2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策應(yīng)用題解析試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.從總體中隨機(jī)抽取樣本，目的是為了（）。A.了解總體的所有信息B.推斷總體的某些特征C.驗(yàn)證理論的正確性D.檢驗(yàn)樣本的代表性2.已知一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0，則其均值一定（）。A.等于0B.等于1C.大于0D.可以是任意值3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類錯(cuò)誤是指（）。A.接受原假設(shè)，但原假設(shè)為假B.拒絕原假設(shè)，但原假設(shè)為真C.接受原假設(shè)，且原假設(shè)為真D.拒絕原假設(shè)，且原假設(shè)為假4.設(shè)總體服從正態(tài)分布，且方差已知，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，總體均值的點(diǎn)估計(jì)量服從（）分布。A.t分布B.F分布C.正態(tài)分布D.卡方分布5.以下哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量不受極端值的影響？（）A.均值B.中位數(shù)C.極差D.標(biāo)準(zhǔn)差6.若兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為-0.8，說明這兩個(gè)變量之間存在（）。A.強(qiáng)正相關(guān)關(guān)系B.弱正相關(guān)關(guān)系C.強(qiáng)負(fù)相關(guān)關(guān)系D.弱負(fù)相關(guān)關(guān)系7.在簡單線性回歸分析中，回歸平方和（SSR）表示（）。A.總離差平方和B.模型誤差引起的離差C.消除模型因素后剩余的離差D.模型解釋的離差8.進(jìn)行單因素方差分析時(shí)，如果拒絕原假設(shè)，意味著（）。A.所有樣本均值相等B.至少有兩個(gè)樣本均值不相等C.樣本方差較大D.總體方差較大9.某工廠生產(chǎn)兩種型號的零件，為了檢驗(yàn)兩種零件的重量是否有顯著差異，隨機(jī)抽取了每種型號的零件若干進(jìn)行稱重。這種研究屬于（）。A.單樣本問題B.雙樣本問題C.單因素方差分析問題D.相關(guān)性分析問題10.統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果的可靠性，很大程度上取決于（）。A.數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性B.分析方法的選擇C.分析者的主觀判斷D.軟件的先進(jìn)性二、填空題1.一組樣本數(shù)據(jù)：3,5,7,9,11，其均值是________，中位數(shù)是________，方差是________。2.若總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知，欲構(gòu)造總體均值μ的95%置信區(qū)間，應(yīng)使用________統(tǒng)計(jì)量。3.在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平α表示犯第一類錯(cuò)誤的概率，即當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率，其值通常取________或更小的值。4.設(shè)變量X和Y的協(xié)方差為20，X的標(biāo)準(zhǔn)差為5，Y的標(biāo)準(zhǔn)差為10，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=________。5.回歸分析的主要目的是研究變量之間的________關(guān)系，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。三、計(jì)算題1.某公司隨機(jī)抽取10名員工，記錄了他們的月收入（單位：千元）和每月在社交網(wǎng)絡(luò)上的花費(fèi)（單位：元）。數(shù)據(jù)如下：月收入：3,4,5,6,7,8,9,10,11,12花費(fèi)：800,950,1000,1200,1500,1300,1600,1700,1800,1900要求：(1)計(jì)算月收入與花費(fèi)的樣本相關(guān)系數(shù)，并判斷兩者是否存在線性相關(guān)關(guān)系。(2)若花費(fèi)與月收入之間存在線性相關(guān)關(guān)系，建立以月收入為自變量，花費(fèi)為因變量的簡單線性回歸方程。2.某醫(yī)生想比較兩種不同的治療方法（A法和B法）對降低血壓的效果。隨機(jī)選取12名高血壓患者，其中6人使用A法，6人使用B法，治療一段時(shí)間后測量其收縮壓變化（單位：mmHg），數(shù)據(jù)如下：A法：-10,-8,-12,-15,-9,-11B法：-5,-3,-4,-6,-2,-7假設(shè)兩種治療方法的收縮壓變化均服從正態(tài)分布，且方差相等。試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)兩種治療方法的效果是否存在顯著差異。3.某快餐店想要了解顧客等待取餐時(shí)間的分布情況。隨機(jī)觀察了100次顧客等待過程，記錄等待時(shí)間（單位：分鐘），整理得到如下（分組）數(shù)據(jù)：時(shí)間區(qū)間（分鐘）：[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25)頻數(shù)：20,35,25,15,5要求：(1)估計(jì)該快餐店顧客等待時(shí)間的均值和方差。(2)指出該快餐店顧客等待時(shí)間最可能落在哪個(gè)區(qū)間。四、應(yīng)用分析題1.某汽車銷售公司經(jīng)理認(rèn)為，汽車的銷售量（Q，單位：輛/月）與廣告投入費(fèi)用（A，單位：萬元/月）之間存在正相關(guān)關(guān)系。隨機(jī)收集了過去12個(gè)月的汽車銷售和廣告投入數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)銷售量Q和廣告投入A的樣本相關(guān)系數(shù)為0.75。經(jīng)理計(jì)劃下個(gè)月增加廣告投入至15萬元。要求：請運(yùn)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，分析該經(jīng)理的觀點(diǎn)是否合理？并基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)，如果建立簡單的線性回歸模型來預(yù)測銷售量，你認(rèn)為該模型在多大程度上能反映廣告投入與銷售量之間的關(guān)系？如果下個(gè)月廣告投入為15萬元，能否預(yù)測一個(gè)大致的銷售量范圍？請說明你的分析思路和步驟。2.某工廠生產(chǎn)一批零件，需要檢驗(yàn)其重量是否符合標(biāo)準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)重量μ?=50克）。質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了30個(gè)零件進(jìn)行檢測，得到樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為49.8克和1.2克。要求：(1)假設(shè)檢驗(yàn)的零假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?應(yīng)該是什么？(2)選擇一個(gè)合適的顯著性水平α（如α=0.05），進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷這批零件的重量是否符合標(biāo)準(zhǔn)。(3)結(jié)合樣本數(shù)據(jù)，解釋你的檢驗(yàn)結(jié)果意味著什么？如果需要做出生產(chǎn)決策（如是否放行這批產(chǎn)品），你會提出什么建議？請說明理由。試卷答案一、選擇題1.B2.D3.B4.C5.B6.C7.D8.B9.B10.A二、填空題1.7,7,42.Z3.0.054.0.45.相關(guān)三、計(jì)算題1.解析思路：首先計(jì)算月收入和花費(fèi)的均值、方差和協(xié)方差，然后利用協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算相關(guān)系數(shù)，判斷相關(guān)性強(qiáng)弱。若相關(guān)系數(shù)絕對值較大（通常大于0.5），則認(rèn)為存在較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系。接著使用最小二乘法建立簡單線性回歸方程。(1)相關(guān)系數(shù)r=cov(X,Y)/(σX*σY)需要計(jì)算各統(tǒng)計(jì)量：X均值=(3+4+...+12)/10=7Y均值=(800+...+1900)/10=1320cov(X,Y)=[Σ(xi-x?)(yi-?)]/(n-1)=[(3-7)(800-1320)+...+(12-7)(1900-1320)]/9=8400/9≈933.33σX2=[Σ(xi-x?)2]/(n-1)=[(3-7)2+...+(12-7)2]/9=280/9≈31.11σX=sqrt(31.11)≈5.58σY2=[Σ(yi-?)2]/(n-1)=[(800-1320)2+...+(1900-1320)2]/9=529000/9≈58777.78σY=sqrt(58777.78)≈242.41r=933.33/(5.58*242.41)≈0.66相關(guān)系數(shù)r=0.66，絕對值大于0.5，說明月收入與花費(fèi)之間存在較強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系。(2)簡單線性回歸方程Y=a+bX回歸系數(shù)b=cov(X,Y)/σX2=933.33/31.11≈30截距a=?-b*x?=1320-30*7=740回歸方程為：花費(fèi)=740+30*月收入2.解析思路：這是關(guān)于兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體均值是否相等的檢驗(yàn)問題，且方差未知但相等。應(yīng)采用雙樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）。首先計(jì)算兩樣本的均值和合并方差，然后計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，與t分布的臨界值比較或計(jì)算p值，做出決策。假設(shè)：H?:μA=μB(兩種方法效果無差異)；H?:μA≠μB(兩種方法效果有差異)樣本量n?=n?=6樣本均值x??=-10/6=-5/3=-1.67,x??=-5/6=-0.83樣本方差s?2=((-10+5/3)2+...)/5≈20.67,s?2=(-5+5/6)2+.../5≈10.67合并方差s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)=[(5*20.67+5*10.67)]/10=(103.35+53.35)/10=156.7/10=15.67合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p=sqrt(15.67)≈3.96t統(tǒng)計(jì)量t=(x??-x??)/(s_p*sqrt(1/n?+1/n?))=(-1.67-(-0.83))/(3.96*sqrt(1/6+1/6))=-0.84/(3.96*sqrt(2/6))=-0.84/(3.96*sqrt(1/3))=-0.84/(3.96*0.577)≈-0.84/2.28≈-0.37自由度df=n?+n?-2=10查t分布表或計(jì)算p值：對于α=0.05的雙尾檢驗(yàn)，臨界值約為±2.228。由于|t|=0.37<2.228?；蛘哂?jì)算p值：p值>2*P(T>|t|)≈2*P(T>0.37)。查表或計(jì)算得p值遠(yuǎn)大于0.05。決策：由于p值>α，不拒絕原假設(shè)H?。結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，沒有足夠證據(jù)表明兩種治療方法的效果存在顯著差異。3.解析思路：對于分組數(shù)據(jù)，均值和方差的估計(jì)需要使用組中值。均值估計(jì)為各組中值乘以頻數(shù)之和除以總頻數(shù)。方差估計(jì)使用加權(quán)方差的公式。頻數(shù)最多的組即為眾數(shù)組。(1)估計(jì)均值：x?≈[Σ(fi*mi)]/Nx?≈[(20*2.5+35*7.5+25*12.5+15*17.5+5*22.5)]/100x?≈[50+262.5+312.5+262.5+112.5]/100x?≈940/100=9.4分鐘估計(jì)方差：s2≈[Σ(fi*mi2)]/N-(x?)2s2≈[(20*2.52+35*7.52+25*12.52+15*17.52+5*22.52)]/100-9.42s2≈[(20*6.25+35*56.25+25*156.25+15*306.25+5*506.25)]/100-88.36s2≈[(125+1968.75+3906.25+4593.75+2531.25)]/100-88.36s2≈12114.5/100-88.36=121.145-88.36=32.785估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差s≈sqrt(32.785)≈5.73分鐘(2)頻數(shù)最多的組是[5,10)，該組頻數(shù)為35，因此顧客等待時(shí)間最可能落在5到10分鐘這個(gè)區(qū)間。四、應(yīng)用分析題1.解析思路：分析觀點(diǎn)合理性需看相關(guān)系數(shù)大小及顯著性。75%的相關(guān)系數(shù)較強(qiáng)，但需檢驗(yàn)其顯著性。分析模型反映關(guān)系程度需看R方。預(yù)測銷售量可在模型基礎(chǔ)上進(jìn)行，并考慮模型的置信區(qū)間或標(biāo)準(zhǔn)誤差。分析需結(jié)合統(tǒng)計(jì)術(shù)語和實(shí)際意義。分析：(1)該經(jīng)理認(rèn)為銷售量與廣告投入正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為0.75，數(shù)值較高，初步表明兩者可能存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系。但這只是相關(guān)性，并不一定代表因果關(guān)系。需要檢驗(yàn)這個(gè)相關(guān)關(guān)系是否在統(tǒng)計(jì)上顯著。(2)建立簡單的線性回歸模型Y=a+bX，其中Y為銷售量，X為廣告投入。模型解釋了Y變異的百分比，由R方（R2）衡量。R方=ρ2=0.752=0.5625=56.25%。這意味著廣告投入可以解釋銷售量變異的56.25%。這個(gè)比例較高，說明模型在多大程度上能反映兩者關(guān)系是比較強(qiáng)的。(3)如果下個(gè)月廣告投入為15萬元，可以將X=15代入回歸方程（假設(shè)方程已建立且通過檢驗(yàn)）進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測值Y?=a+b*15。但這只是一個(gè)點(diǎn)預(yù)測。更完整的預(yù)測應(yīng)給出一個(gè)預(yù)測區(qū)間，表示真實(shí)銷售量可能落入的范圍。這個(gè)區(qū)間的寬度與模型的置信水平和數(shù)據(jù)的散布程度有關(guān)（通常與標(biāo)準(zhǔn)誤差SE_{?}有關(guān)）。例如，一個(gè)95%的預(yù)測區(qū)間可能會是Y?±t*SE_{?}，其中t是t分布臨界值，SE_{?}是預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差。該區(qū)間的大小給出了預(yù)測的不確定性范圍。結(jié)論：經(jīng)理的觀點(diǎn)有一定合理性，但需謹(jǐn)慎。模型顯示廣告投入與銷售量關(guān)系較強(qiáng)（R2=56.25%），但實(shí)際預(yù)測銷售量時(shí)需考慮預(yù)測區(qū)間，認(rèn)識到預(yù)測的不確定性。2.解析思路：假設(shè)檢驗(yàn)需明確H?和H?。選擇檢驗(yàn)方法（這里是單樣本t檢驗(yàn)）。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t。根據(jù)α確定拒絕域或計(jì)算p值。做出統(tǒng)計(jì)決策，并結(jié)合實(shí)際