第13講函數(shù)的圖象

錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航...............................................................2

02知識導(dǎo)圖思維引航...............................................................3

03考點(diǎn)突破題型探究...............................................................4

知識點(diǎn)1：掌握基本初等函數(shù)的圖像....................................................4

知識點(diǎn)2：函數(shù)圖像作法..........................................................................4

解題方法總結(jié)....................................................................................6

題型一：由解析式選圖（識圖）.............................7

題型二：由圖象選表達(dá)式.........................................................................9

題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問題......................................................13

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題........................................................................17

題型五：函數(shù)圖象的變換........................................................................21

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值...................................................24

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式......................................................27

題型八：利用函數(shù)的圖像求恒成立問題............................................................30

題型九：利用函數(shù)的圖像判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)..........................................................33

04真題練習(xí)命題洞見..............................................................39

05課本典例高考素材..............................................................41

06易錯(cuò)分析答題模板..............................................................44

易錯(cuò)點(diǎn)：圖像的變換問題........................................................................44

答題模板：圖像的變換問題................................45

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考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點(diǎn)之

2024年全國甲卷第7題，5分一，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具,高考中總以一

2024年I卷第7題，5分次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對

（1）函數(shù)圖像的識別

2023年天津卷第4題，5分?jǐn)?shù)函數(shù)、尋函數(shù)、三角函數(shù)等的I］像為基礎(chǔ)來考

（2）函數(shù)圖像的應(yīng)用

2022年天津卷第3題,5分查函數(shù)圖像，往往結(jié)合函數(shù)性質(zhì)一并考查，考查

（3）函數(shù)圖像的變換

2022年全國乙卷第8題，5分的內(nèi)容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以

2022年全國甲卷第5題，5分及靈活地應(yīng)用圖像判斷方程解的個(gè)數(shù)，屬于每年

必考內(nèi)容之一.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).

（2）會(huì)畫簡單的函數(shù)圖象.

（3）會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解次方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.

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Y

K

K二次函數(shù)）

K反比例函數(shù)）

K指數(shù)函數(shù)）

Y三角函數(shù)）

函數(shù)的圖象

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④特殊點(diǎn)、極值點(diǎn)、與橫/縱坐標(biāo)交點(diǎn)；⑤特殊線(對稱軸、漸近線等).

2、圖像的變換

<1)平移變換

①函數(shù)y=/(x+“)(“>0)的圖像是把函數(shù)p=/(x)的圖像沿x軸向左平移”個(gè)單位得到的；

②函數(shù)y=>0)的圖像是把函數(shù)y=f(x)的圖像沿x軸向右平移a個(gè)單位得到的：

③函數(shù)y=/(》)+。(。>0)的圖像是把函數(shù)p=/(x)的圖像沿y軸向上平移。個(gè)單位得到的；

④函數(shù)y=f(x)+a(a>0)的圖像是把函數(shù)>，=/a)的圖像沿)，軸向下平移a個(gè)單位得到的；

(2)對稱變換

①函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)丁=/(.r)與函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對稱；

函數(shù))，=/(外與函數(shù)y=的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)對稱：

②若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=〃對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x)(實(shí)質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線x=a對稱的兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)橫坐標(biāo)

為a,即("_')+("+')=a為常數(shù));

2

若函數(shù)/(A)的圖像關(guān)于點(diǎn)(。力)對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有

=2b-f(2a-x)^f(a-x)=2b-/伍+x)

③y=|/(x)|的圖像是將函數(shù)/(X)的圖像保留X軸上方的部分不變，將X軸下方的部分關(guān)于X軸對稱翻

折上來得到的(如圖9和圖(6))所示

④)y=/(|x|)的圖像是將函數(shù)/*)的圖像只保留軸右邊的部分小變，并將右邊的圖像關(guān)于歹軸對稱

得到函數(shù))，=/(卜|)左邊的圖像即函數(shù)7=/(卜|)是一個(gè)偶函數(shù)(如圖(c)所示).

注：|/(x)|的圖像先保留/*)原來在x軸上方的圖像，做出x軸下方的圖像關(guān)于x軸對稱圖形，然后

擦去x軸下方的圖像得到：而/(卜|)的圖像是先保留/(x)在)，軸右方的圖像，擦去)，軸左方的圖像，然后

做出y軸右方的圖像關(guān)于)，軸的疝稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

⑤函數(shù)y=廣(X)與y=/(x)的圖像關(guān)于y=x對稱.

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(3)伸縮變換

=Af(x)(A>0)的圖像，可將y=/(幻的圖像上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0</<1)到

原來的力倍得到.

②)”/(5)3>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(0<口<1)或緡短?>1)到

原來的,倍得到.

(0

【診斷自測】若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,則函數(shù))，=/(》-1)與y=的圖象關(guān)于()

A.直線x=0對稱B.直線y=o對稱

C.直線x=l對稱D.直線y=l對稱

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x-1)的圖象是/")的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，

/(IT)=/(-(X-1))的圖象是/(f)的圖象也向右平移1個(gè)單位得到的；

乂因?yàn)?(X)與/(-X)的圖象是關(guān)FN軸(直線x=0)對稱，

所以函數(shù)y=/(x-1)與y=/(i-x)的圖象關(guān)于直線％=1對稱.

故選:C.

解題方法總結(jié)

(1)若/(〃?+x)=-x)恒成立，則y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=加對稱.

(2)設(shè)函數(shù))，=/(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)y=f(x-z〃)與y=f(m-x)(〃?>0)的圖象關(guān)于直線

x=m對稱.

(3)若/(a+x)=/(力-x),對任意xeR恒成立，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=一對稱.

(4)函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=/(b-x)的圖象關(guān)于直線/二色產(chǎn)對稱.

(5)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=。對稱.

(6)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=2b-/(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,。)中心對稱.

(7)函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減

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題型一：由解析式選圖（識圖）

“\siiiv

【典例1-1]（2024?安徽淮北二模）函數(shù)/（切=6兄的大致圖像為（）

【答案】C

“\sinxTT

【解析】由/x—[可知，COSX工0,即+Ekez,顯然該函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,

|COSUY|2

、sin（-x）sinx?、

由）（一”=|cos（_q=/莉=_Jz（"）可知，函數(shù)為奇函數(shù)’排除B，D兩項(xiàng)’

.3花

sin—

又了（:■卜—9=1＞仇排除A項(xiàng)，故C項(xiàng)正確?

4I371.

|cos-I

4

故選：C.

【典例1-2】（2024?陜西商洛模擬預(yù)測）函數(shù)N=xcosx-sinx的部分圖象大致為（）

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【解析】當(dāng)x=0時(shí)，y=。，故排除選項(xiàng)C；

當(dāng)匯=入時(shí)，y=-兀＜0,故排除選項(xiàng)B；

令/（,￥）=xcosx-sint,則/（-x）=-xcosx+sinx=-f（x）在［-7C,n］上恒成立，

函數(shù)y=xcosx-siM在區(qū)間［-兀建］上是奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故排除選項(xiàng)D,A選項(xiàng)正確.

故選：A.

【方法技巧】

利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域.、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點(diǎn)等）排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而篩選

出正確答案.

【變式1?1】（2024?天津?二模）研究函數(shù)圖象的特征，函數(shù)/"）=部的圖象大致為（）

【答案】B

【解析】小）=部定義域?yàn)椋ā?。?。，+8），即定義域關(guān)=原點(diǎn)對稱，

且〃-力=9粵=-/（力

所以/（X）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除CD,

注意到當(dāng)0＜工＜1時(shí)，有只小|＜0,/+1）0,即

此時(shí)函數(shù)圖象位于x軸下方，故排除A,經(jīng)檢驗(yàn)B選項(xiàng)符合題意.

故選：B.

【答案】A

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/、-2e'-ex-21n(-x),x<0

［解析］/(x)=e-c'Tnr=1(八，

c'-er-2\nx,x>0

因?yàn)楫?dāng)XV0時(shí)，y=e',y=_e；y=_21n(T)都為增函數(shù)，

所以，),=/_1-211］(一)在(一8，°)上單調(diào)遞增，故B，C錯(cuò)誤;

又因?yàn)?(―%)=e*-e*-InA2#-人力

所以/(X)不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D錯(cuò)誤.

故選：A

題型二：由圖象選表達(dá)式

【典例2-1］(2024?安徽馬鞍山?三模)己知函數(shù)V=/(x)的大致圖象如圖所示，則V=/(犬)的解析式

可能為()

x-3x

B-f(x)=

9V+1

C./⑶二叫-x

D./")=

(x2+l)ln(|x|+2)

%■+1

【答案】D

【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?⑴二］〉。，與圖象不符，故A錯(cuò)誤;

O

對于選項(xiàng)B：因?yàn)?(1)=得、0,與圖象不符，故B錯(cuò)誤，

對于選項(xiàng)C：因?yàn)?(1)=竽>0,與圖象不符，故c錯(cuò)誤;

故選：D.

【典例2?2】(2024?寧夏固原一模)已知函數(shù)/(x)的部分圖像如圖所示，則/(x)的解析式可能為

)

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x./\e_x-e-x//、e_x—e

A.〃、）=布乩/（x）=f

C.〃力箱D./（x）,

【答案】A

【解析】對于B,當(dāng)x>l時(shí)，f（x）=C~C,易知e、-eT>0，3-4x<0,

v）3-4x

則了（力<0,不滿足圖象，故B錯(cuò)誤；

對于c,/M=7rrT*定義域?yàn)?

4同-3II44J14）

又/（一對=:3==/"）'則/（X）的圖象關(guān)于軸對稱，故C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)x>l時(shí)，?。?時(shí)=二?=1+三，

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，/（M在（1,+8）上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；

X-x

檢驗(yàn)選項(xiàng)A,/（》）二篇一滿足圖中性質(zhì)，故A正確.

明-3

故選：A.

【方法技巧】

1、從定義域值域判斷圖像位置；

2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；

3、從周期性判斷圖像循環(huán)往復(fù)；

4、從單調(diào)性判斷大致變化趨勢；

5、從特殊點(diǎn)排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

【變式2-1］（2024?天津?二模）函數(shù)/（力的圖象如圖所示,則/（x）的解析式可能為（

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B?不)=三

D./⑺二野

【答案】C

【解析】由圖象知，該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且/。)=0,

對于A,/(-力=/2出-/(@，為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤：

(-X)、+1「x+1

對于B,f(l)=WW=e-」HO,故B錯(cuò)誤；

re

對于C,為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(》)=三二l=

-xxXX

因?yàn)閥=x，y=-L在(0,+8)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以/(工)二工一1在(0,+8)單調(diào)遞增，故c正確：

XX

對于D,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=—./")=上空，所以xw(O,c)時(shí)，/()>0,

-XX

/卜)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，/'(x)<o,/(X)單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤,

故選：C.

【變式2-2](2024?湖南?二模)已知函數(shù)/(》)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)/(X)的解析式可能為

氏"一麗

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c/(“=倩D。黑

【答案】A

【解析】由圖可知，函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；

由圖可知，函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集.故排除B；

由圖可知，當(dāng)XT+8時(shí)，yf-x,

而對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，yfO,故排除D.

故選：A.

【變式2?3】（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）的部分圖象如圖所示，則/J）的解析式可能為（）

、xsinx、xsinx+x

B.f(x)=——C.f(x)=

|x|+l|x|+l

?_、xsinx

D./(zx)=^—

x'+l

【答案】A

【解析】由圖象可得函數(shù)/（x）為偶函數(shù),且xeR,/(x)>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=0,

一xsin(r)+(r)~xsinx+x2

對于A,因?yàn)椤╮)==/（@,xeR,所以函數(shù)/（x）是偶函數(shù)，又

H+1N+i

y=sin.r+x,x>0,

貝ljy'=cosx+l20,所以函數(shù)卜=sinx+x在（0,+司上單調(diào)遞增,

所以y=sinx+x>0,故解析式可能為A,故A正確;

3兀.3n3it

—sin------

對于B,由/（弓）=4--=TJ-<0?不合題意，故B錯(cuò)誤;

J7C3兀，

—+1—+1

22

-xsin(-x)4-(-x)_rsinr-r

對于C,因?yàn)?（一》）=，所以/（T）W/（X）旦/（—X）/一/（X）,

M+1

所以函數(shù)/（X）是非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

對于D,由?。?*=。，不合題意，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

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題型三：表達(dá)式含參數(shù)的圖象問題

【典例3?1】(2024?重慶?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=/(x〉0),。為實(shí)數(shù)，/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),在

同一直角坐標(biāo)系中，與/(X)的大致圖象不可能是()

【解析】由/(A)=/,可得/'(X)=

對于A,當(dāng)a=T時(shí)，在第一象限上/(x)=x"遞減，對應(yīng)/”(司=-尸2=-4圖象在第四象限且遞增，故

X

A項(xiàng)符合；

對于B,C,D,在第一象限上/(x)與/(X)的圖象在(0,-KO)上都單調(diào)遞增，故a>0且。-1>0,則a>l.

又Fh/(x)=/'(x)可得x=a>l，即/(x)=x“與/'(x)=axaT的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)應(yīng)大于1,顯然C項(xiàng)不符

合，B,D項(xiàng)均符合.

故選：C.

【典例3-2](多選題)(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(力=〃卜+1門.-1)"(其中〃?+〃>0,"0)

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A.m>n>0B.m<3nC.m>0>nD.a<0

【答案】AB

【解析】選項(xiàng)A,B,C：由題意知

r（x）=s"（x+i廣（x-1）"+an

令/''（x）=0,解得k-1或x=l或％=絲2,

ni+n

由題圖可知函數(shù)/（x）的一個(gè)極值點(diǎn)位于區(qū)間（0,g）

因此0<‘―,又加+〃>0,所以0<2加一2〃<〃?+〃=〃<〃?<3〃，故〃>0,因此A,B正確，C錯(cuò)

m+n2

誤.

選項(xiàng)D：由題圖可知/（；）=4停/,；］'>0,

若取用=3,〃=2,則〃（'［（一gj>（），解得〃>0,因此D錯(cuò)誤.

故選：AB

【方法技巧】

根據(jù)參數(shù)的不同情況對每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，推斷出合理的圖像位置關(guān)系，排除相互矛盾的位置關(guān)系,

以得出正確選項(xiàng).

【變式3-1］（多選題）（2024?安徽合肥?一模）函數(shù)/"）=/-'（加eR）的圖象可能是（）

X

【解析】由題意可知,函數(shù)/（X）的定義域?yàn)椋?8,0）5°，+8），

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當(dāng)掰>0時(shí)，r（x）=3x2+4>0,函數(shù)/（x）在（一8,0）,（。,*）上單調(diào)遞增，故B正確；

X

當(dāng)陽=0時(shí)，/（x）=d,/^（X）=3X2>0,所以在（-8,0）,（0,+向上單調(diào)遞增，故D正確;

當(dāng)陽<()時(shí)，當(dāng)X>0時(shí)，/(X)=A3-->0;當(dāng)X<()時(shí)，/(x)=x3<0：

XA

故A正確；C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

鬻的大致圖象可能是（）

【變式3?2］（多選題）函數(shù)”x）

【答案】BCD

【解析】當(dāng)。=0時(shí)，/（K）=9是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/（x）為減函數(shù)，此時(shí)對應(yīng)圖象可能是C；

/、1/、/??（\~ax_

當(dāng)”>0時(shí)，xeR,令/（耳=0得.丫=一!<0,/（X）為非奇非偶函數(shù)，且/"）=-^二—弋一,

a（尸+“）

令y=-O￥2_2x+/其對應(yīng)方程的A=4+4a3>0，設(shè)其對應(yīng)方程的兩根分別為3,x2,(xj<0<x2),

,

所以xe(-oo,xj,x€(xpx2),/0(x)>0,XG(X2,+OO),/(x)<0,

即函數(shù)/（%）在（f,xj和（七,位）上單調(diào)遞減，在（X”電）上單調(diào)遞增，由單調(diào)性判斷此時(shí)對應(yīng)圖象可能是

B；

當(dāng)時(shí)，/（X）為非奇非偶函數(shù)，/（X）在工=±衣處無定義，

取〃=—2,/（"=吳|,/Q）=0,x<q時(shí)/（">0且/（力單增，

x>&時(shí)/（x）<0且/（"單增，-及<x<&時(shí)/（》）單增，

此時(shí)對應(yīng)圖象可能是D：

對于A,由于圖象無間斷點(diǎn)，故Q>0,但此時(shí)/（x）在x<0上不可能恒正,

故選：BCD.

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【變式3-3](多選題)(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=ln(l+x)--n(lT)的大致圖像可能為

【解析】因?yàn)?x)=ln(l+x)-"ln(lr),

所以《八，解得故/(x)定義域?yàn)?-覃).

r(x)=-!-+±「(I)?+左,/(一上鵬一)-人“…)，

\+x1-xl-.r

因?yàn)椤ǎ緊時(shí)，r(x)=—!—+—J＞o在區(qū)間(-1,1)上恒成立，

\+x1-X

所以“X)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增.

當(dāng)上=1時(shí)，/(r)=-/(x),此時(shí)/(x)為奇函數(shù),故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)4=0時(shí)，/(x)=ln(l+x),易知其圖像為選項(xiàng)D,故選項(xiàng)D正確.

1xZ-2a1k7

當(dāng)方＜0時(shí)，由/'(x)=0,得A巖=1+三，又學(xué)+一(7)=三＞0,

1-kl-k\-k\-k

14,b\4.L14.L

所以_]＜芹＜1,即〃x)在區(qū)間(T,巖)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(巖,1)上單調(diào)遞減,

\-k\-k\-k

綜二可知，/(x)在區(qū)間上不嚴(yán)格單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A不正確；

當(dāng)￡=T時(shí)，/(-X)=/(%),此時(shí)/㈤為偶函數(shù),

且f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,故選項(xiàng)C正確,

故選：BCD.

【變式3-4](多選題)函數(shù)/(')=號三(。也ceR)的圖象可能為()

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【解析】①當(dāng)〃工0涉=0時(shí)，/(-)=(_；?=_.=_/")，

當(dāng)a>0,c>0時(shí)，"X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xw(0,+8)時(shí)，/(.r)>0,“幻"二7,

x+-

X

函數(shù)J，=x+?在(0,6)上遞減，在(而+CO)上遞增，

因此/(X)在(0,6)上遞增，在(&+00)上遞減，A可能；

當(dāng)a<0,c<0時(shí)，“X)是定義在{xeR|x/土右}上的奇函數(shù)，

當(dāng)xe(0,C)時(shí)，/(x)>0,/°)二一二，函數(shù)y=x-二在(0,右)上遞增，

x-----x

X

則/(X)在(0,G)上遞增，當(dāng)xw(G,+oo)時(shí)，/(-v)<0,同理f(x)在(G,+8)上遞增，B可能；

②當(dāng)”0力=0,c<0時(shí)，/(X)的定義域?yàn)?X工±7^},f(-x)=~-=^—=f(x},/(X)為偶函數(shù),

若6〉0時(shí)，當(dāng)X€(—G,G)時(shí)，/(x)<0(注意/(0)<0),

當(dāng)1G(YO,-J^)U(/W+8)時(shí)，J\x)>0,則C不可能；

若b<0時(shí)，當(dāng)X€(—二,二)時(shí)，/")>0,當(dāng)xe(-oo,—Q)U(丘,內(nèi))時(shí)，/U)<0,則D可能.

故選：ABD

題型四：函數(shù)圖象應(yīng)用題

【典例4?1】如圖，長方形45co的邊48=2,BC=\,。是的中點(diǎn).點(diǎn)P沿著邊8C,CD與D4

運(yùn)動(dòng)，記=將動(dòng)點(diǎn)『到4"兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)/(x),則歹=/(刈的圖像大致為()

17/45

DPC

【解析】由題意可得/（楙）=&+0=2及，/停）=也2+12+1=石+1,

故GMa由此可排除。、D；

當(dāng)0<x<：時(shí)點(diǎn)尸在邊4c上，，〃一tanX,PA=\IAB-+PB'=、/4十ian?x，

2

所以/（x）=tanx+x/4+tanx,可知x40,；）時(shí)圖像不是線段，可排除A,故選B.

故選：B.

【典例4-2】（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)?在邊長為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，M是CO的中點(diǎn),

當(dāng)點(diǎn)。沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與的面積〉的函數(shù)y=/（x）的圖象的形狀大致是

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A.

【答案】A

【解析】當(dāng)點(diǎn)尸在48上時(shí)，y=^APxBC=^,

當(dāng)點(diǎn)P在8c匕時(shí)，y=ABxBC--xABxBP--ADxDM--MCxCP

222

2、,2222、74

當(dāng)點(diǎn)P在CA/上時(shí)，y=^xADxPMI

-x

2

其中A選項(xiàng)符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.

故選：A.

【方法技巧］

（I）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

（2）從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;

（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性：

（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

【變式4?1】（2024?安徽?模擬預(yù)測）如圖，直線/在初始位置與等邊ABC的底邊重合，之后/開始在

平面上按逆時(shí)針方向繞點(diǎn)A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過60。），它掃過的三角形內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間

，的函數(shù).這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（）

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【答案】C

【解析】如圖所示，取8C的中點(diǎn)E，連接力E,因?yàn)闉榈冗吶切危傻?￡4笈=30°,

設(shè)等邊』8C的邊長為2,n.ZDAB=a,其中0”aK60“，

可得同=ME|Mn(3(T-。)卜V3|tan(3O=-?)|,

又由』BC的面積為S48c=百，可得5”￡=立，

且5"砒=—x>/3xVJ|tan(30:-a)|=—|tan(30-a)|,

22

則△48。的面積為S=S-S=—--tan(30-a)=-y-f-3an(a-30。)，

4?4MbB匕EAA4UDLE22、7

令S(x)=y-+|tan(x-30)，其中0<x<6(T，

3

可得￡("=5乂8/。_30,)>0,所以S(x)為單調(diào)遞增函數(shù),

又由余弦函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)x=3(r時(shí)，函數(shù)s(x)取得最小值，

所以陰影部分的面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快,

結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)C符合題意.

故選：C.

【變式4-2](2024?山東?二模)如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P在邊長為1的正方形力8。。的邊上沿

4TBTCTD運(yùn)動(dòng),X表示動(dòng)點(diǎn)0由4點(diǎn)出發(fā)所經(jīng)過的路程，y表示△/PQ的面積，則函數(shù)歹二/(x)

20/45

的大致圖像是().

DC

【解析】當(dāng)xw[O川時(shí)，^=|,是一條過原點(diǎn)的線段;

當(dāng)x?l,2]時(shí)，y=是一段平行于％軸的線段；

當(dāng)xe[2,3]時(shí)，J=F，圖象為一條線段.

故選：A.

題型五：函數(shù)圖象的變換

【典例5-1】(2024?北京西城二模)將函數(shù)/(x)=tanx的圖象向右平移1個(gè)單位長度，所得圖象再關(guān)

于了軸對稱，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g")=()

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan(x-l)D.-tan(.v+l)

【答案】D

【解析】將函數(shù)/*)=tanx的圖象向右平移1個(gè)單位長度，所得函數(shù)為/a-l)=tan(x-l),

則函數(shù)/'(x-l)=tan(x—l)的圖象再關(guān)于V軸對稱得函數(shù)g(x)=/(—x-l)=tan(T-l)=—tan(x+l).

故選：D.

【典例5-2](2024?遼寧?三模)已知對數(shù)函數(shù)/(x)=log〃x,函數(shù)/(幻的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，

橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向上平移2個(gè)單位長度，所得圖象恰好

與函數(shù)./V)的圖象重合，則〃的值是()

21/45

A.—B.C.D.6

233

【答案】D

【解析】因?yàn)閷⒑瘮?shù)/⑶的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍，得到函數(shù)g（x）的圖象,

所以g(x)=1og“y，即g(x)=logrtx-logrt3,

將g（x）的圖象向上平移2個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式，=log,x-log,3+2,

因?yàn)樗脠D象恰好與函數(shù)/。）的多象重合,

所以-Ioga3+2=0,

所以/=3,乂。＞0且a4,

解得＜7=6?

故選：D

【方法技巧】

熟悉函數(shù)二種變換：3）平移變換：（2）對稱變換；（3）伸縮變換.

【變式5-1］（2024?江西贛州二模）已知函數(shù)/（X）的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)圖象

rl-4x

C.J=/(1-2A)D.y=f丁

【答案】C

【解析】

22/45

③KT2X

->y=/(l-2x)

①關(guān)于y軸對稱②向右平移1個(gè)單位③縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

故選：C.

【變式5-2](2024?四川南充二模)已知函數(shù)/*)=。、一尸，則函數(shù)y=/(x-l)+l的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)。,1)對稱B.關(guān)于點(diǎn)(-覃)對稱C.關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱D,關(guān)于點(diǎn)

(1,0)對稱

【答案】A

【解析】因?yàn)?*)=寸-心，所以〃T)=eT—e』/(x),即/(力的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,

函數(shù))，=/(工-1)+1的圖象可由〃X)的圖象，先向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到,

所以函數(shù)y=/'(》-1)+1的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱.

故選：A.

【答案】C

23/45

【解析】由圖知，將/（"的圖象關(guān)于y軸對稱后再向卜平移1個(gè)單位即得圖2,

又將/（X）的圖象關(guān)于y軸對稱后可得函數(shù)y=/（r）,

再向下平移1個(gè)單位，可得y=/（-x）-i

所以解析式為y=/（r）-l,

故選：C.

題型六：利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)、最值

【典例6?1】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)=若〃[<〃，=則〃-”的

最小值為（）

53

A.1B.-C.-D.2

42

【答案】D

【解析】畫出/（x）的圖象如下圖所示，

令/（，〃）=/（〃）=，，則0<Y3,

且一3<"?W0<〃，則24=f,〃?+3=z,

所以〃=L且〃?=/—3,

4

所以…?=二竺之口￡!!（0?3），

44v7

當(dāng)1=2時(shí)，〃-，〃取得最小值為2.

故選：D.

【典例6-2】用min{〃,/“}表示°,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，則函數(shù)=mirrx+l,-；x+4,-x+6,

的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

24/45

【解析】在一個(gè)坐標(biāo)系中畫出y=x+l,y=-gx+4,y=-x+6的圖像，從左到右，取橫坐標(biāo)對應(yīng)的縱坐標(biāo)小

y=x+1

聯(lián)立|1j解得/(2,3),

I"2

函數(shù)/8)=min,x+l,-1x+4,-x+6,的最大值為3

故選：C.

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先作出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對函數(shù)的要求，從圖像上尋找取

得最值的位置，計(jì)算出答案，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

【變式6-1】已知MR,設(shè)函數(shù)/(力=|1%*+2工+對在區(qū)間上"+1]("0)上的最大值為K?.若

{〃%(b"2}=R,則正實(shí)數(shù)，的最大值為.

【答案】|

【解析】畫出/])=|log2X+2x+b|的圖象如下:

故K(6)=max{/(f),/(f+l)},

由圖象可知，當(dāng)/(/)=/“+1)時(shí)，取得最小值，最小值為/(，),

25/45

此時(shí)f,-(log2/+2r+Z))=log2(/+i)+2(r+l)+Z),

則6=-glog2M，+l)-2^-l①，

故只需要一(log2，+2t+b”2②，

(iA

將①代入②得-log2f+2/-不1。瓦珀+1)-2-1>2,

I2/

化簡得一二《!，解得

r+l43

故正實(shí)數(shù)，的最大值為;.

故答案為：!

【變式6-2】對a,/?GR,記max{q,b}=/則函數(shù)/(x)=max[卜+1],/-2%+?的最小值

[b,[a<b)14

為_____.

【答案】1.5

2

al0

【解析】函數(shù)/(x)=max小+l|,/-2x+才是函數(shù)y=|x+11與函數(shù)y=/-2》+彳同一個(gè)x取得的兩個(gè)函

數(shù)值的較大的值，

故當(dāng)舊時(shí)，人)的最小值為小

3

故答案為:--

26/45

題型七：利用函數(shù)的圖像解不等式

|log2x|,xe(0,4)

【典例7?1】已知函數(shù)/(x)=43「，、，則滿足lW/(x)&3的x的取值范圍為()

--,xe4,+o))

lx-3

A.[0,2]u[4,6]B.u[4,6]

C32,4]D.I，ID[2,6]

0ZJ[_oN_

【答案】D

【解析】令f(x)=l,則|10g2、|=l卜?0,4))或2=1卜?4,+動(dòng)),

x—3

解得W或32或戶6.

令"X)=3,則|噬24=3(%W(0,4))或工=3(Xe[4,+00)),

%—3

解得X=：或x=4.

8

面出函數(shù)/（X）圖象的草圖（如圖），得滿足iw/（x）交的X的取值范圍為另u[2,6].

X2

【典例7?2】（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（"二'則

/（x）＞|log2x|的解集是（）

B.(1,2)

D.(；/)U(1,2)

【答案】C

27/45

3)31

【解析】根據(jù)題意當(dāng)-,3W,/(x)=2-(.r-^+-)=3-x,

)22

當(dāng)xe3,j^W,/(x)=2-[2-/(x-3)]=/(x-3)=x-1,

、的圖象如圖,

【方法技巧】

利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍.先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點(diǎn)，根據(jù)

題意結(jié)合圖像寫出答案.

【變式7?1】已知函數(shù)/(力=：z則不等式/(/(功<”3+1的解集是()

3x+l,x<0

A.J［。］B.U,11

C.(0⑵D.信,噫2)

【答案】D

【解析】令，=/(x),則八/(幻)<4/(x)+1即為/(/)<4/+1,

當(dāng)/<0時(shí)，/(/)=3/+1>4/+1,故/⑺<4+1無解，

當(dāng)/30時(shí)，f(t)=3;,/(0