第1頁/共1頁源清中學(xué)2024學(xué)年第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷命題人：審核人：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求）1.過點(diǎn)和點(diǎn)的直線傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)得到直線為，即可得傾斜角.【詳解】由過點(diǎn)和點(diǎn)的直線為，即其傾斜角為.故選：B2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A2 B.1 C.8 D.4【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義得，故D正確.故選：D3.某校一次數(shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布，已知，則（）A.0.15 B.0.25 C.0.3 D.0.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性求解即得.【詳解】由服從正態(tài)分布，，得故選：C4.在某次無人機(jī)燈光表演秀中，有8架無人機(jī)排布成如下圖形式，已知每架無人機(jī)均可以發(fā)出紅、黃、藍(lán)3種顏色的光，編號1至5號的無人機(jī)顏色必須相同，編號7、8號的無人機(jī)顏色必須相同，編號6號的無人機(jī)與其他無人機(jī)顏色均不相同，則這8架無人機(jī)同時發(fā)光時，一共可以有（）種燈光組合.A.18 B.15 C.12 D.9【答案】C【解析】【分析】利用已知條件，通過分類求解即可.【詳解】若發(fā)出2種光，則有種；若發(fā)出3種光，則有種，則共有種.故選：C5.已知為等差數(shù)列，且．若直線l：與圓：相切，則的公差為（）A.8 B.4或8 C.6 D.2或6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出公差范圍，再利用圓心到直線距離列式求出公差.【詳解】圓：的圓心，半徑，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，由直線l：與圓相切，得，則，因此，所以的公差為6.故選：C6.關(guān)于二項(xiàng)式，若展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A.3 B.2 C.1 D.-1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式可求得含的項(xiàng)的系數(shù)，即得方程，求得答案.【詳解】由題意得的系數(shù)為，解得，故選：C.7.已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交圓于兩點(diǎn)，其中位于第一象限，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到，由焦半徑得到，，從而得到，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】由題意得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率不存在時，不滿足交拋物線于兩點(diǎn)，舍去，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，方程的判別式，設(shè)，則，，則，，其中的圓心為，半徑為1，故，同理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：C8.在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，D在線段上，則下面說法中不正確的是（）A.平面B.直線與平面所成角的正弦值為C.直三棱柱的外接球半徑為D.直線與直線所成角最小時，線段長為【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用空間位置關(guān)系的向量證明可得A正確，再由線面角的向量求法計算可得B正確，確定直三棱柱的外接球球心位置可計算半徑為，即C正確，利用異面直線向量求法求出直線與直線所成角最小時點(diǎn)的位置，可判斷D錯誤.【詳解】因?yàn)槭侵比庵云矫?，又平面，所以，又，即；因此兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：對于A，又，所以，可得，顯然平面的一個法向量為，所以，又平面，所以平面，即A正確；對于B，易知平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，所以因此與平面所成角的正弦值為，即B正確；對于C，因?yàn)?，，所以為等腰直角三角形，所以其外接圓圓心為的中點(diǎn)，外接圓半徑為；因此可得直三棱柱的外接球球心即為的中心，易知，則外接球半徑為，因此C正確；對于D，易知，所以，由在線段上，可設(shè)，其中，所以，因此直線與直線所成的角的余弦值為，令函數(shù)，可得；易知當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，再結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性可得此時直線與直線所成的角最小，因此，所以，因此線段長為，即D錯誤.故選：D二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則（）A.橢圓C的長軸為B.橢圓C的離心率為C.D.拋物線上與焦點(diǎn)距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件得到，從而求出長軸，即可判斷A；由可得，求出離心率即可判斷B，求出橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，判斷C；利用拋物線的焦半徑定義即可判斷D.【詳解】橢圓，則，所以長軸，則，故A錯誤，B正確；因?yàn)榈淖笥医裹c(diǎn)分別為，由題知，拋物線的焦點(diǎn)，所以，得到，故C正確，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)拋物線上與焦點(diǎn)距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可得：，則，代入拋物線方程可得，則，故D正確；故選：BCD.10.餃子是我國的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好，現(xiàn)有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡餃子，2盒三鮮餡餃子和5盒青菜餡餃子，乙箱中有3盒肉餡餃子，3盒三鮮餡餃子和4盒青菜餡餃子，則下列正確的是（）A.從甲箱中取出兩盒餃子都是肉餡的概率是B.依次從甲箱中取出兩盒餃子，第一盒是肉餡的條件下，第二盒是青菜餡的概率是C.先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，則乙箱取出的餃子是肉餡的概率是D.先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，若從乙箱取出的餃子是肉餡的，則從甲箱中取出三鮮?餃子的概率是【答案】ACD【解析】【詳解】解：對于，從甲箱中取出兩盒餃子都是肉餡的概率是，故正確；對于，依次從甲箱中取出兩盒餃子，第一盒是肉餡的條件下，第二盒是青菜餡的概率為：，故錯誤；對于，先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，則乙箱取出的餃子是肉餡的概率是：，故正確；對于，先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，若從乙箱取出的餃子是肉餡的，則從甲箱中取出三鮮餡餃子的概率為：，故正確．故選：．11.已知函數(shù)其中，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若，則C.，使有兩解，則D.有最大值【答案】AD【解析】【分析】A不等式移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，求新構(gòu)造函數(shù)的最大值即可得解；B結(jié)合導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，從而可以判斷的大?。籆結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求出的極值點(diǎn)，從而得到反例，推斷C選項(xiàng)錯誤；D結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求出最值即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，，記，則，令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故A正確；對于B選項(xiàng)，，所以，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無法判斷的大小關(guān)系，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，，則，令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，僅有一解，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，，則，令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故D正確，故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題的關(guān)鍵就是每個選項(xiàng)逐一分析轉(zhuǎn)化化歸，充分利用導(dǎo)數(shù)工具，解決單調(diào)性問題、最值問題、極值點(diǎn)問題，從而借助這些結(jié)論判斷出選項(xiàng)正確與否，同時，有時舉反例排除也是解決問題的關(guān)鍵.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知數(shù)列滿足，且，則__________.【答案】1【解析】【分析】利用兩式相減就可得到數(shù)列的周期性，可得周期為3的數(shù)列，即可求出結(jié)果.【詳解】由可得：，兩式相減得：，由此可得：，故答案為：1.13.已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，計算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，即，所以，故答案為：14.為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)A，B，C三門勞動教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報名參加該校勞動教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，而甲不能參加C課程，則不同的報名方法數(shù)為_________．【答案】100【解析】【分析】先分組后排列，分組時有均分組則需要消序，排列時有特殊元素則需要優(yōu)先排.【詳解】將甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)分三組，每組人數(shù)分別為2、2、1或3、1、1，此時分組方法有：；然后將這三組同學(xué)分配給三門勞動教育校本課程，由于甲不能參加課程，此時分配方法有：；由分步計數(shù)原理可知，不同的報名方法種數(shù)為，故答案為：.四、解答題（本大題共5個小題，共77分）15.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為．記，數(shù)列是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列，求解出前3項(xiàng)，由等差中項(xiàng)得出等式，從而求解；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消的方法求解出，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得證.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為由題意得，，，，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，解得，，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，故，所以因?yàn)椋?，故，因?yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，故當(dāng)時，，綜上：.16.書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）（2）若年輕人每天閱讀時間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．【答案】（1）（2）（3）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計算方法計算即可；（2）依據(jù)，利用正態(tài)分布的對稱性計算即可；（3）先由題意得到隨機(jī)變量的取值，并分別計算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計算即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得：．【小問2詳解】由題意知，即，所以．【小問3詳解】由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機(jī)變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：0123所以.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，是等邊三角形，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，由已知條件，結(jié)合線面平行的判斷推理即得.（2）過作于點(diǎn)，借助三角形全等，及線面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，得，又，則，因此四邊形為平行四邊形，于是，而平面平面，所以平面.【小問2詳解】過作于點(diǎn)，連接，由，得≌，則，即，而，因此，又平面，則平面，平面，所以平面平面.【小問3詳解】由（2）知，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)與平面所成角為，，所以與平面所成角的正弦值是.18.已知橢圓C：，，，，這四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)E是橢圓C上的一個動點(diǎn)，求面積的最大值；（3）過的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率，在x軸上是否存在一點(diǎn)，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）觀察可知，都在橢圓上，即滿足橢圓方程，若在橢圓上，代入方程，聯(lián)立解得，舍去；因此三點(diǎn)在橢圓上，即可解出橢圓的方程；（2）要使面積最大，則應(yīng)有點(diǎn)E到直線的距離最大.當(dāng)過點(diǎn)的直線與平行，且與橢圓相切時，取得最大或最小值，聯(lián)立方程即可求得；（3）寫出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，根據(jù)韋達(dá)定理求出的中點(diǎn)坐標(biāo)以及線段的垂直平分線的方程，代入，即可求得的值.根據(jù)基本不等式，可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，關(guān)于軸對稱，根據(jù)題意以及橢圓的對稱性可知，兩點(diǎn)都在橢圓上，即有成立.若在橢圓上，則有.聯(lián)立可得，，不合題意，舍去.所以，在橢圓上，即有，所以，代入，可得.所以，橢圓C的方程為.【小問2詳解】要使面積最大，則應(yīng)有點(diǎn)E到直線距離最大.由，，可得直線方程為.過點(diǎn)作直線，使得，則到直線的距離即等于直線到直線的距離.顯然，當(dāng)直線與橢圓相切時，距離為最大或最小.則設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，.因?yàn)椋本€與橢圓相切，則，解得，.則當(dāng)時，此時直線方程為，與直線距離最大，此時.又，所以面積的最大值為.【小問3詳解】設(shè)，，假設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)，使得、為鄰邊的平行四邊形為菱形.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程可得，，恒成立，且，，，，所以，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為，顯然該直線過點(diǎn).令，則，即.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時，即時