北師大版（2019）數(shù)學必修第二冊：1.7.2《正切函數(shù)的誘導公式》聽評課記錄x一.基本信息

聽課日期為2023年10月26日，聽課時間為上午第二節(jié)課，授課教師為李明，學科/課程名稱為數(shù)學，班級/年級為高一（2）班，教學主題或章節(jié)為北師大版（2019）數(shù)學必修第二冊：1.7.2《正切函數(shù)的誘導公式》。

聽課人姓名為王華，聽課人職務為高中數(shù)學教研員，聽課目的為教學研究。

二.課堂觀察記錄

1.教學準備：教師的教學計劃清晰，目標明確，重點突出正切函數(shù)誘導公式的推導過程和幾何意義。教學資源準備充分，包括教材、多媒體課件、幾何畫板軟件等，教材重點內容已標注，多媒體課件圖文并茂，幾何畫板軟件用于動態(tài)演示誘導公式，有助于學生直觀理解。

2.教學過程：

開始階段，教師通過復習誘導公式的一般形式，引導學生回顧三角函數(shù)的定義，以“已知角的正切值求相關角的正切值”為問題情境，導入新課。效果較好，學生能夠快速進入學習狀態(tài)，但部分學生對“相關角”的概念理解不夠深入。

展開階段，教師采用講授與討論相結合的方法，首先講解正切函數(shù)的誘導公式推導過程，結合單位圓和幾何圖形，強調公式的幾何意義。隨后組織學生分組討論，通過幾何畫板動態(tài)演示誘導公式，學生分組合作推導公式，并展示結果。教師適時點撥，糾正錯誤，并引導學生總結公式的記憶方法。教學方法的選擇與應用較為合理，但部分學生參與度不高，對公式的推導過程理解不夠透徹。

結束階段，教師通過總結歸納，強調正切函數(shù)誘導公式的應用，并布置作業(yè)，包括基礎題和拓展題，要求學生熟練掌握公式并應用于實際問題。但作業(yè)布置時間較緊，部分學生未能完成。

3.師生互動：師生交流頻率較高，教師能夠及時回應學生的問題，但互動質量有待提高。部分學生提問較為淺顯，教師應引導學生深入思考。學生參與度整體較高，但部分學生較為被動，需進一步激發(fā)其積極性。

4.學生學習狀態(tài)：學生的學習積極性和專注度整體較好，對誘導公式的推導過程表現(xiàn)出濃厚興趣，但部分學生在動態(tài)演示環(huán)節(jié)注意力分散。合作學習情況良好，但部分小組討論效率不高，需加強小組分工和協(xié)作指導。

5.課堂管理：課堂紀律狀況良好，教師通過提問和演示維持課堂秩序，時間分配較為合理，但部分環(huán)節(jié)時間控制不夠精準。課堂節(jié)奏控制較好，但部分學生跟不上進度，需加強個別輔導。

6.教學技術使用：教師有效利用了現(xiàn)代教育技術和工具，通過多媒體課件和幾何畫板軟件動態(tài)演示誘導公式，直觀性強，有助于學生理解。技術對教學效果的支持作用明顯，但部分學生操作幾何畫板軟件不夠熟練，需加強技術培訓。

三.教學效果評價

1.目標達成：本節(jié)課的教學目標明確且適切，聚焦于讓學生理解正切函數(shù)誘導公式的推導過程、掌握公式的具體形式、并能初步運用公式進行簡單的三角函數(shù)求值。教學目標設定符合高一學生的認知水平，具有層次性，既包含了對基礎知識的掌握，也隱含了對公式的應用能力培養(yǎng)。從課堂觀察和初步交流來看，大部分學生能夠跟隨教師的教學思路，對誘導公式的推導邏輯有了初步認識，對公式本身也達到了記憶和理解的基本目標。然而，對于部分學生而言，尤其是在公式幾何意義的深入理解和多個公式的綜合運用上，目標達成度略顯不足，顯示出在目標設定與學生實際接受能力之間可能存在細微的差距，或者在教學實施中未能充分覆蓋所有學生。預期學習目標的達成度整體良好，但存在提升空間，特別是在確保所有學生都達到基礎目標并鼓勵部分學生向更高層次邁進方面。

2.知識掌握：學生對正切函數(shù)誘導公式的理解程度和記憶情況呈現(xiàn)不均衡狀態(tài)。通過課堂提問和觀察學生推導過程，可以看出，大部分學生能夠正確復述誘導公式的基本形式，如\(\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\)，\(\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\)，以及\(\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\)，并能利用這些公式進行簡單的求值計算。這表明學生對公式的記憶和應用基礎技能掌握較好。然而，在涉及誘導公式推導過程中的幾何意義時，學生的理解較為表面，多數(shù)學生能夠機械地應用公式，但對其背后的單位圓性質、對稱性的關聯(lián)認識不足。例如，在討論\(\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot\alpha\)時，部分學生難以將公式的應用與直角三角形中的邊角關系聯(lián)系起來，反映出對知識的深度掌握不夠。此外，學生在綜合運用多個誘導公式解決稍復雜問題時，錯誤率較高，如將\(\tan(2\pi-\alpha)\)錯誤地簡化為\(\tan\alpha\)而忽略了符號變化，這表明學生對公式的靈活運用技能掌握程度有待提高，知識遷移能力較弱。總體來看，學生對正切函數(shù)誘導公式的記憶和應用基礎掌握尚可，但對知識的深層理解和技能的綜合運用能力存在明顯短板。

3.情感態(tài)度價值觀：本節(jié)課在促進學生的全面發(fā)展方面取得了一定成效。教師通過創(chuàng)設問題情境、組織合作學習等方式，激發(fā)了學生的學習興趣和好奇心，部分學生在推導公式和討論環(huán)節(jié)表現(xiàn)出了積極主動的態(tài)度，體現(xiàn)了較好的學習熱情。幾何畫板軟件的動態(tài)演示，直觀展示了誘導公式的幾何意義，幫助學生在視覺上理解了抽象的數(shù)學概念，這對于培養(yǎng)學生的直觀想象能力和數(shù)學美感具有一定的積極作用。同時，小組合作學習的形式，讓學生在交流與討論中相互啟發(fā)，培養(yǎng)了他們的團隊協(xié)作精神和溝通能力。在課堂氛圍方面，教師營造了較為寬松和鼓勵性的環(huán)境，學生敢于提問和表達自己的觀點，盡管有時不夠深入，但體現(xiàn)了較好的參與意識。然而，在情感態(tài)度價值觀方面也存在一些值得關注的方面。部分學生在面對較難的推導或計算時表現(xiàn)出畏難情緒或依賴心理，缺乏獨立思考和克服困難的勇氣。此外，課堂評價方式相對單一，主要以教師提問和答案判斷為主，未能充分展現(xiàn)學生的思維過程和多元解法，這在一定程度上可能抑制了學生的創(chuàng)造性思維和自信心。雖然教師強調了公式在解決實際問題中的應用價值，但課堂時間有限，未能深入展開，導致學生對數(shù)學學習的價值認識主要停留在解題層面，對數(shù)學文化、邏輯推理等更深層次的內涵體驗不足。整體而言，本節(jié)課在激發(fā)學習興趣、培養(yǎng)合作精神等方面有所成效，但在塑造學生堅韌不拔的意志品質、培養(yǎng)探究精神和提升數(shù)學價值認知等方面仍有提升空間，未能充分促進學生的全面發(fā)展。

四、總結與建議

1.總體評價：本節(jié)課整體印象較好，教師展現(xiàn)出扎實的專業(yè)素養(yǎng)和一定的教學調控能力。教學目標明確，教學內容圍繞正切函數(shù)誘導公式展開，符合課程標準和學生認知規(guī)律。最突出的優(yōu)點在于教師能夠較好地運用多媒體技術和幾何畫板軟件進行動態(tài)演示，將抽象的誘導公式幾何意義直觀化，有助于激發(fā)學生的學習興趣和理解。此外，教師注重引導學生參與推導過程，采用小組討論的方式，嘗試培養(yǎng)學生的合作學習能力，課堂氛圍較為活躍，師生互動較為頻繁。這些優(yōu)點為學生的學習提供了較好的支持，體現(xiàn)了教師對現(xiàn)代教學理念的關注和實踐。

2.改進建議：針對存在的問題，提出以下具體改進措施：

（1）深化知識理解，強化幾何意義：在講解誘導公式時，應更注重其幾何背景的挖掘和拓展。建議教師可以引導學生結合單位圓上角的終邊位置變化，直觀解釋符號變化規(guī)律，例如，通過動態(tài)演示\(\alpha\)角的終邊依次旋轉\(\pi\)、\(\frac{\pi}{2}\)、\(-\pi\)等角度，觀察正切值的變化，強化學生對于誘導公式與單位圓對稱性的關聯(lián)認識?？梢栽O計更多基于幾何畫板的探究活動，讓學生自主發(fā)現(xiàn)公式的幾何內涵，而不僅僅是記憶公式。

（2）加強技能訓練，注重靈活運用：針對學生在綜合運用公式時的困難，應加強針對性訓練。建議教師在例題和練習設計中，增加需要連續(xù)運用多個誘導公式的題目，并引導學生思考解題策略，如“化異角為銳角”、“化切為弦”等方法的靈活選擇?？梢栽O計變式練習，讓學生在不同情境下應用公式，例如，結合三角恒等變換解決更復雜的求值或化簡問題，提升學生的知識遷移能力和技能的靈活性。同時，教師在講解例題時，應更詳細地展示思維過程，引導學生分析問題、選擇方法、規(guī)范書寫，培養(yǎng)學生的解題策略意識和嚴謹?shù)臄?shù)學表達能力。

（3）優(yōu)化互動方式，關注個體差異：雖然課堂互動頻率較高，但互動質量有待提升。建議教師采用更多元化的互動方式，如設計具有層次性的問題鏈，從基礎記憶到深入理解再到靈活應用，滿足不同學生的需求；運用“think-pair-share”等策略，給予學生更充分的獨立思考和表達機會；對學生的回答和討論給予更細致的點評和引導，鼓勵學生提出不同見解。同時，應更加關注后排或參與度不高的學生，通過巡視、個別提問等方式了解他們的學習狀況，及時提供幫助。課堂評價應更注重過程性評價，記錄學生的思考閃光點和進步軌跡，而不僅僅是最終答案的正確與否，以增強學生的自信心和參與積極性。

（4）改進課堂管理，合理分配時間：課堂時間分配略顯緊張，尤其是在作業(yè)布置環(huán)節(jié)。建議教師課前更精確地預估各環(huán)節(jié)所需時間，特別是小組討論和展示環(huán)節(jié)，預留更充裕的時間。可以采用更高效的教學組織形式，如將小組討論與教師講解穿插進行，避免長時間的單向輸出。在作業(yè)布置時，可以先講解并預留部分時間讓學生嘗試完成部分基礎題，剩余的拓展題作為課后思考或次日課始練習，確保教學任務的完成和學生的充分吸收。

如何進一步提升教學質量？除了上述具體改進措施外，建議教師持續(xù)深化對教材的理解，挖掘知識點之間的內在聯(lián)系，構建更系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡；加強集體備課，與其他教師交流教學心得和經(jīng)驗，特別是針對誘導公式這一類具有邏輯性和技巧性的內容，共同探討更有效的教學策略；鼓勵教師參加相關的教研活動和培訓，學習先進的教學理念和方法，如PBL（項目式學習）、探究式學習等，將這些理念融入日常教學，不斷提升自身的專業(yè)素養(yǎng)和教學創(chuàng)新能力。同時，教師應關注學生的數(shù)學學習情感和態(tài)度，通過創(chuàng)設更豐富的學習情境、開展更多有趣的數(shù)學活動，讓學生體驗數(shù)學的價值和魅力，培養(yǎng)他們對數(shù)學的持久興趣和積極情感。

3.后續(xù)跟蹤：建議安排后續(xù)聽課跟進改進情況。后續(xù)聽課可以聚焦于教師在實際教學中如何落實上述改進建議，特別是觀察教師是否更注重公式的幾何意義的挖掘、技能訓練的層次性、互動方式的多樣性以及課堂時間的合理分配。在聽課過程中，可以重點關注以下方面：教師是否能夠引導學生利用幾何畫板等工具進行更深入的自主探究；小組討論中學生的參與度和思維深度如何；教師對學生的個性化反饋是否及時有效；課堂節(jié)奏是否張弛有度，學生練習和鞏固時間是否充足。通過對比前后教學效果，評估改進措施的實施成效。

計劃采取哪些支持措施幫助教師成長？首先，安排一次課后反饋會，與授課教師就課堂觀察情況進行深入交流，肯定其優(yōu)點，坦誠指出問題，并共同探討改進策略，幫助教師明確努力方向。其次，提供相關的教學資源支持，如關于三角函數(shù)誘導公式教學的優(yōu)秀案例、幾何畫板教學應用技巧的教程、分層練習設計的方