專(zhuān)題10.9統(tǒng)計(jì)、概率綜合練

題號(hào)—?二三四總分

得分

練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

I.PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，下圖是某地9月1日至10日的PM2.5日均值（單位：〃g/n?）的

折線圖，則下列關(guān)于這10天中PM2.5口均值的說(shuō)法不正確的是（）

A.眾數(shù)為30

B.中位數(shù)為31.5

C.平均數(shù)小于中位數(shù)

D.后4天的方差小于前4天的方差

【答案】C

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)眾數(shù)的定義，可判定A正確；根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法，可判定B正確;

利用平均數(shù)的計(jì)算公式，求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可?判定C錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度，可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中,將數(shù)據(jù)從小到大排序,依次為17,25,30,30,31,32,34,38,42,126,

其中30出現(xiàn)J'2次，其他數(shù)據(jù)均HI現(xiàn)了1次，所以數(shù)據(jù)的眾數(shù)為30,所以A止確;

對(duì)于B中，根據(jù)中位數(shù)的概念，可得第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù),

31+32

n即n為一--=31.5,所以B正確;

17+25+30+30+31+32+34+38+42+126

對(duì)于C中，由平均數(shù)的公式得嚏==40.5

1()

其中40.5>31.5,所以平均數(shù)大于中位數(shù),所以C錯(cuò)誤;

對(duì)'TD中，從圖象可以看出后4天的數(shù)據(jù)更加集中，前4天的數(shù)據(jù)更加分散,

所以后4天的方差小于前4天的方差，所以D正確.

故選:C.

2.在（3x-9）的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128,則（）

A.二項(xiàng)式系數(shù)和為32

B.各項(xiàng)系數(shù)和為128

C.常數(shù)項(xiàng)為-135

D.常數(shù)項(xiàng)為135

【答案】D

【分析】令x=l，求出系數(shù)之和，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的和結(jié)合已知求出〃，進(jìn)而可判斷AB；求出展開(kāi)式的

通項(xiàng)，令x的指數(shù)等于零，即可判斷CD.

【詳解】令內(nèi)-1,得各項(xiàng)系數(shù)和為2"，

又二項(xiàng)式系數(shù)和為2，則2"+2”=128,得〃=6,

即二項(xiàng)式系數(shù)和為64,各項(xiàng)系數(shù)司也為64,故A,B不正確；

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為九=螺3尸,9J=31?（一1）七標(biāo)4，

令6-三=0,得攵=4,

因此展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為32x（-1），C：=135,故C不正確，D正確.

故選：D.

3.袋子中裝有大小、形狀完全相同的2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從l不放回地摸取2個(gè)球，已知第二次摸到的

是紅球，則第一次摸到紅球的概率為（）

I123

A.!B.-C.4D.-

2334

【答案】B

【分析】設(shè)笫一次摸到紅球?yàn)槭录?，第二次摸到紅球?yàn)槭录?,根據(jù)古典概型結(jié)合計(jì)數(shù)原理求P（8）,P（AA）,

進(jìn)而根據(jù)條件概率運(yùn)算求解.

【詳解】設(shè)第?次摸到紅球?yàn)槭录嗀,第二次摸到紅球?yàn)槭录?,則獷件48為第?次摸到紅球且第二次摸

到紅球，

CC+c?_6_\_

可得P（8）=

月~V2~6

所以尸（/小?卜、蜜P（AB）F1

故選：B.

4.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（）個(gè)

①互斥事件一定是對(duì)立事件.

②在回歸直線方程亍=SLi+10中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量?增加0.1個(gè)單位；

③兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;

④在回歸分析模型中，若相關(guān)指數(shù)W越大，則殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的關(guān)系，回歸分析及相關(guān)系數(shù)判斷各項(xiàng)即可.

【詳解】互斥事件不一定對(duì)立，所以①是錯(cuò)誤的；

根據(jù)回歸直線方程中回歸系數(shù)的含義，可知當(dāng)回歸直線方程卞=。.民+1。中，當(dāng)解釋變量4每增加一個(gè)單位

時(shí)，預(yù)報(bào)變量少增加0.1個(gè)單位，②是正確的；

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式可知，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,兩個(gè)變量的相關(guān)性就越強(qiáng)，所以③是正確的；

根據(jù)回歸分析的基本思想可知相關(guān)指數(shù)R2越大，則殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，④是正確的.

故選:C.

5.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X~N（10Q”尸（X>12）=M/（84XW10）=〃，則［+［的最小值為（）

A.3+4夜B.6+20C.6+4夜D.3+2&

【答案】D

【分析】依題意，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合圖象的對(duì)稱(chēng)性，整理概率等式，結(jié)合基本不等式，可得答案.

【詳解】由隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X:/V（10,cr2）,其正態(tài)分布分布曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=10,

則P（X>12）=P（X<8）,P（8<X<10）=P（IO<X<12）,

2xP（X>12）+2xP（8<X<10）=2m+2n=1,1.m>0,〃>0,

所以工+，=（2m+2〃）j-5-+L[=二+四+322垃+3,

2rnn（2mn）inn

當(dāng)且僅當(dāng)2=冽，即〃=VL〃時(shí)，取等號(hào).

mn

故選：D.

6.已知事件A,8滿足OvP（A）<l,O<P（8）<1,則不能說(shuō)明事件A,8相互獨(dú)立的是（）

A.P（4|8）=P（無(wú)⑻B.P（4|8）=P（4）

C.P（冏4）=P⑻D.P（用A）=P（B|Q

【答案】A

【分析】舉反例判斷A,利用條件概率公式及相互獨(dú)立事件的定義判斷BCD.

【詳解】對(duì)于A,擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A為向上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4,事件B為向上的點(diǎn)數(shù)為4或5,

即4={1,2,3,4},4={4,5},Z={5,6},滿足尸（人⑻=P（用B）=/但?38）=/P（A）P（B）=彳x：

所以事件A4不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤：

/.、P（AB\/、，、，、/、

對(duì)TB,因?yàn)槭ù?）=+W=P（A）,所以2（A8）=P（A）P（6）,所以事件AB相互獨(dú)立,我B正確:

〃助

對(duì)于C,因?yàn)槭ń蠥）=q^=P（8）,所以P（AB）=P（A）尸（B）,所以事件A8相互獨(dú)立,故C正確;

因?yàn)镻（則=P（颯，所以需

對(duì)于D,整理得

1⑷111%

尸（A8）=P（4）［P（A8）+P（W8）］=P（A）P（8）,所以事件A8相互獨(dú)立，故D正確;

故選:A

7.隨機(jī)變量X的分布列如下所示?則。伍X）的最大值為（）

B-ID-5

【答案】D

【分析】由分布列的性質(zhì)可得外〃的關(guān)系，再由期望公式求￡（Xj,由方差公式求o（x）,利用導(dǎo)數(shù)求。（X）

的最大值.

【詳解】由題可知2。+?=1,0<?<1,O<2Z?<1,

所以a+/?=J,0</?<,

E(X)=a+4〃+3a=4(a+/?)=2,

0(X)=a(1-2>+(3-2>a=2a,

則D(bX)=b2D(X)=2cib2=-2by+b2,

則“6）=-6//+處=_?（勸_］）,

則f（〃）在（og）上單調(diào)遞增，在（；，；）上單調(diào)遞減,

所以/⑹四=/《）=/，

所以O(shè)（〃X）的最大值為，.

故選:D.

8.設(shè)A,3是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且0（8）=；,P（B|A）=|,P（B|A）=p則（）

A.P（4）=1B.P（AB）,C.尸（A+8）=：D.P（同B）二；

【答案】C

【分析】利用全概率公式結(jié)合條件可得尸（A）=g,然后利用和事件的概率公式和條件概率公式結(jié)合條件逐

項(xiàng)分析即得.

【詳解】因?yàn)镻（8）=（,可司人）=、，尸伍同=；,

所以P（B|A）=:，P（3|可=；,又P⑻=P（A）P（4|4）+P（,）P（BM）,

所以:=:P（A）+；P（.）=：P⑷+；（1—P（A）），

J*f乙IJ,

所以P（4）=g,故A錯(cuò)誤：

由P(/4|.A、)=-P(A^B\=zI，可得P(/AB)、=51,故B錯(cuò)誤;

ry/\jO12

1113

所以P(4+B)=P(A)+P(B)-P(AA)=3+Q-J=Z，故C正確;

所以P(H8)=爺舁=：,P(A|^)=1-1=1,故D錯(cuò)誤.

故選:c.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分..在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分

9.新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機(jī)抽取若干居民

進(jìn)行評(píng)分(滿分為10()分)，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知評(píng)分在［80,100］內(nèi)的居民

B.調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4000

C.從頻率分布直方圖中，可以估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)大于平均數(shù)

D.根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為該地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度符合“評(píng)分低于65分的居民不

超過(guò)全體居民的20%”的規(guī)定

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，概率的計(jì)算方法，以及中位數(shù)、平均

數(shù)的計(jì)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)，nT(0.002+0.004+0.014+0.035+?)x10=1,

即10x(0.075+〃)=1,解得《=0.025,所以A正確；

1QA

設(shè)總共調(diào)查了〃人，可得寧=(0035+0.025)x1。，

解得〃=300,即調(diào)查的總?cè)藬?shù)為300人，所以B錯(cuò)誤；

中位數(shù)位于區(qū)間［80,90］,設(shè)中位數(shù)為，

CQA

則0.025x10+(90-w)x0.035=0.5,解得m=三，

由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為092,0.04,0.14,0.20,0.35,0.25,

設(shè)平均數(shù)為了，

貝IJ1=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7.

CQA

可得萬(wàn)?>80.7,所以C正確；

由評(píng)分在［40,7（）］的居民占調(diào)查總?cè)藬?shù)的20%,所以評(píng)分低了65分的居民不超過(guò)全體居民的20%,所以D

正確.

故選：ACD.

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A.在回歸直線方程y=T）.85x+2.3中，）'與“具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

B.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性成強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越小

C.己知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（幾P）,若E（X）=30,Q（X）=20,則p

D.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,l）,若尸（X25）=0.2,則P（3〈X<5）=0.6

【答案】AD

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)-0.85<0作出判斷；B選項(xiàng)，由相關(guān)系數(shù)的定義作出判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)題意列出方

程組，求出〃=g：D選項(xiàng)，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解..

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?0.85V0,故N與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，A正確；

B選項(xiàng)，兩個(gè)隨機(jī)變最的線性相關(guān)性成強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越大，越接近于1,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，〃〃二30,〃〃（1-〃）=20,解得〃=g,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，X服從正態(tài)分布N（4,l）,故〃=4,。=&=1,

則P（X24+1）=P（X<4-1）,即尸（X25）=P（X<3）=0.2,

則P（3<X<5）=l-P（X25）-P（X43）=0.6,D正確.

故選：AD

24

11.若（1-2x），=4）+?］.￥+a2x+為/+a4x+a5^,則下列結(jié)論口正確的是（）

A.%=1B.4=32

5

C.|a^）|+|+\a21+|o3|+|a41+|o5|=3D.+2a2+3a3+4a4+5as=-10

【答案】AC

【分析】令x=0,可判定A正確：求得展開(kāi)式的通項(xiàng)（川=（-2小墨/，令r=5,可判定B錯(cuò)誤：由

|%|+同+同+同+同+國(guó)=。一4+令一生+。4-45+必，令戶(hù)-1，可判定C正確;兩邊求導(dǎo)數(shù)得到

4234

-10x（1-2A:）=￡7）+2a2x+3a^x+4?4x4-5asx,令x=l,進(jìn)而可判定以D錯(cuò)誤.

【詳解】由（1一2x）’=a。+a\x+出/++qx4+，

對(duì)于A中，令x=0,可得%=1,所以A正確；

對(duì)于B中，由二項(xiàng)式（1-2力展開(kāi)式的通項(xiàng)為7；+「G.（-2x>-（-2），.C"，，

令/-5,可得7；=（-2尸.（4?=—32/,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，由展開(kāi)式的通項(xiàng)（“=（-2）JC“，知：

當(dāng)r二0,2,4時(shí)，可得展開(kāi)式的系數(shù)為正值，當(dāng)，-=1,3,5時(shí)，可得展開(kāi)式的系數(shù)為負(fù)值；

令戶(hù)一1,可得%-4+%—%+卬―6+6=3$,

即|%|+同+同+同+同+同=35，所以C正確;

2

對(duì)于D中，由（1一2x）s=4）+a,x+a2x++%丁，

2z

兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得一10x（1-20=q+2a2x+3a3x+4a4丁+5a5x,

令x=l,可得4+2az+3%+4&+5%=-10.

又由％=1,所以/+4+2%+3%+4a4+5%=-9,所以D錯(cuò)誤.

故選:AC.

12.已知隨機(jī)變量多服從兩點(diǎn)分布，且?（6=1）=〃,[=1,2）,若3<〃1<〃2<1，則下列判斷不正確的是（）

A.E（4）<￡）（4）B.石⑹<石⑸

C.E（4）vZ）?）D.5。）<。仁）

【答案】ACD

【分析】利用兩點(diǎn)分布的期望與方差公式求解即可.

【詳解】依題意，得。（。=1）=〃|,P（4=l）=〃2，。服從兩點(diǎn)分布，

所以E?）=P|,E（$）=〃2,。（芻）=〃2。一〃2），

因?yàn)?<"<〃2<1，則°<1一分<；,0<1-〃2<|，

乙乙乙

所以〃2＞〃2（1一〃2），

所以￡?）＞。俗），E⑸〈七⑹,￡信）＞。信）,

。（。）一。（芻）="（1一月）一〃2（1-〃2）=（月一〃2）（1一月一〃2）＞0，即。?）＞。（△），

所以ACD錯(cuò)誤，B正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.

13.（f-x+2”5的展開(kāi)式中xV項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-16（）

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式相乘展開(kāi)方法求解.

【詳解】（/-x+2y）s的展開(kāi)式中，構(gòu)成人%,3項(xiàng)只能是一個(gè)/、一個(gè)（-工）、3個(gè)（2,v）相乘,

故此項(xiàng)為C；/.C：（T）.C；（2?=-160.一/.

故答案為：-160.

14.某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積x（單位：dnf）與水生植物的株數(shù)），（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系,

收集了4組數(shù)據(jù)，用模型），=ce，c＞0）去擬合工與），的關(guān)系，設(shè)z=lny,x與z的數(shù)據(jù)如表格所示：

X3467

Z22.54.57

得到x與z的線性回歸方程江1.2尤+》，則。=.

【答案】婷/之

e~

【分析】根據(jù)已知條件，求得工=5,5=4,進(jìn)而代入回歸方程可求得&=-2,從而得出2=1.2》-2,聯(lián)立

z=Iny,即可求得本題答案.

【詳解】由已知可得，X=----------=5,z=--------------=4,

44

所以，有4=1.2x5+4,解得4=一2,

所以，z=1.2x-2,

由z=1ny,得lny=1.2x-2,

所以，），=eL2A2=e”.eL2x,則c=e

故答案為：e-2

15.《英雄聯(lián)盟》2023Msi季中冠軍賽在英國(guó)倫敦舉辦，中國(guó)戰(zhàn)隊(duì)“JDG”與“BLG”進(jìn)入決賽，決賽采用五局

三勝制，當(dāng)兩隊(duì)中有一隊(duì)贏得三局比賽時(shí)，就由該隊(duì)贏得冠軍.每局比賽都要分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)

不受之前比賽結(jié)果影響.假設(shè)“JDG”戰(zhàn)隊(duì)在任一局贏得比賽的概率為比賽局?jǐn)?shù)的期望值記為

f(P)，則/(P)的最大值是.

33

【答案】y

【分析】設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為X,分別計(jì)算出X可能取值的概率，進(jìn)而求出期望值/(P),再利用導(dǎo)數(shù)求得“P)的

最大值，由此得解.

【詳解】設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為3,4,5,

則P(X=3)=/+(i-03,

P(X=4)=C；p3(l-〃)+C；p("pF,

尸(X=5)=C沁1一〃尸，

則f(〃)=3[〃,+(1——〃)+-〃)[+5xC；/廠(1—=6〃4-12〃，+3〃2+3〃+3,

所以/(p)=24//-36/r+6p+3=3(2p-l)(4p2-4/7-1),

因?yàn)楹瘮?shù)y=4〃2—4p-1的圖象對(duì)稱(chēng)軸為〃=g,0W〃Wl,

當(dāng)p=0時(shí)，y=-l<0,當(dāng)〃=1時(shí)，y=-l<0,所以4//一4〃一1<(),

所以當(dāng)0<〃<g時(shí)，f(p)>0；當(dāng)時(shí)，八P)<。，

則函數(shù)/(P)在卜),上單調(diào)遞增，在停1)上單調(diào)遞減，

(I、3333

所以/(%、=--即〃P)的最大值為十.

33

故答案為：—.

O

16.土壤修復(fù)是使遭受污染的土壤恢復(fù)正常功能的技術(shù)措施.中國(guó)現(xiàn)有耕地有近!受到不同程度的污染，但

隨著新發(fā)展理念深入貫徹落實(shí)，國(guó)家對(duì)環(huán)境保護(hù)工作越來(lái)越重視2021年我國(guó)正式啟動(dòng)(含已招標(biāo)項(xiàng)目，不

含未招標(biāo)、流標(biāo)項(xiàng)目)的土壤修復(fù)工程項(xiàng)目共510個(gè)，合同總金額為121.56億元，覆蓋全國(guó)除西藏、港、

澳、臺(tái)的30個(gè)省(區(qū)、市).如圖為2021年30個(gè)省區(qū)市土壤修復(fù)工程類(lèi)項(xiàng)目數(shù)量的前十名，則這30個(gè)省

(區(qū)、市)土壤修復(fù)工程類(lèi)項(xiàng)目數(shù)據(jù)的第80分位數(shù)是,若圖中未列出的其它20個(gè)省(區(qū)、市)土

壤修復(fù)工程類(lèi)項(xiàng)目數(shù)量的方差為44.7,則這30個(gè)?。▍^(qū)、市）土壤修復(fù)工程類(lèi)項(xiàng)目數(shù)據(jù)的總體方差為

2021年中國(guó)各省市土壤修復(fù)行業(yè)工程類(lèi)項(xiàng)目數(shù)量前十地區(qū)（個(gè)）

湖d

n

r

浙z

湖r-

r-

江

重

萬(wàn)

山

廣

四J

/

江H

I

上^

4

-

【答案】30188.6

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解?；根據(jù)總體方差公式即可■求解.

【詳解】總共有30個(gè)?。▍^(qū)、市），笫80分位數(shù)即為第24位和第25位的平均值,

第24位為廣東，項(xiàng)目數(shù)據(jù)為28,第25位為山東，項(xiàng)目數(shù)據(jù)為32,故其第80分位數(shù)為30.

3()個(gè)行政區(qū)域中，前10名的平均數(shù)為：

—158+36+36+35+33+32+28+26+24+22)=33

10'7

所以前10名的方差為：

,[(58-33)2+(36-33)2+(36-33)2+(35-33『+(33_33^+

(32-33)2+(28-33『+(26-33)2+(24-33『+(22-33)2

='(625+9+9+4+1+25+49+81+⑵)

=92.4

cin_QQn

除前10名外的20個(gè)省的平均數(shù)為「^—=9,方差為44.7

而30個(gè)省的平均數(shù)為17,

方差=’-[(10X[92.4+(33-17)2])+20X[44.7+(9-17)2]]

=±(3484+2174)

=188.6

故答案為：30；188.6

.四、解答題：本題共.6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.2020年自主招生停止的同時(shí)，36所“雙一?流”試點(diǎn)名校的“強(qiáng)基計(jì)劃”開(kāi)啟，其考核內(nèi)容包括學(xué)科素質(zhì)測(cè)

試和體育測(cè)試.射洪中學(xué)為了解高一、高二學(xué)生對(duì)“強(qiáng)基計(jì)劃”的了解程度，從高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨

機(jī)抽取了100名同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，抽到的學(xué)生中高一與高二的人數(shù)之比為7:13,其中高二學(xué)生

了解“強(qiáng)基計(jì)劃”50人，高一學(xué)生有15人不了解.

（1）請(qǐng)補(bǔ)充完整2x2列聯(lián)表，試通過(guò)計(jì)算判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否了解“強(qiáng)基計(jì)劃”與就讀年級(jí)有關(guān)；

了解不了解合計(jì)

?tT-50

高一15

合計(jì)100

（2）按照學(xué)生對(duì)“強(qiáng)基計(jì)劃”的了解情況采用分層抽樣的方法，從被調(diào)查的高一學(xué)生中抽取了7人，若從這7

人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行“強(qiáng)基計(jì)劃”的政策宣講，求抽到的2人中至少有I人對(duì)“強(qiáng)基計(jì)劃”了解的概率.

n^ad-hc^

附表及公式：K2=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（土之為）().150.100.050.0250.0100.005O.(X)I

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有把提

(2)7

【分析】（1）根據(jù)題意，分別求出對(duì)應(yīng)的人數(shù)，填表，然后代入公式得到的值與3.841比較大小，即可得到

木題答案；

（2）用列舉法，即可求得本題答案.

【詳解】（1）因?yàn)槌榈降膶W(xué)生中高一與高二的人數(shù)之比為7:13,

713

所以抽到的高一人數(shù)：IOOXLTMBS,高二人數(shù)：100x==65,

13+/13+7

又因?yàn)楦叨W(xué)生了解“強(qiáng)基計(jì)劃”50人，高一學(xué)生有15人不了解，

所以高二學(xué)生不了解“強(qiáng)基計(jì)劃”的有15人，高一新生了解的有20人，列表如下:

了解不了解合計(jì)

高二501565

高一201535

合計(jì)7030100

因?yàn)榱?,「與"：、=…x-20xl?x4.239>3,84L

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）65x35x70x30

所以，有95%的把握認(rèn)為是否了解“強(qiáng)基計(jì)劃”與就讀年級(jí)有關(guān)；

（2）因?yàn)楦咭粚W(xué)生中，了解的人數(shù)與不了解的人數(shù)是4:3,

從中抽取7人，則有4人了解情況，3人不了解情況，

設(shè)了解情況的4人為A，A”人，不了解情況的3人為%%4

共有情況21種:（A，4）,（A，4）,（AM）,（4,4）,（4,4）,（4,4）,（A,瓦）,（4約）,（4，層），

⑷,即,（4，員）,（42出）,（4再）,（4,員），（4,四）,（4出工⑷區(qū)入⑻出）,（媯員）,（旦員）,電員）,

滿足情況有18種:（A，&），（A，4），（A，4），（A2，A），（A2，AJ（A，4）,（A再）,（4也）,（4也）,

（A》片）,（4，與）,（42，鳥(niǎo)）,（4,用）,（4,用）,（4,四）,（4,4）,（4,。）,（4,鳥(niǎo)）.

所以抽到的2人中至少有I人對(duì)“強(qiáng)基計(jì)劃”了解的概率P=

217

18.習(xí)近平總書(shū)記指出；“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、

親善友愛(ài)的社會(huì)心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某

心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取〃位市民進(jìn)行心理健康問(wèn)卷調(diào)查，按所得評(píng)分

（滿分100分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：

調(diào)查評(píng)分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

心理等級(jí)有隱患一般良好優(yōu)秀

并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評(píng)分在170,80）的市長(zhǎng)為400人.

⑵在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取3人，進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，

經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在［4Q50）的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為:，調(diào)查評(píng)分在［50,60）的市民

心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為g,若經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問(wèn)在抽取的3人中，經(jīng)過(guò)心理

疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少？

【答案】（1）2000,/=0.002

⑵I

【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)列式求解，

（2）由分層抽樣與對(duì)立事件的概率公式求解.

【詳解】（1）由己知條件可得〃=0=2000,每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距為1,

所以0.84+80/=1,解得1=0.002.

（2）由（1）知，=0.002,

所以調(diào)查評(píng)分在［40,50）的人數(shù)占調(diào)查評(píng)分在［50,60）人數(shù)的1,

若按分層抽樣抽取3人，

則調(diào)查評(píng)分在140,50）有［人，［50,60）有2人，

因?yàn)榻?jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，

所以選出的3人經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，

心理等級(jí)均達(dá)不到良好的概率為七13=2,

4333

所以經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為良好的概率為尸=1-392,2^=22.

4333

19.已知在（4+壺）的展開(kāi)式中，前3項(xiàng)的系數(shù)分別為q,%，％，且滿足2%=%十%.

（1）求展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和；

⑵求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；

（3）求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng).

【答案】（1）256

⑵7；=7/和7；=7/

（3）工=/和（=——

16x

【分析】（1）由條件先求出〃=8,利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出結(jié)果即可；

（2）寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，記第&項(xiàng)系數(shù)最大，則有匕之（旬，且”之（-,由此可得展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；

（3）令元的轅指數(shù)為整數(shù)，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的有理項(xiàng).

【詳解】（1）（五十壺）的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，“=C：㈣“'康［VC112‘…,"，

…，

則4=最《=1,4=*=''/總《="（/'

因?yàn)?%=41+%,即2x：/?=l+"（:D,解得〃=8或〃=1（舍去），

28

所以二項(xiàng)式（五十冊(cè)）展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為28=256;

=C；（&廠/）="尸

的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為I”0<r<8KreN）,

記第4項(xiàng)系數(shù)最大，則有（之（…且1之47,

<-I-XI>J-*

CO2+OC2

叫,解得3WAW4,又kwN,所以攵=3或〃=4,

Cj-,2-*+,>Cj_22_*+2

所以系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)1=7/和第4」頁(yè)q=7—；

（f-1Y124-5r

（3）因?yàn)槎?xiàng)式14+員］J的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為（0^r<8jirGN）,

—5r

今■二----GZ,0<r^8fLrGN,則，，=0或r=6,

6

7

所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)為1=工4和

16.r

20.為了調(diào)查居民對(duì)垃圾分類(lèi)的了解程度，某社區(qū)居委會(huì)從A小區(qū)與8小區(qū)各隨機(jī)抽取300名社區(qū)居民（分

為18-40歲、41歲-70歲及其他人群各100名，假設(shè)兩個(gè)小區(qū)中每組人數(shù)相等）參與問(wèn)卷測(cè)試，分為比

較了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并將問(wèn)卷得分不低于60分的人數(shù)繪制頻數(shù)分

布表如下

分組A小區(qū)頻數(shù)B小區(qū)頻數(shù)

18-40歲人群6030

41-70歲人群8090

其他人群3050

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，所有居民的問(wèn)卷測(cè)試結(jié)果互不影響.

（1）從4小區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問(wèn)卷測(cè)試，估計(jì)其對(duì)垃圾分類(lèi)比較了解的概率；

⑵從A、8小區(qū)41-7（）歲人群中各隨機(jī)抽取一名居民，記其對(duì)垃圾分類(lèi)比較了解的居民人數(shù)為隨機(jī)變量X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）求事件氏“從從小區(qū)的三個(gè)年齡組隨機(jī)抽取兩組，且每個(gè)年齡組各隨機(jī)抽取一名居民，這兩名居民均對(duì)

垃圾分類(lèi)比較了解”的概率

【答案】（1喘；

⑵答案見(jiàn)解析：

⑶3

10

【分析】（1）根據(jù)古典概型計(jì)算即可；

（2）根據(jù)隨機(jī)事件求分布列的步驟求解計(jì)算可得;

（3）根據(jù)全概率及獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得.

【詳解】（1）設(shè)從A小區(qū)隨機(jī)抽取?名居民參與問(wèn)卷測(cè)試其對(duì)垃圾分類(lèi)比較了解為事件C，P（C）=^=^;

QO

⑵A小區(qū)比較了解的概率為：本小小區(qū)比較了解的概率為：

X可取0J2

1812913

P(X=0)=一X-=—,p(x=])=-X--+--X--=--

101050I71010101050

.8918

P(X=2)=——x——=——

'7101025

X的分布列為

X012

11318

P

505025

…八1,13-1817

EX=Ox-----F1x----F2x—=—

50502510

（3）從A小區(qū)的三個(gè)年齡組隨機(jī)抽取兩組取18-40歲、41歲-70歲各一人為事件A”從A小區(qū)的三個(gè)年

齡組隨機(jī)抽取兩組取18-40歲及其他人群各一人為事件從A小區(qū)的三個(gè)年齡組隨機(jī)抽取兩組取41歲-

70歲及其他人群各一人為事件4

p(E)=WA)p(同A)+P(A)P(E|4)+P(A)P(同4)

1681631383

=-X—X—+—X—XF-X—X—=—.

31010310103101010

21.某研發(fā)小組為了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對(duì)年銷(xiāo)售額）’（單位：億元）的影響，結(jié)合近

10年的年研發(fā)資金投入量X和年銷(xiāo)售額K的數(shù)據(jù)（i=L2,…10）,建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①"a+而，②

其中。，。，A,，均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)q二x；,斗=lny（i=l,2,?T0）,經(jīng)過(guò)計(jì)算

得如下數(shù)據(jù).

1010今1()

￡（占一村一之(苦-H)(D

Xy

1=1J=lf=l

206677020014

10.10、10

￡(%-萬(wàn)),Z(—)

UV

/=1J=!i=!

4604.2031250000.30821500

（1）設(shè)｛叫和的相關(guān)系數(shù)為?、澹蚆的相關(guān)系數(shù)為型請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度,選擇一個(gè)擬合程度更好

的模型.

（2）根據(jù)（1）中選擇的模型及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于X的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,根據(jù)線性回歸

方程，若當(dāng)年的銷(xiāo)售額大致為不億元，則估計(jì)當(dāng)年的研發(fā)資金投入量為多少億元.

ZG-h）（y-田

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=-J^------;---------

+對(duì)斜率和截距的最小二乘法估計(jì)參數(shù)分別如生上，。后

線性回歸直線），=〃

決T

【答案】⑴模型尸一…的擬合程度更好

(2)y=e0°2*+3期,8億元

【分析】（1）根據(jù)題干所給數(shù)據(jù)求出相關(guān)系數(shù)為乙、4即可判斷;

（2）由（1）可得產(chǎn)「”兩邊取對(duì)數(shù)可得lny=/+/lx,即y=/+/U,再由所給數(shù)據(jù)求出4、，，即可得到回

歸方程，再代入），=/求出工即可.

_____2_15_0_0____陋二”=0.86

【詳解】（1）由題意可知4=