~2026學(xué)年度第一學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬卷（廣東專用）八年級(jí)數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘，滿分：120分檢測(cè)范圍：北師大版八年級(jí)上冊(cè)第一章~第四章一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)正確）1．在實(shí)數(shù)，，，，，中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；無理數(shù)有：，，共個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了無理數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的定義，注意初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間0的個(gè)數(shù)依次加1），等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（

）A．5，7，10 B．3，4，5 C．5，12，13 D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理．熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．能根據(jù)勾股定理的逆定理：兩邊的平方和等于第三邊的平方，判定是否是直角三角形即可得到答案．【詳解】解：A．，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B．，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．3．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，根據(jù)關(guān)于軸的對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同即可求解，掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：．4．下列曲線中，能表示是的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了用圖象法表示函數(shù)、根據(jù)函數(shù)定義等知識(shí)點(diǎn)，理解函數(shù)的定義成為解題的關(guān)鍵.根據(jù)函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可解答．【詳解】解：對(duì)于C選項(xiàng)中的圖象，在自變量的取值范圍內(nèi)作一條垂直于軸的直線，與圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，從而能表示是的函數(shù)；對(duì)于A、B、D三個(gè)選項(xiàng)中的圖象，在自變量的取值范圍內(nèi)作一條垂直于軸的直線，與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而不能表示是的函數(shù)；故選：C．5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離是（

）A．4 B．3 C． D．【答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，根據(jù)點(diǎn)到軸的距離是橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：依題意，點(diǎn)到軸的距離是故選：A6．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)、所表示的數(shù)分別是，，過點(diǎn)作數(shù)軸，個(gè)單位長(zhǎng)度，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸上點(diǎn)的左側(cè)一點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，勾股定理，首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出線段的長(zhǎng)度，然后根據(jù)即可求出的長(zhǎng)度，接著可以求出數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，,，，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)表示的數(shù)是，故選：B．7．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則比較的大小為（

）A． B． C． D．無法比較【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的增減性，判斷出一次函數(shù)的增減性即可得到答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)解析式為，，∴y隨x增大而增大，∵，∴，故選：B．8．若n為整數(shù)，且，則n的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查無理數(shù)的估算，利用夾逼法求出的值即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴；故選：B．9．已知直線：與直線：在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是本題的關(guān)鍵．根據(jù)兩個(gè)一次函數(shù)的圖象逐一分析系數(shù)符號(hào)即可解決．【詳解】解：A、直線中，，中，，b的取值相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；B、直線中，，中，，k、b的取值一致，故本選項(xiàng)符合題意；C、直線中，，中，，k的取值相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；D、直線中，，中，，b的取值相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．點(diǎn)第次向上跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，緊接著第次向左跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，第次向上跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，第次向右跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，第次又向上跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，第次向左跳動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)……照此規(guī)律，點(diǎn)第次跳動(dòng)至點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律．設(shè)第次跳動(dòng)至點(diǎn)，根據(jù)部分點(diǎn)坐標(biāo)的變化確定變化的規(guī)律，結(jié)合，即可求解．【詳解】解：設(shè)第次跳動(dòng)至點(diǎn)，觀察發(fā)現(xiàn)：，，，，，，，，，，..．∴，，，，（為自然數(shù)），∵，∴，即．故選：C．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．比較大?。?（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】【分析】先求出，再比較根號(hào)內(nèi)的數(shù)即可求解．【詳解】解：∵，16＜20，∴．故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是掌握比較有理數(shù)和根號(hào)形式無理數(shù)的大小的方法．12．已知線段平行于軸，且點(diǎn)，，那么．【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)平行于軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等列方程求解即可．【詳解】線段平行于軸，故答案為：．13．已知是49的算術(shù)平方根，的立方根是．則的立方根是．【答案】【分析】本題考查立方根，平方根以及算術(shù)平方根的定義，熟記概念并求出、的值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出x，再根據(jù)立方根的定義求出y，將，代入求出的值，再根據(jù)立方根的定義解答．【詳解】解：∵是49的算術(shù)平方根，，解得，的立方根是，，解得：．當(dāng)，時(shí)，，∴的立方根是，故答案為：．14．直線與坐標(biāo)軸圍成的的面積是．【答案】8【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，先求出的坐標(biāo)，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴的面積為；故答案為：8．15．如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，已知，，且米，點(diǎn)P到的距離是3米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P離到點(diǎn)B，它的最短行程是米．【答案】【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來進(jìn)行解決．可將教室的墻面與地面展開，連接P、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將教室的墻面與地面展成一個(gè)平面，過P作于G，連接，在中，米，米，米，在中，米，米，（米）．故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米．故答案為：．三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）16．計(jì)算：（1）（2）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，（1）首先化簡(jiǎn)二次根式，然后再計(jì)算加減即可；（2）利用乘法分配律先算乘法，然后再計(jì)算加減即可；關(guān)鍵是掌握運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．【詳解】（1）（2）17．已知點(diǎn)和點(diǎn)，且線段軸．（1）求的值；（2）求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題干條件可知、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，據(jù)此進(jìn)行解答；（2）由上問結(jié)果可求出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，用較大縱坐標(biāo)減去較小縱坐標(biāo)即為長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】（1）∵和點(diǎn)，且軸，∴，∴．（2）由（1）可得，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，得到兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同是解題的關(guān)鍵．18．在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）和關(guān)于x軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫出；（2）求的面積；（3）在x軸上畫出點(diǎn)P，使得有最小值，并保留找該點(diǎn)的痕跡，求出的最小值．【答案】(1)見解析(2)的面積為2(3)圖見解析，的最小值為【分析】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形、軸對(duì)稱變換、求三角形面積以及最短路徑問題．（1）首先確定三點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)位置，再順次連接即可；（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可；（3）連接，交軸于點(diǎn)，然后利用勾股定理計(jì)算可獲得答案．【詳解】（1）解：如圖所示；；（2）解：的面積為：；（3）解：連接，交軸于點(diǎn)，此時(shí)長(zhǎng)度最小，最小值為．故答案為：．四、解答題（二）（本大題共2小題，每小題9分，共27分）19．規(guī)律探索圖：如圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；……（1）；（2）；（3）求出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查勾股定理以及二次根式的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的知識(shí)．（1）利用題中規(guī)律即可求出的值即可；（2）根據(jù)的變化規(guī)律直接得出答案即可；（3）根據(jù)（2）得出的規(guī)律直接代入數(shù)據(jù)，然后利用分母有理化計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：，，，，，故答案為：．（2）解：結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可得：；故答案為：；（3）解：．20．為了認(rèn)真落實(shí)2024年全國(guó)教育工作會(huì)議“以身心健康為突破點(diǎn)強(qiáng)化五育并舉”的要求，全面實(shí)施“每天一節(jié)體育課”，學(xué)校計(jì)劃從網(wǎng)上訂購(gòu)一批足球和跳繩，網(wǎng)絡(luò)搜索后發(fā)現(xiàn)足球每個(gè)定價(jià)100元，跳繩每條定價(jià)20元，現(xiàn)有A、B兩家網(wǎng)店均提供包郵服務(wù)，并提出了各自的優(yōu)惠方案．A網(wǎng)店：買一個(gè)足球送一條跳繩；B網(wǎng)店：足球和跳繩都打九折．已知要購(gòu)買足球60個(gè)，跳繩x條（）．（1）分別求出在A，B兩家網(wǎng)店購(gòu)買所需的費(fèi)用和；（不必寫出自變量取值范圍）（2）若，求x的值；（3）對(duì)比A、B兩家網(wǎng)店優(yōu)惠方案，試簡(jiǎn)要說明何時(shí)在哪家網(wǎng)店購(gòu)買更劃算？【答案】(1)；；(2)；(3)當(dāng)時(shí)，選擇網(wǎng)店更劃算；當(dāng)時(shí)，選擇兩個(gè)網(wǎng)店都劃算；當(dāng)時(shí)，選擇網(wǎng)店更劃算．【分析】本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用；（1）分別根據(jù)A、B兩家網(wǎng)店的優(yōu)惠方式列函數(shù)關(guān)系式即可；（2）由再建立一元一次方程求解即可；（3）分三種討論，可得答案．【詳解】（1）解：A店購(gòu)買可列式：；在網(wǎng)店B購(gòu)買可列式：；（2）解：當(dāng)時(shí)，∴，解得：；（3）解：由（2）可得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩個(gè)網(wǎng)店的優(yōu)惠相同；當(dāng)，即時(shí)，，選擇網(wǎng)店更劃算；當(dāng)，即時(shí)，，選擇網(wǎng)店更劃算．21．在“勾股定理”一章的學(xué)習(xí)中，我們體會(huì)到了勾股定理應(yīng)用的廣泛性，以及“數(shù)形結(jié)合”是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法．（1）【已有認(rèn)識(shí)】既可以從算術(shù)平方根的角度理解，結(jié)合勾股定理的知識(shí)，也能將其看成是直角邊都為1的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，即，由此得到在數(shù)軸上尋找所表示的點(diǎn)的方法，如圖1．【拓展運(yùn)用】如圖2，點(diǎn)、點(diǎn)在數(shù)軸上，且，，于，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則數(shù)軸中點(diǎn)表示的數(shù)是．（直接寫出答案）（2）【已有認(rèn)識(shí)】結(jié)合正方形網(wǎng)格，我們還可以表示某些長(zhǎng)度為無理數(shù)的線段．【拓展運(yùn)用】請(qǐng)?jiān)趫D3正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）內(nèi)畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)的，其中，，，并求出的面積，以及點(diǎn)到邊的距離．（3）【已有認(rèn)識(shí)】如圖4，結(jié)合直角坐標(biāo)系，我們發(fā)現(xiàn)：要求出坐標(biāo)系中、兩點(diǎn)的距離，顯然是轉(zhuǎn)化為求△的斜邊長(zhǎng)．下面以求為例來說明如何解決：從坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)：，所以，所以由勾股定理可得，．【拓展運(yùn)用】①在圖5中，設(shè)，軸，軸，于點(diǎn)，則_________，_________，由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離公式，（直接寫出答案）②圖4中，平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，為軸上任一點(diǎn)，則的最小值為________；（直接寫出答案）③應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式的最小值為：________．（直接寫出答案）【答案】(1)(2)圖見解析，的面積為2；點(diǎn)到邊的距離為；(3)①，；②；③【分析】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最值問題以及兩點(diǎn)之間距離公式，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為兩點(diǎn)之間距離問題是解題關(guān)鍵．（1）利用勾股定理以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系即可求解；（2）利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)作出，再利用割補(bǔ)法求解即可；（3）①根據(jù)圖形直接寫出即可；②利用軸對(duì)稱求最短路線方法得出點(diǎn)位置，進(jìn)而求出的最小值；③根據(jù)原式表示的幾何意義是點(diǎn)到和的距離之和，當(dāng)點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上時(shí)其距離之和最小，進(jìn)而求出即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴數(shù)軸中點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：；（2）解：，，，如圖所示，的面積為，點(diǎn)到邊的距離為；（3）解：①∵，軸，軸，于點(diǎn)，則，，由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離公式，；故答案為：，；②作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，直線于軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，的最小值就是線段的長(zhǎng)度，∵，∴，∵，，即的最小值為；故答案為：；③，故原式表示點(diǎn)到和的距離之和．由兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上時(shí)，原式值最?。霉?，原式．故答案為：．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．22．?dāng)?shù)學(xué)中，常對(duì)同一圖形的面積用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，稱為等面積法．如圖1，四個(gè)直角邊分別為、、斜邊長(zhǎng)為的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形拼成一個(gè)大正方形．解：四個(gè)直角三角形其面積都為，邊長(zhǎng)為的小正方形的面積為，大正方形的面積為．由圖形可知：．整理得．故結(jié)論為：直角邊長(zhǎng)分別為、斜邊為的直角三角形中．（1）【類比嘗試】如圖2，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，若是的邊上的高，求：①的面積；②的長(zhǎng)．（2）【拓展探究】如圖3坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和，直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且，垂足為．求：①點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)．②點(diǎn)到軸的距離．【答案】(1)①7②(2)①點(diǎn)，點(diǎn)②【分析】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理，，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)正方形網(wǎng)格的特點(diǎn)，分別求出，，，，進(jìn)而根據(jù)可得出答案；②由勾股定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式可求出的長(zhǎng)；（2）①對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②過點(diǎn)作軸于，由①得，