有待提升。當(dāng)教師提問(wèn)“計(jì)算√3+i乘以i的幾何效果”時(shí)，部分學(xué)生僅能計(jì)算結(jié)果而不關(guān)注幾何意義，反映出技能遷移不足。實(shí)驗(yàn)操作技能掌握較好，90%的學(xué)生能獨(dú)立完成畫(huà)板參數(shù)設(shè)置和圖形繪制，但參數(shù)調(diào)整的優(yōu)化意識(shí)較弱。教師通過(guò)展示不同旋轉(zhuǎn)角度下的圖形對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生思考“如何使圖形變化更明顯”，培養(yǎng)了技能的靈活性。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀：

學(xué)生在課堂中的情感體驗(yàn)豐富，對(duì)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義表現(xiàn)出濃厚興趣，有5名學(xué)生主動(dòng)展示個(gè)人探索的額外案例（如純虛數(shù)乘法）。這種興趣源于教師將抽象概念轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)圖形，以及實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的自主探究空間。態(tài)度方面，小組合作中形成了積極的互助氛圍，能力較弱的學(xué)生通過(guò)同伴講解理解了輻角周期性，教師對(duì)小組貢獻(xiàn)的即時(shí)表?yè)P(yáng)強(qiáng)化了合作意識(shí)。價(jià)值觀培養(yǎng)體現(xiàn)在，教師通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)乘法類(lèi)比的方式引入，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性，有學(xué)生課后筆記中寫(xiě)道“原來(lái)復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)這么像”，體現(xiàn)了知識(shí)建構(gòu)的愉悅感。課堂中滲透的數(shù)形結(jié)合思想，有學(xué)生表示“以后解題會(huì)嘗試畫(huà)圖找規(guī)律”，暗示了思維方式的轉(zhuǎn)變。不足之處在于，技術(shù)工具的批判性使用未得到體現(xiàn)，學(xué)生多被動(dòng)接受教師預(yù)設(shè)的參數(shù)變化，未能主動(dòng)質(zhì)疑軟件演示的局限性，這與課時(shí)深度有關(guān)。

綜合評(píng)價(jià)，本課時(shí)教學(xué)效果良好，主要優(yōu)勢(shì)在于：①動(dòng)態(tài)演示直觀化抽象概念；②實(shí)驗(yàn)探究促進(jìn)深度理解；③合作學(xué)習(xí)提升參與度。需改進(jìn)方向包括：①加強(qiáng)輻角多值性的討論；②強(qiáng)化技能與知識(shí)的結(jié)合訓(xùn)練；③培養(yǎng)技術(shù)使用的批判性思維。建議后續(xù)課時(shí)增加“復(fù)數(shù)乘法幾何意義在軌跡問(wèn)題中的應(yīng)用”案例，以鞏固知識(shí)并拓展應(yīng)用意識(shí)。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)：

本節(jié)課整體印象優(yōu)秀，是一節(jié)體現(xiàn)新課標(biāo)理念、聚焦核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課。教學(xué)設(shè)計(jì)邏輯清晰，從代數(shù)運(yùn)算到幾何猜想，再到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教師成功地將抽象的復(fù)數(shù)乘法幾何意義轉(zhuǎn)化為直觀的視覺(jué)體驗(yàn)，特別是利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示模的伸縮和輻角的旋轉(zhuǎn)，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。這種數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式不僅幫助學(xué)生在幾何直觀上理解了復(fù)數(shù)乘法，也為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)平面、極坐標(biāo)等知識(shí)奠定了感性基礎(chǔ)。課堂互動(dòng)充分，教師通過(guò)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生小組合作探究的氛圍濃厚，實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中多數(shù)學(xué)生能主動(dòng)參與、積極表達(dá)，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)思想。此外，教師對(duì)課堂時(shí)間的把控精準(zhǔn)，各環(huán)節(jié)過(guò)渡自然，教學(xué)節(jié)奏張弛有度，確保了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。不足之處在于對(duì)輻角周期性的數(shù)學(xué)本質(zhì)挖掘稍顯不足，更多停留在幾何旋轉(zhuǎn)的層面，未能深入到多值解析的討論，這與課時(shí)的定位和深度有關(guān)，但已體現(xiàn)了教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的把握和取舍。

2.改進(jìn)建議：

針對(duì)存在的問(wèn)題，提出以下具體改進(jìn)措施：

（1）深化輻角周期性?xún)?nèi)涵的挖掘。建議在實(shí)驗(yàn)后增加“為什么輻角會(huì)重復(fù)出現(xiàn)”的數(shù)學(xué)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)周期性角度解釋?zhuān)缤ㄟ^(guò)計(jì)算√3+i乘以2πi的結(jié)果，使學(xué)生直觀感受輻角加整數(shù)倍的π對(duì)應(yīng)相同向量，從而引入輻角主值的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)指數(shù)形式做鋪墊。可以設(shè)計(jì)“尋找模不變輻角變化規(guī)律”的探究任務(wù)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)輻角加法中“模的平方與輻角平方和”的恒等關(guān)系，從代數(shù)角度驗(yàn)證幾何意義。

（2）強(qiáng)化技能與知識(shí)的結(jié)合訓(xùn)練。建議增加“幾何意義輔助計(jì)算”的練習(xí)，例如設(shè)計(jì)“已知復(fù)數(shù)z1、z2的模和輻角，不直接計(jì)算z1z2，如何通過(guò)幾何旋轉(zhuǎn)得到結(jié)果”的題目，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)化計(jì)算的能力?？梢砸搿皬?fù)數(shù)乘法在幾何變換中的應(yīng)用”案例，如平移、伸縮變換的復(fù)數(shù)表示，使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中鞏固幾何意義，提升數(shù)學(xué)建模意識(shí)。

（3）培養(yǎng)技術(shù)使用的批判性思維。建議在實(shí)驗(yàn)前明確“幾何畫(huà)板模擬的局限性”，例如詢(xún)問(wèn)學(xué)生“為什么軟件不能直接顯示輻角重復(fù)的現(xiàn)象”，引導(dǎo)學(xué)生思考參數(shù)范圍和動(dòng)態(tài)演示的靜態(tài)本質(zhì)?？梢栽O(shè)計(jì)“對(duì)比不同技術(shù)工具的優(yōu)劣”任務(wù)，如用Geogebra與Excel繪制復(fù)數(shù)乘法動(dòng)畫(huà)，讓學(xué)生評(píng)價(jià)不同軟件在表現(xiàn)多值性上的差異，培養(yǎng)技術(shù)工具的審辯式使用能力。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？建議教師：①加強(qiáng)教材拓展閱讀，引入《復(fù)變函數(shù)論》中“輻角分支割線”的初步概念，為學(xué)有余力的學(xué)生提供思維拓展空間；②開(kāi)發(fā)分層作業(yè)，基礎(chǔ)題要求掌握模輻角法則，拓展題要求設(shè)計(jì)復(fù)數(shù)乘法動(dòng)態(tài)演示程序，滿足個(gè)性化發(fā)展需求；③建立“復(fù)數(shù)幾何意義”專(zhuān)題資源庫(kù)，收集數(shù)學(xué)史中歐拉公式、四元數(shù)等概念的幾何詮釋?zhuān)瑯?gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升學(xué)科素養(yǎng)。

3.后續(xù)跟蹤：

鑒于本節(jié)課在輻角周期性?xún)?nèi)涵挖掘和技能應(yīng)用方面有提升空間，建議安排一次后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)改進(jìn)情況。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長(zhǎng)：

（1）提供專(zhuān)業(yè)發(fā)展資源。推薦《美國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)雜志》中關(guān)于復(fù)數(shù)幾何教學(xué)的研究論文，特別是關(guān)于“多值性直觀化”的教學(xué)設(shè)計(jì)案例；提供MITOpenCourseWare中復(fù)變函數(shù)的公開(kāi)課視頻，供教師參考數(shù)形結(jié)合的深度實(shí)現(xiàn)方式。

（2）組織專(zhuān)題教研活動(dòng)。以“復(fù)數(shù)乘法幾何意義的拓展教學(xué)”為主題，開(kāi)展同課異構(gòu)研討，邀請(qǐng)市教研員進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，重點(diǎn)分析如何將幾何意義延伸至極坐標(biāo)變換、分式