空間向量與立體幾何

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知。為空間任意一點(diǎn)，若麗=：隹+：而+;玩，則A,B,C,尸四點(diǎn)()

488

A.一定不共面B.一定共面

C.不一定共面D.無法判斷

2.向量。=(2,4,5),向量力=(1,2,0，若。_14則實(shí)數(shù)￡=()

A.-B.1

2

C.-2D.—-

5

3.已知向量。=(2,3,4),b={1,2,0),則|“+例=()

A.2V3B.3V2

C.5V2D.714

4.已知i,j,k是空間直角坐標(biāo)系O-孫z中無軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且就

=3k,AB=-i+j-k,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為()

A.(1,-1,1)1,1)

C.(1,-1,2)D.(-1,1,2)

5.在長(zhǎng)方體ABCD-A出iGA中，可以作為空間向量一個(gè)基底的是()

A.AB,AC,ADB.AB,AA^,AB7

C.DiA；,DiCi,DJDD.AQ,A^C,CQ

6.若平面a,￡的法向量分別為〃i=(2,—3,5),“2=(—3,1,—4),則()

A.a//BB.a工B

C.ct,。相交但不垂直D.以上均不正確

7.四棱錐P-ABC。中，底面A2CD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱尸C的中點(diǎn)，若品=嬴+

2yBC+3zAP,則x+y+z=()

人

/:\\E

C

A'B

A」B.苦

C-TD.2

8.如圖,在直三棱柱ABC-4BiCi中,。為棱AiBi的中點(diǎn),AC=2,CCi=BC=1,AC±BC,

則異面直線CD與BQ所成角的余弦值為（）

C/D.9

43

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.已知01，力分別為直線的/i，L方向向量01，，2不重合），?1，〃2分別為平面￡的

法向量（a,4不重合），則下列說法中，正確的是（）

A.Vl〃V2=/lJ-/2B.01J_02=/l-L/2

C."i〃/i20a_L￡D.MiXnoOffXJ0

10.已知空間中三點(diǎn)A（0，1，0）,BQ,2,0）,C（-l,3,1）,則不正確的有（）

A.通與就是共線向量B.麗的單位向量是（1,1,0）

C.靠與玩夾角的余弦值是等D.平面ABC的一個(gè)法向量是（1,-2,5）

11.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBiCQi中，。為底面ABCD的中心，貝）

A.ACi±BiC

B.直線CDi與BD所成的角為60。

C.三棱錐0-BiCA的體積為］

D.直線AG與平面所成角的正弦值為?

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.已知平面a的一個(gè)法向量為〃=（1,1,1）,原點(diǎn)0（0,0,0）在平面a內(nèi)，則點(diǎn)尸（4,

5,3）到a的距離為.

13.在正方體ABCD-4B1C1A中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，已知屈=a,1B=b,磯=c,

用a,b,c表示而，則由=.

14.17世紀(jì)，笛卡爾在《幾何學(xué)》中，通過建立坐標(biāo)系，引入點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，將代

數(shù)對(duì)象與幾何對(duì)象建立關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化，打開了數(shù)學(xué)發(fā)展的新

局面，創(chuàng)立了新分支一一解析幾何.我們知道，方程x=l在一維空間中，表示一個(gè)點(diǎn)；在

二維空間中，它表示一條直線，那么在三維空間中，它表示,過點(diǎn)尸(1,-1,2)

且法向量為。=(1，2,3)的平面的方程是.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟)

15.(13分)已知E,F,G,”分別是空間四邊形4BCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).

(1)用向量法證明E,F,G,X四點(diǎn)共面；

(2)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O,有6而=工(嬴+0B+0C+0D).

4

0C

16.（15分）如圖，直三棱柱ABC-A15C1底面△A2C中，CA=CB=1,ZBCA=90°,

棱A4i=2,M是481中點(diǎn).

A

(1)求cos〈西，函〉的值;

(2)求證：AiB±CiM.

17.(15分)已知邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中,E,P分別為BC和AC的中點(diǎn)，PA=2,

且陰，平面4BC,設(shè)。是CE的中點(diǎn).

(1)求證：AE〃平面PFQ；

(2)求AE到平面PFQ的距離.

18.(17分)如圖，在四棱錐P-A2C。中，底面ABCD是矩形，M是以中點(diǎn)，尸。,平

ffiABCD,PD=CD=4,AD=2.

(1)求直線AP與平面CMB所成的角的正弦值;

(2)求二面角M-CB-P的余弦值.

19.(17分)如圖，已知三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱與底面垂直,441=48=/^=1,/1814。

M和N分別是CG和BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1S上，且

(1)證明：無論4取何值，總有AMLPN；

(2)是否存在點(diǎn)尸，使得平面PMN與平面ABC所成的角為30。？若存在，試確定點(diǎn)P的

位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

章末過關(guān)檢測(cè)(二)空間向量與立體幾何

1.解析：由空間向量共面定理的推論若麗=aUX+b加+c衣，滿足a+b+c=l,則A,

B,C,P四點(diǎn)共面，

VOP=-OA+-OB+-OC,而三+工+三=1,故A,B,C,P四點(diǎn)共面.

488488

故選B.

答案：B

2.解析：因?yàn)橄蛄俊?(2,4,5),向量Z>=(1,2,t),若。_1/>,

貝ija0=2Xl+4X2+5f=0,解得：t=-2,

故選C.

答案：c

3.解析：由。=(2,3,4),5=(1,2,0),得a+Z>=(3,5,4),因此|"+例=132+52+42

=5A/2.

故選C.

答案：C

4.解析:由題設(shè)知：OA=(0,0,3),AB=(-1,1,-1),

?'.AB=OB-OA,若B(x,y,z),貝U(—1,1,—l)=(x,y,z—3),易得尤=-1,y=l,

z=2,

AB(-1,1,2).故選D.

答案：D

5.解析：如圖所示：

A.因?yàn)锳B,AC,AD共面，故錯(cuò)誤；

B.因?yàn)楫T=通+初，所以AB,可，畫共面，故錯(cuò)誤；

C.因?yàn)橥邍?guó),醞\瓦亍不共面，故正確；

D.因?yàn)楹?，中，同共面，故錯(cuò)誤.

故選C.

答案：C

6.解析：顯然“1,改不平行，而“「”2=-6—3—20=-29,

故“1,”2不垂直，所以法向量既不平行也不垂直，

所以a,￡相交但不垂直，

故選C.

答案：C

7.解析：因?yàn)榭?靠+前+而=屈+前+麗=靠+前+（品一品），

所以2品=靠+前+而，所以品=3通+之前+：而，所以尤=：,2y=1,3z=|,

解得x=2,y=i,z=i,所以x+y+z="[+戶苫，

故選B.

答案：B

8.解析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以正，CB,eg的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知可得C(0,0,0),C1(O,0,1),D(l,i,1),8(0,1,0),則Ci8=(0,1,-1),

CD=(hI，1)，

所以cos(QB,CD)==五)=一必

1月B||CD|氏甘6

又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為(0,=],所以異面直線CD與BC1所成角的余弦值為

V2

6,

故選A.

答案：A

9.解析：；仍，。2分別為直線A,/2的方向向量，2不重合)，

01〃。2=，1〃，2,故A錯(cuò)誤；

vi±v2^li±h,故B正確；

".'Bi,加分別為平面a,￡的法向量(a,夕不重合)，

m//a//P,故C錯(cuò)誤；

〃i_L"2=a_L￡,故D正確；

故選BD.

答案：BD

10.解析：對(duì)于A,由題意，AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),則靠W兒前，AeR,

所以品與前不共線，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,向量(1,1,0)的模等于/W1,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,前=(—3,1,1),

的錠

所以cos(AB,BC)V55

|AB|-|BC|11

所以C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量是〃=(%,y,z),

嚼；二。即口呼可

取x=1,得y=—2,z=5,

則平面ABC的一個(gè)法向量是(1,-2,5),所以D正確.

故選ABC.

答案：ABC

11.解析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

4(1,0,0),C1(O,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),

扃?瓦1=(-1,1,1)-(-1,0,-1)=1-1=0,所以AGLSC,A選項(xiàng)正確;

01(0,0,1),D(0,0,0),B(l,1,0),

西=(0,-1,1),BD=(-1,-1,0),

COS〈CD；,BD)_CD1_BD___1__1

1ICDJ-BDV2-V22

所以直線Cd與2。所成的角為60。，B選項(xiàng)正確;

平面AAQQ的法向量為〃=(0,1,0),

cos<n,蔚〉^『為=”，所以直線AC1與平面MDQ所成角的正弦值為金

InHACil1-V333

所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，AC±BD,AC±BBi,由于BDCBBi=B,

所以AUL平面BDDM

=

所I^,V0_B1CD1=VC_OB1D1|XSAOBIDIXOC

=|x(|xV2Xl)X^=i所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

32zo

故選AB.

答案：AB

12.解析：點(diǎn)P到平面a的距離為粵=匕浮=4V1

|n|V3

答案：4A/3

13.解析：VCM=CB+BA+AM=-BC-AB+AM,又是AAi的中點(diǎn)，

>1----->---->--->--->1----->

AAM=-AAvACM=-BC-AB+-AAt,

—?—?>—?]

"."AB=a,AD=b,AA1=c,.'.CM=-a—b+-c.

答案：一a一

14.解析：依題意可得x=l在三維空間中，它表示一個(gè)平面，在這個(gè)平面上所有點(diǎn)的

橫坐標(biāo)都為1,過點(diǎn)尸(1,-1,2)且法向量為。=(1,2,3)的平面的方程為l(x—l)+2(y+

l)+3(z-2)=0,整理得x+2y+3z—5=0.

答案：一個(gè)平面x+2y+3z—5=0

15.證明：⑴前=前一靠=久而+前)一杯麗=一之靠+之而+得前.

EH+EF=-BD+iAC=i(AD-AB)+iAC=-iAB+iAi5+iAC,

222、72222

所以前=由+舐，所以E,F,G,X四點(diǎn)共面.

1>>-----?------?*1?>1>>1>------>

(2)-(0A+OB+0C+OD)=-(2OE+2OG)=-(0E+0G)=-X2X0M=0M.

16.

解析：（1）以。為原點(diǎn)，CA,CB,CG所在直線分別為羽y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，

At(l,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),Bt(0,1,2),直=(1,一1,2),

函=(0,1,2),

/D人>\BAj/CBi_3_V30

???cos〈BA〕,CBi/=1——^=^=7==——.

11|BA1|.|CB1|V6-V510

(2)證明：Ai(l,0,2),B(0,1,0),Ci(0,0,2),M(|,2),

A$=(-l,1,-2),gM=g,p0),A/GM=0,???AiB_LCiM,

AAiBXCiM.

17.解析：(1)證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锳P=2,AB=BC=AC=49又E,尸分別是3C,AC的中點(diǎn)，所以A(0,0,0),

BQ?2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(V3,3,0),若,1,0),尸(0,0,2).

因?yàn)槎?(曰，I，0),AE=(V3,3,0),

所以品=2同，所以靠〃麗.又AE與尸。無交點(diǎn)，所以AE〃EQ.

又PQu平面PFQ,AE4平面PFQ,

所以AE〃平面PFQ.

(2)連接AQ.因?yàn)锳E〃平面PFQ,所以點(diǎn)A到平面PFQ的距離就是AE到平面PFQ的

距離.

設(shè)平面尸EQ的法向量為〃=(x,y,z),所以評(píng)，〃，而，即=0,n-FQ=0.

又評(píng)=(0,2,-2),所以"?評(píng)=2y—2z=0,即y=z.

又麗=(與，I，0),所以“.而=*+|y=0,即尤=—何.

令y=l,則x=一次，z=l,所以平面PPQ的一個(gè)法向量為”=(一百，1,1).

又皎=(—￥，—0),所以所求距離1=喀山=等.

22|n|5

18.解析：⑴是矩形，，AO_LCQ,又平面ABCD,，PO_LAO,POJ_CZ),

即尸。，AD,CD兩兩垂直，...以。為原點(diǎn)，DA,DC,￡(尸分別為x軸，y軸，z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，由PO=CD=4,AD=2,得A(2,0,0),BQ,4,0),C(0,4,0),0(0,0,

0),P(0,0,4),M(l,0,2),

則壽=(一2,0,4),BC=(-2,0,0),MB=(1,4,一2),

設(shè)平面CMB的一個(gè)法向量為"尸(…,21),貝嚅；二;,即h+琛上;=0

令％=得％???〃〉=

1,1=0,Z1=2,1=(0,1,2),sin3=cos(AP,m禽：\=2。7'57.5

4

故直線AP與平面CMB所成角的正弦值為:

(2)由⑴得玩=(0,4,-4),設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃2=(如＞2,Z2),

即［小，2n，令丁2=1,得X2=0,Z2=l,???改=(0,1,1),Acos(m,〃2〉=產(chǎn)：彳=