甘肅省蘭州市2025年中考數(shù)學(xué)真題

一'選擇題（本大題共11小題，每小題3分，共33分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的）

1.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-2B.0C.1D.2

2.計(jì)算：百Xy/2=（）

A.6B.C.^5D.1

3.如圖是集熱板示意圖，集熱板與太陽(yáng)光線垂直時(shí)，光能利用率最高.春分日蘭州正午太陽(yáng)光線與水

平面的夾角0為54。.若光能利用率最高，則集熱板與水平面夾角a度數(shù)是（）

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC與△ABC位似，位似中心是原點(diǎn)O.已知BC：B'C-

1：2,則B（2,0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，的坐標(biāo)是（）

A.（3,0）B.（4,0）C.（6,0）D.（8,0）

5.圖1是通過(guò)平面圖形的鑲嵌所呈現(xiàn)的圖案，圖2是其局部放大示意圖，由正六邊形、正方形和正三

角形構(gòu)成，它的輪廓為正十二邊形，則圖2中NABC的大小是（）

■

■

圖1圖2

A.90°B.120°C.135°D.150°

6.若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的值可以是（）

A.3B.2C.1D.0

7.若點(diǎn)A（2,yi）與B（-2,y2）在反比例函數(shù)y2的圖象上，則yi與y2的大小關(guān)系是（）

X

A.yi<y2B.yi<V2C.yi>y2D.yi>y2

8.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)不透明盒子，其中甲盒裝有分別寫(xiě)著d,t,1的三張聲母卡片，乙盒裝有分別寫(xiě)著

a,e,i的三張韻母卡片（卡片除漢語(yǔ)拼音字母外，其余完全相同）.若小明分別從甲、乙盒中隨機(jī)各抽

取一張卡片，則兩張卡片剛好拼成“德”字讀音的概率是（）

A.12

B.-D.-

96仁53

9.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)著作之一.“方程章”第11題大意是：兩匹馬一頭?？們r(jià)

超過(guò)1萬(wàn)，超過(guò)部分等于半匹馬的價(jià)格；一匹馬兩頭牛的總價(jià)不足1萬(wàn)，不足部分等于半頭牛的價(jià)格,

問(wèn)一匹馬、一頭牛的價(jià)格分別是多少？若設(shè)一匹馬價(jià)格為x,一頭牛價(jià)格為y,則可列方程組為（）

2x+y-1000010000-(2x4-y)=-

A.B.

10000-(x-i-2y)=-yx+2y-IOOOO=-y

1C1

x-i-2y-10000=-X2x+y=-x

2

C.D.

1c1

10000-(2x+y)=2yx+2y=-y

10.如圖，四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在邊AB,BC±,連接

EF交對(duì)角線BD于點(diǎn)P.若P為EF的中點(diǎn),NADB=35。，貝(JNDPE=()

A.95°B.100°C.110°D.145°

11.如圖，在正方形ABCD中，AB=2cm,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿

O-ATB方向以及cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C-D方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q

到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，P,Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）,ACPQ的面積為y（cn?）,則點(diǎn)P分別在

OA,AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系分別是（）

B.一次函數(shù)，二次函數(shù)

C.均為二次函數(shù)D.二次函數(shù)，一次函數(shù)

二、填空題（本大題共4小題。每小題3分，共12分）

12.因式分解：2x?+4x+2=o

13.射箭運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中，新手成績(jī)通常不太穩(wěn)定.甲和乙同時(shí)進(jìn)行12次射箭練習(xí)后，成績(jī)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如

表，請(qǐng)根據(jù)表中信息估計(jì)新手是.（填寫(xiě)“甲”或“乙”）

甲乙

平均成績(jī)K（單

6.587.67

位：環(huán)）

方差S26.910.72

14.如圖，在菱形ABCD中，AE±BC,垂足為E,交BD于點(diǎn)EBE=CE.若AB=4石，則AF

1

15.如圖，黃金矩形ABCD中以寬AB為邊在其內(nèi)部作正方形ABFE,得到四邊形

AD2

CDEF是黃金矩形.依此作法，四邊形DEGH,四邊形KEGL也是黃金矩形.依次以點(diǎn)E,G,L為圓心

作前山,市，曲線AFHK叫做“黃金螺線”.若AD=2,則“黃金螺線”AFHK的長(zhǎng)

為.（結(jié)果用兀表示）

三'解答題（本大題共11小題，共75分.解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟）

16.計(jì)算:(a+2)(a-2)+a(3-a).

32

17.解方程：'；

X+1X

3x-3<x+7

18.解不等式組：?，、-5.

x-4>------

2

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y〔x+b與反比例函數(shù)yk（x>0）的圖象相交于點(diǎn)A

2x

（m,3）,與x軸相交于點(diǎn)B（8,0）,與y軸相交于點(diǎn)C.

yt

（1）求一次函數(shù)y=-x+b與反比例函數(shù)y=上的表達(dá)式；

2x

（2）點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接AP.若AACP的面積為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

20.天文學(xué)家運(yùn)用三角函數(shù)解決了曾困擾古人數(shù)百年的難題.某天文研究小組探究用三角函數(shù)知識(shí)計(jì)算

月球與地球之間距離的方法，通過(guò)查閱資料、實(shí)際觀測(cè)、獲得數(shù)據(jù)和計(jì)算數(shù)據(jù)，得出月球與地球之間的

近似距離.具體研究方法與過(guò)程如表:

問(wèn)題月球與地球之間的距離約為多少？

工具天文望遠(yuǎn)鏡、天文經(jīng)緯儀等

月球、地球的實(shí)物圖與平面示意圖

BP

-O

月球

A地球

為了便于觀測(cè)月球，在地球上先確定兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A,B,以線段AB作為基準(zhǔn)

線，再借助天文經(jīng)緯儀從A,B兩點(diǎn)同時(shí)觀測(cè)月球P（將月球抽象為一個(gè)點(diǎn)）,

說(shuō)明

并測(cè)得/ABP和/BAP的度數(shù)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題畫(huà)出平面示意圖（如圖），過(guò)點(diǎn)P

作PHJ_AB于點(diǎn)H,連接AP,BP.

數(shù)據(jù)ABM.8萬(wàn)千米，ZABP=89°25'37.43",ZBAP=89°22'38.09,.

根據(jù)以上信息，求月球與地球之間的近似距離PH.（結(jié)果精確到1萬(wàn)千米）

(參考數(shù)據(jù)：tan89°25'37.43"?l00.00,10089°22'38.09"~92.00,sin89°25,37.43"~040.99995,

sin89°22,38.09"-0.99994,cos89°25'37.431?0.00999，cos89°22'38.091~0.01087)

21.綜合與實(shí)踐在學(xué)校項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，某研究小組開(kāi)展主題為“生長(zhǎng)素濃度對(duì)植物種子發(fā)芽率的影響”的

研究.請(qǐng)你閱讀以下材料，解決“數(shù)學(xué)建?！敝械膯?wèn)題.

【研究背景】已知一定濃度的生長(zhǎng)素既能促進(jìn)種子發(fā)芽，也會(huì)因濃度過(guò)高抑制種子發(fā)芽.探索生長(zhǎng)素

使用的適宜濃度等最優(yōu)化問(wèn)題，可以借助數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決.

【數(shù)據(jù)收集】研究小組選擇某類植物種子和生長(zhǎng)素，以生長(zhǎng)素濃度X（標(biāo)準(zhǔn)單位）為自變量，種子的

發(fā)芽率y（%）為因變量，進(jìn)行“生長(zhǎng)素濃度對(duì)植物種子發(fā)芽率的影響”的實(shí)驗(yàn)，獲得相關(guān)數(shù)據(jù)：

生長(zhǎng)素濃度X

00.611.722.52.733.344.2

（標(biāo)準(zhǔn)單位）

發(fā)芽率y

35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12

（%）

【數(shù)據(jù)分析】如圖，小組成員以表中各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系描出相應(yīng)的點(diǎn).

說(shuō)明：①當(dāng)生長(zhǎng)素濃度X=0時(shí)，種子的發(fā)芽率為自然發(fā)芽率；

②當(dāng)發(fā)芽率大于等于零且小于自然發(fā)芽率時(shí)，該生長(zhǎng)素抑制種子發(fā)芽；

③當(dāng)生長(zhǎng)素抑制種子發(fā)芽，使得發(fā)芽率減小到0時(shí)，停止實(shí)驗(yàn).

【數(shù)學(xué)建?！空?qǐng)你結(jié)合所學(xué)知識(shí)解決下列問(wèn)題：

（1）觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，判斷y關(guān)于x的函數(shù)類型，并求出該函數(shù)的表達(dá)式；

（2）請(qǐng)計(jì)算抑制種子發(fā)芽時(shí)的生長(zhǎng)素濃度范圍.

22.“三等分角”是兩千多年來(lái)數(shù)學(xué)史上最著名的古典四大問(wèn)題之一，阿基米德等數(shù)學(xué)家通過(guò)巧妙的幾何

作圖得到了解決“三等分角響題的特例方法.某數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)折紙與尺規(guī)作圖相結(jié)合的方法探究“三

等分銳角”問(wèn)題的解法，解決過(guò)程如下：

操作步驟與演示圖形

如圖①，已知一個(gè)由正方形紙片的邊PK與經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)P的直線h構(gòu)成的銳角a.按照以下步驟進(jìn)行

操作：

任意折出折痕使點(diǎn)將紙片展將紙片折疊

保持紙片折

一條水平Q,P分別落開(kāi)，再沿14使邊PK與

疊，再沿

折痕12,12在11和13折疊得到14重合，折

MN折疊，

與紙片左—>上，得到折—>—>經(jīng)過(guò)點(diǎn)P—>痕為15,則

得到折痕14

邊交點(diǎn)為痕m,對(duì)應(yīng)的完整折直線14和15

的一部分，

Q；再折疊點(diǎn)為Q'，痕14,如圖就是銳角a

如圖⑤.

將PK與12P\m交L⑥.的三等分

重合得到于M,如圖線，如圖

折痕13,13③④.⑦⑧.

與紙片左

邊交點(diǎn)為

N,如圖

②.

⑴請(qǐng)依據(jù)操作步驟與演示圖形，通過(guò)尺規(guī)作圖完成以下兩個(gè)作圖任務(wù)：（保留作

圖痕跡，不寫(xiě)作法）

解決問(wèn)題任務(wù)一：在圖③中，利用已給定的點(diǎn)Q作出點(diǎn)P；

任務(wù)二：在圖⑥中作出折痕13.

⑵若銳角a為75。，則圖⑤中L與14相交所成的銳角是一°.

23.豌豆莢里有幾粒豆子不確定，那么豆子粒數(shù)是否有規(guī)律？同學(xué)們對(duì)這個(gè)問(wèn)題很感興趣.為此，調(diào)查

小組從一批豌豆莢中隨機(jī)抽取了若干個(gè)豌豆莢，進(jìn)行豆子粒數(shù)的統(tǒng)計(jì)，以下是本次調(diào)查的過(guò)程.

【收集數(shù)據(jù)】打開(kāi)每個(gè)豌豆莢，數(shù)清其中的豆子（直徑大于3毫米）粒數(shù)，記錄數(shù)據(jù).

【整理數(shù)據(jù)】將收集的豆子粒數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)整理，用x表示每個(gè)豌豆莢中的豆子粒數(shù)，將數(shù)據(jù)分為5

類：其中A類(0<x<2),B類(2Wx<4),C類(4<x<6),D類(6<x<8),E類(8Wx<10).

【描述數(shù)據(jù)】根據(jù)整理的數(shù)據(jù)，繪制出如下統(tǒng)計(jì)圖.

豆子粒數(shù)出現(xiàn)次數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖

【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)本次調(diào)查活動(dòng)中隨機(jī)抽取了個(gè)豌豆莢，圖中a=,b=；

(2)所調(diào)查豆子粒數(shù)的中位數(shù)落在類中；(只填寫(xiě)字母)

(3)如果甲同學(xué)調(diào)查了20個(gè)豌豆莢，其中B類有7個(gè)，乙同學(xué)調(diào)查了10個(gè)豌豆莢，其中D類有3

個(gè).能否得到B類豌豆莢一定比D類豌豆莢多的規(guī)律？請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.如圖，。。是△ABC的外接圓，AB是。。的直徑，過(guò)點(diǎn)B的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接DO

并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)E,連接AE,CE.

(1)求證：ZADB=ZAEC；

(2)若AB=4,cosZAEC=—,求OD的長(zhǎng).

3

25.【提出問(wèn)題】數(shù)學(xué)討論課上，小明繪制圖1所示的圖形，正方形ABCD與正方形BEFG(AB>BE),

點(diǎn)E,G分別在AB,BC±.根據(jù)圖形提出問(wèn)題：如圖2,正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

aCH之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)【解決問(wèn)題】小明將上述問(wèn)題特殊化，如圖3,當(dāng)點(diǎn)G,H重合時(shí)，請(qǐng)你寫(xiě)出AH,BH,CH之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)小明借鑒(1)中特殊化的解題策略后，再解決圖2所示的一般化問(wèn)題，當(dāng)點(diǎn)G,H不重合時(shí)，

請(qǐng)你寫(xiě)出AH,BH,CH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)【拓展問(wèn)題】小明將圖2所示問(wèn)題中的旋轉(zhuǎn)角a的范圍再擴(kuò)大，正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(180°<a<360°),直線AE與CG相交于點(diǎn)H,連接BH,請(qǐng)直接寫(xiě)出AH,BH,CH之

間的數(shù)量關(guān)系.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于圖W上或內(nèi)部有一點(diǎn)N(不與原點(diǎn)。重合)，及平面內(nèi)一點(diǎn)P,給

是圖Wi的“映射點(diǎn)”；

(2)如圖2,已知圖W2：正方形ABCD,A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,

1).若直線1：y=x+b上存在點(diǎn)P是圖W2的“映射點(diǎn)”，求b的最大值；

(3)如圖3,已知圖W3：?T,圓心為T(mén)(0,t),半徑為1.若x軸上存在點(diǎn)P是圖W3的“映射

點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍.

答案

L【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】D

12.【答案】2(x+1)2

13?【答案】甲

14.【答案】4

15.【答案】(75-l)n

16.【答案】解：原式=a2-4+3a-a2

=3a-4

17.【答案】解：原方程去分母得：3x=2x+2,

解得：x=2,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，x(x+1)刈，

故原方程的解為x=2.

18.【答案】解：解第一個(gè)不等式得：x<5,

解第二個(gè)不等式得：x>3,

故原不等式組的解集為3<x<5.

19.【答案】(1)解：VB(8,0)在一次函數(shù)y」x+b圖像上,

1?X.b=0,解得b=4,

2

???一次函數(shù)解析式為y=-]X+4,

將點(diǎn)A(m,3)坐標(biāo)代入解析式得：3?xm+4,

9

解得m=2,

AA(2,3),

.??k=2x3=6,

反比例函數(shù)解析式為y=&；

x

(2)解：由一次函數(shù)解析式可知C(0,4),B(8,0),A(2,3),設(shè)點(diǎn)P(0,x),

解得x=-2,

：.P(0,-2).

20.【答案】解：設(shè)「11=*萬(wàn)千米，

?在RtAPHB中，ZPHB=90°,ZABP=89°25'37.43",

PHx_x

tan/ABPtan89°25'37.43"10()

?在R3PHA中，ZPHA=90°,ZBAP=89°22'38.09,,

PHxx

.?AH=,

tanZBAPian89°22'38.09"92

VAH+BH=AB~0.8(萬(wàn)千米)，

10092

解得x-38,

即PHM8(萬(wàn)千米)，

答：月球與地球之間的近似距離PH約為38萬(wàn)千米.

21?【答案】(1)解：觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，y關(guān)于x的函數(shù)是二次函數(shù),

設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,

將(0,35),(1,56),(2,63)代入得，

c=35

a+b+c=56,

4a+2b+c=63

a=-7

解得，b=28,

c=35

...該二次函數(shù)的解析式為y=-7x2+28x+35；

(2)解：當(dāng)x=0時(shí),y=35,

..?種子自然發(fā)芽率為35%,

.,.當(dāng)y=35時(shí)，-7x2+28x+35=35,

解得xi=O,X2=4,

當(dāng)y=0時(shí)，-7x2+28x+35=0,

解得xi=-l(舍去)，X2=5,

...抑制種子發(fā)芽時(shí)的生長(zhǎng)素濃度范圍為4<x3

22.【答案】解：⑴任務(wù)一：如圖，點(diǎn)P為所求.

③

任務(wù)二:如圖，折痕15為所求.

⑥

(2)50.

23.【答案】(1)100；40；35

(2)C

(3)解：不能得到B類豌豆莢一定比D類豌豆莢多的規(guī)律，

由于甲、乙抽取的數(shù)量不多，不足以判斷B類豌豆莢一定比D類豌豆莢多的規(guī)律.

24.【答案】(1)證明：YBD為。。的切線，

AABXBD,

AZABD=90°,

TAB是。O的直徑，

???NACB=90。，

VZADB+ZBA