§8.3圓的方程

【課標(biāo)要求】1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2能根據(jù)圓的

方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

1.圓的定義和圓的方程

定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定運(yùn)的點(diǎn)的集合叫做圓

圓心C(a,b)

標(biāo)準(zhǔn)(X—4)2+0—〃)2=，(/>0)

半徑為c

方程圓心《一,-f)

^+y2+Dx+Ey+F=0

一般

(D2+E2-4F>0)半徑，W[D2+E2-4F

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)M(xo，泗)與圓C：(x—a)2+(y—〃)2=戶之間存在著下列關(guān)系：

(1)|MC]>r=M在圓外,B[J(xo—(yo—b)2>f2<=>M在圓外；

(2)\MC\=在圓上,即(xo—?)2+(yo—b)2=r<=>M在圓上；

⑶|MC|<r=M在闞內(nèi)，即伽0—。尸+()，0一切2〈戶=加在圓內(nèi).

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写蚧颉傲x”)

(I)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(7)

(2)。-2)2+°，+1)2=〃2(“￡0)表示以Q,1)為圓心，。為半徑的圓.(X)

(3)方程A￥2+8o+Cy2+Dt+￡>，+尸=0表示圓的充要條件是A=CW0,8=0,D2+E2-4AF>0.(Y)

(4)若點(diǎn),阿在圓/+9+隊(duì)+￡)，+/=0外，則就+必+Oxo+@o+QO.(7)

2.已知圓/+)2+2、—4)，+1=0關(guān)于直線工一〉+/=0對稱，則實(shí)數(shù)，等于()

A.-3B.I

C.-lD.3

答案D

解析由x2+y2+2x—4y+l=0得a+1)2+()，-2)2=4,

則圓心坐標(biāo)為(一1,2),

又因?yàn)閳Af+V+Zr—4y+1=0關(guān)于直線x—)，+/=()對稱，

故由圓的對稱性可知，圓心(-1,2)在直線x—y+/=0上,

則t=y—x=2—{—\)=3.

3.(多選)已知圓C：丁+)，2—4%+63，+11=0與點(diǎn)40,-5),則()

A.圓C的半徑為2

B.點(diǎn)A在圓C外

C.點(diǎn)A在圓C內(nèi)

D.點(diǎn)A與圓C上任一點(diǎn)距離的最小值為應(yīng)

答案BD

解析因?yàn)閤24-y2-4x+6v+11=0,即(x-2)2+(y+3)2=2,所以圓心為CQ,-3),半徑r=V2，故A錯(cuò)

誤；

又|AC|=J(2-0)2+(-3+5/=2花〉/?,所以點(diǎn)A在圓。外，故B正確，C錯(cuò)誤；

因?yàn)閨AC'|=2V2,所以點(diǎn)A與圓。上任一點(diǎn)距離的最小值為|ACLr=V2,故D正確.

4.以點(diǎn)A(0,-1),8(2,1)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為.

答案(x-l)2+y2=2

解析由題意可知，圓心為線段AB的中點(diǎn)(1,0),且|AB|=J(0-2)2+(-l-l)2=2魚,

所以圓的半徑「二￥=我，

因此，所求圓的方程為。―1)2+)，2=2.

I.掌握圓的兩個(gè)性質(zhì)

(1)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；

(2)圓心在任i弦的中垂線上.

2.牢記兩個(gè)相關(guān)結(jié)論

(1)圓的“直徑式”方程：以A(X1，＞,|),8(X2，＞2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(X—X1)(X—X2)+(y—巾)()，一)，2)=0.

(2)圓的參數(shù)方程：圓心為3,b),半徑為r的圓的參數(shù)方程為f=Q+r8sa其中。為參數(shù)，可用來設(shè)圓上

(V=b+rsin。，

的點(diǎn)的坐標(biāo).

題型一圓的方程

例1設(shè)OM的圓心M在直線2x+y—1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在OM上，則OM的方程

為?

答案(X—1)2+。+1)2=5

解析方法一設(shè)。M的方程為。一。)2+°，-b)2=，(/>0),

2。+匕-1=0,(a=l,

(3-Q)2+/=r2,解得(匕二一i,

(a2+(l-Z))2=r2,(r2=5,

。M的方程為(x—1)2+(y+1)2=5.

方法二設(shè)OM的方程為,x2+/+D.r+Ey+F=O(Z)2+E2-4F>0),

則M(-《,-f),

仔?(一9+(—§T=。，(D=-2f

，J9+3O+F=0,解得彳E=2,

ll+E+『=0,〔F=一3,

，0M的方程為^+/-2r+2y-3=0,

即Ct-l)2+G，+l)2=5.

方法三設(shè)A(3,0),8(0,1),?！钡陌霃綖閞,

則&冊=吾=一]線段A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(I，3，

?,?線段A8的垂直平分線方程為廣；31一|),

即3x—y—4=0.

聯(lián)立產(chǎn)7-4=0,解得『=1,..M(],_]),

(2x+y-1=0,(y=-1,

??.7=網(wǎng)川2=(3—+[()_(_1)f=5,

???OM的方程為。-1)2+。+1)2=5.

思維升華求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(〃，力和半徑,?有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出〃"，/?的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,產(chǎn)的方程組，進(jìn)而求出。，E,/的值.

設(shè)M(x,)，)，且A(-2,0),BQ,0),

由|肌4|二魚|加用，得。+2)2+)?=2。-2)2+2)，2,

化簡得M的軌跡方程為圓(%—6)2+)，2=32()W0),半徑r=4或,

如圖，有5.8巧|4卦「=8心

所以△MA8面積的最大值為8企.

命題點(diǎn)2定義法

例3已知圓C(x—1)2+。-1)2=1,點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，AM與圓相切，且|AM|=2,則點(diǎn)A的軌跡

方程是()

A.y2=4x

B.x2+/-2x-2y-3=0

C.x2+y2-2y-3=0

D.y2=-4x

答案B

解析因?yàn)閳AC：Q?—1)2+。-1)2=1,

所以圓心。(1,1),半徑r=l,

因?yàn)辄c(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以|MC1=I,

又AM與圓相切，且|AM|=2,

則14cl=J|MC|2+MM|2=V5,

設(shè)AQ,y),則(x—1)2+。-1產(chǎn)=5,

即W+y2_2x_2y_3=0,

所以點(diǎn)A的軌跡方程為2y-3=0.

命題點(diǎn)3相關(guān)點(diǎn)代入法

例4(2024?新課標(biāo)全國II)已知曲線C：X24-/=16(3'>0),從。上任意一點(diǎn)P向x軸作庭線段PP',P'

為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.g+?=1。>0)B.g+?=1。>0)

C.fJ+y=10>0)D.(+9=1G>0)

答案A

解析設(shè)點(diǎn),y),

則P(.r，州)，P\x,0),

因?yàn)镸為PP，的中點(diǎn)，

所以g=2y,即P(x,2y),

又P在曲線x2+產(chǎn)=16。>0)上,

所以1+4V=16()>0),

即5+?=10>0),

即點(diǎn)M的軌跡方程為亡+^=l(v>0).

164

思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法

(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.

(3)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.

跟蹤訓(xùn)練2已知RtZ\A8C的斜邊為A8,且4—1，0),8(3,0).求:

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊8c的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解⑴方法一設(shè)C(x,y),因?yàn)锳,8,C三點(diǎn)不共線，所以yWO.

因?yàn)锳C1BC，且AC,BC斜率均存在，

所以Me以。=一1,

又以c=W，皿=土

所以備三=一

化簡得寸十,，2-2丫-3=0.

因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為r+/-2r-3=0(>^0),即1)2+)2=4?！?)).

方法二設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|CD|=jA8|=2.由圓

的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以0(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x

軸的交點(diǎn)).

所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為

(x—1尸+)2=4(),：/：0).

⑵設(shè)M(x,y),C(xo,y0),

因?yàn)锽(3,0),且M是線段8C的中點(diǎn)，

所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得工=第,)=竽，

所以M=2.V—3,yo=2y.

由(I)知，點(diǎn)C的軌跡方程為

(x-1尸+9=4(k0),

將xo=2x—3,)，o=2y代入得(2x—乙產(chǎn)+(2)，)2=4。力0),即(1-2)2+尸=1()孚0).

因此直角邊4C的中點(diǎn)M的軌跡方程為

(x—2尸+)2=1()￥0).

■微拓展■

阿波羅尼斯圓

“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A(?。，0),B(a,0)(加>0)的距離之比為正數(shù)"/IWI)的點(diǎn)的軌跡是

以C^a,0)為圓心，|怒|為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓.

典例(1)設(shè)4,8是平面上兩點(diǎn)，則滿足震二&(其中改為常數(shù)，Q0且岸1)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，已知A(V6,

0),3件，0),且女=直，則點(diǎn)P所在圓M的方程為.

答案x2+>,2=3

解析設(shè)P(.jy),由題意可得，罌二四，

即儼川二企仍用，

2

則(%-A/6)2+.y2=2Kx-y)+y2,

整理得F+>2=3.

(2)已知在△ABC中，角人，8,C的對邊分別為a,b,c,sinA=2sinB,acosB+bcos4=2,則△人BC面積的

最大值為.

答案;

3

解析依題意，由sinA=2sinB,

得18cl=2HQ,“cosB+bcosA

a2+c2-b2b2+c2-a2

=--------+---------=c=2,

2c2C

即|A陰=2,以AB邊所在的直線為x軸，線段A8的垂直平分線為)，軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)A(1,0),8(-1,0),C(x,y),#0,

由|8C|=2|Aq,則C的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為卜；)2+)2=：,x#0,

邊A8上的高的最大值為(，

所以(S》BC)max=

題型三與圓有關(guān)的最值問題

命題點(diǎn)1利用幾何性質(zhì)求最值

例5(多選)已知實(shí)數(shù)4，y滿足人2+)?——+3=0,貝ij()

A.當(dāng)xHO時(shí)，丫的最小值是一遮

X

BM+y2的最小值是1

C.y-x的最小值是2-V2

D.|x+)，+3|的最小值為2

答案BC

解析由W+y2—4y+3=0,得f+()，-2尸=1.該方程表示圓心為C(0,2),半徑r=l的圓.

設(shè)(=總20),則k表示圓上的點(diǎn)(除去點(diǎn)(0,1)和(0,3))與原點(diǎn)0(0,0)連線的斜率，

由)=心心之0),則Tlwi

J-

解得攵28或攵W-H,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)镕+)，2表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，又圓心在)'軸上，

所以當(dāng)X=0,)，=1時(shí)，/+)，2取得最小值，且最小值為1,故B正確；

設(shè)廠,則y=x+b"表示當(dāng)直線y=x+力與圓有公共點(diǎn)時(shí)，直線在)，軸上的截距，

則W1,

J"5】)?

解得2—&W8W2+或,

即yr的最小值是2V2,故C正確；

卜+)43|表示圓上的點(diǎn)到直線x+)，+3=0距離的魚倍，

圓心(0,2)到直線x+y+3=O的距離為d=*,

則|x+y+3|的最小值為&X償-1)=5-&，故D錯(cuò)誤.

命題點(diǎn)2利用對稱性求最值

例6已知A(O,2),點(diǎn)夕在直線x+y+2=0上，點(diǎn)。在圓C：產(chǎn)+)，2—41一為=0上，則儼A|+|PQ的

最小值是.

答案2遍

解析因?yàn)閳AC:f+)2—4x—2)，=0,

即(x—2)2+。-1產(chǎn)=5,

所以圓。是圓心為C(2,1),半徑—二遮的圓.

設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點(diǎn)為A\m,〃)，

'm+0

+手+2=0,

所以2

n-2

二1,

、m-0

771=-4

'故A'(—4,-2).

(n=-2,

連接AC交圓C于。(圖略)，交直線x+y+2=0于P,此時(shí)，|PA1+|PQ|取得最小值，

由對稱性可知|PA|+|PQ=|P4l+|PQ=|A'Q=HCl-r=2遍.

命題點(diǎn)3利用函數(shù)求最值

例7設(shè)點(diǎn)P(x,四是圓/十()，-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0),B(—2,0).則萬?麗的最大值

為

答案12

解析方法一由題意，得而二(2—x,~y),

PB={-2-x,—y),

所以正?麗+)，-4,

由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程

3產(chǎn)=1,故F=一()，-3尸+1,

所以刀?麗=一0—3)2+1+)2—4

=6y-12.

易知2WyW4,所以當(dāng)y=4時(shí)，西?麗的值最大，最大值為6X4-12=12.

方法二(極化恒等式)

由題意知線段AB的中點(diǎn)為0(0,0),瓦5=(4,0),

PAPB=-[(PA￥PB)2-(PA-PB)2]

4

=Pdz--BA2=\P0\1-4,

4

易知|沔F的最大值為[J(0-0)2+(3-0)2+1]2=16,

所以刀?麗的最大值為12.

思維升華與圓有關(guān)的最值問題的求解方法

(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如〃=號,t=ax^rby,(x—。)2+。一4形式的最值問題.

(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判

別式法、基本不等式法等求最值.

⑶求解形如IPM+IPM(其中M,N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動(dòng)化

定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距禹轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直’，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩

線段之和，一般要通過對稱性解決.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024?商洛模擬)已知P(xo,州)是圓C：/+爐一2工一2)，+1=()上任意一點(diǎn)，則”的最

大值為()

A.-2B.--

2

c.-

33

答案D

解析設(shè)攵=叫，

x0-3

變形可得“口)一3)一泗一1=0,則”的幾何意義為直線左。一3)一)，-1=0的斜率，

的)-3

圓C：X2+y2——2y+1=0可化為。-1)2+()，-1)2=1,所以圓。的圓心為C(1,1),半徑為I.

因?yàn)镻(x(),)?)是圓C：.r+y2—2.v—2y4-1=0上任意一點(diǎn)，

所以圓C與直線?x—3)—)，-1=0有公共點(diǎn)，

即圓。的圓心C(1,1)到直線k(x—3)—y—l=0的距離不大于圓C的半徑，

所以,

州+1

解得與,

JD

即”的最大值為1

X0~33

(2)已知圓C：(x—3)2+(y—4)2=l,設(shè)點(diǎn)f是圓。上的動(dòng)點(diǎn).記d=|P8/+|PA|2,其中40,1),5(0,-

1),則d的最大值為.

答案74

解析設(shè)P(M，州),則d=|P8F+|P4|2=%］+(yo+1)2+據(jù)+°，0-1)2=2(密+光)+2,就+%表示圓上任一

點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，，(就+*)1m=(5+1)2=36,...4射=74.

課時(shí)精練

［分值：90分］

I。知識過關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)

1.(2024?北京)圓f+9-2A.+6),二。的圓心到直線工一)，+2=0的電離為()

A.V2B.2

C.3D.3V2

答案D

解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

得(X—1)2+G，+3)2=10,

所以該圓的圓心(1,—3)到直線X—y+2=0的距離為「⑹12|=捻=3或

小2+(一1)2

2.圓心在y軸上，半徑為2,且過點(diǎn)(2,4)的圓的方程為()

A.x24-ty—1)2=1

B.(X-2)24-/=4

C(x-2)2+(y—守=4

DY+G，-4尸=4

答案D

解析依題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,b),則圓的方程為一與2=4,又22+(4-^)2=4,解得b=4,所以圓

的方程為4尸=4.

3.(2024?西安模擬)若過點(diǎn)尸(0,1)可作圓『十92A4y+a=0的兩條切線，則a的取值范圍是()

A.(3,+8)3)

C.(3,5)D.(5,+8)

答案C

解析圓X2+/-2X-4>-+?=0,即圓(工-1)2+6，-2)2=5—。，則5-a>0,解得。<5,又過點(diǎn)P(0,1)有兩

條切線，則點(diǎn)p在圓外，J(1-0)2+(2-1)2>G^7,即2>5—〃，解得a>3,故3<r/<5.

4.已知A(—1,0),8(1,0),若點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P到直線/：〃?*一遍)+〃。，-1)=0的距離的最大

值為()

A.lB.2

C.3D.4

答案C

解析由FALPB可得點(diǎn)尸的軌跡為以線段A3為直徑的圓(去除點(diǎn)A和點(diǎn)B),圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為

1,又直線/：〃仆一百)+〃6—1)=0,其過定點(diǎn)(百，1),故距離的最大值為J3+1+1=3.

5.(2024?南寧模擬)已知坐標(biāo)原點(diǎn)。在直線〃?x-2)=2/〃+8上的對影為點(diǎn)P(x°,找)，則血，刈必然滿足的關(guān)

系是()

22

A.(xo+l)+(yo-2)=5

22

B.(x0-l)+(y0+2)=5

22

C.(xo+l)+(yo-2)=2O

22

D.(xo-l)+(yo+2)=2O

答案B

解析直線I:〃口—2y=2〃?+8,

即m(x-2)—2(y+4)=0恒過定點(diǎn)4(2,-4),

由原點(diǎn)0在直線/上的射影為點(diǎn)P,得OPJJ,

則點(diǎn)戶在以。4為直徑的圓上(去除點(diǎn)(2,0)),

該圓圓心為(1,-2),半徑為r=Jl2+(-2)2=V5,

所以同，泗必然滿足的關(guān)系是(q-l)2+(yo+2)2=5.

6.已知〃?WR,直線八："a一y—"1+3=0與直線，2：X+〃少一〃?一5=0相交于點(diǎn)P,則P到直線2r+y+7=

0的距離的取值范圍是()

A.|V5,3V5]B.(V5,3遍|

C.[2V5,4俑D.(2V§,4俑

答案D

解析因?yàn)槁?+(-1)?〃，=(),

所以直線人與/2始終垂直，

又由條件可得直線恒過定點(diǎn)M(1,3),直線恒過定點(diǎn)M5,I),

所以兩直線的交點(diǎn)尸在以線段為直徑的圓上，

該圓的圓心坐標(biāo)為(3,2),半徑為加N]=gJ(5-1)2+(1-3)2=V5,

所以該圓的方程為(X—3)2+()，-2-=5,

圓上點(diǎn)(1,1)是過定點(diǎn)M(1,3)且斜率不存在的直線與過定點(diǎn)M5,1)且斜率為0的直線的交點(diǎn)，故點(diǎn)P的

軌跡不經(jīng)過點(diǎn)(1,1).

圓心(3,2)到直線2r+)，+7=0的距離仁等工挈=3遙，

收+12

所以圓上的點(diǎn)到直線21+)，+7=0的距離的最大值和最小值分另J為4通和2代,

又點(diǎn)(1,1)到直線2x+)，+7=0的距離為2縣,應(yīng)舍去，

所以P到直線2丫+)，+7=0的距離的取值范圍是(2向，4通］.

二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)

7.設(shè)圓C：(x—攵)2+()，一攵)2=4伏ER),則下列命題正確的是()

A.任意圓的面積都是47r

B.存在使得圓C過點(diǎn)(3,0)

C.經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓。有且只有一個(gè)

D.不論k如何變化，圓心。始終在一條直線上

答案AD

解析由于對任意圓的半徑都是2,故面積都是4花，A正確；

由于(3T)2+(0T)2=2d—6攵+9=2,一丁十羅》4,故圓。必定不過點(diǎn)(3,0),B錯(cuò)誤；

對火=2-&和&=2+夜，均有(2—々)2=2,故(2—攵)2+(2—々)2=4,即圓C經(jīng)過點(diǎn)(2,2),C錯(cuò)誤；

圓心C(k,攵)始終在直線y=x上，D正確.

8.(2024?丹東模擬)已知曲線E：/+)，2-2|川一21yl=0(x,)，不同時(shí)為0),則()

A.曲線E圍成圖形的面積為8+4兀

B.曲線E的長度為4或兀

C.曲線E上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為企

D.曲線E上任意兩點(diǎn)間最大距離為4V2

答案ABD

解析當(dāng)x》(),>20,且x,y不同時(shí)為0時(shí)，曲線E：(X—1)2+。-1)2=2;

當(dāng)工20,產(chǎn)0時(shí)，曲線E：(匯一1)2+°，+1)2=2；

當(dāng)x<0,歹20時(shí)，曲線E：(X+1)2+°，-1)2=2；

當(dāng)x<0,3<0時(shí)，曲線E：。+1)?+。+1尸=2.

畫出曲線E的圖形，如圖所不.

對于A,曲線E圍成的圖形可分割為一個(gè)邊長為2或的正方形和四個(gè)半徑為企的半圓，

故面積為2魚X2a+27tX(魚)2=8+4兀,故A正確；

對于B,曲線E■由四個(gè)半徑為四的半圓組成，故周長為2X2兀＞：a=4a兀，故B正確；

對于C,曲線E上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為2,故C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)曲線石上任意兩點(diǎn)的連線過圓心及原點(diǎn)時(shí)，距寓最大，最大為4V2，故D正確.

三、填空題(每小題5分，共10分)

9.已知P(〃2,〃)是圓C：f+y2-6.v+23=o上一點(diǎn)，則-1)2+幾2的最小值是.

答案2a

解析表示圓上的點(diǎn)P(ni,〃)到點(diǎn)(1,0)的距離，

由W+)，2—8X—6.V+23=0可化為。-4)2+()，-3)2=2,

則圓心為(4,3),半徑為為,點(diǎn)(1,0)到圓心的距離為J(1-4)2+(0-3/=3企,

所以點(diǎn)P(m,〃)到點(diǎn)(1,0)的距離的最小值為3A/2-V2=2V2,

即-1)2+幾2的最小值是2V2.

10.已知圓C以。(1,1)為圓心，巨與直線"^一)，一2〃7=0(〃?￡陽相切，則滿足以上條件的圓。的半徑最大

時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案(X-1)2+(.V-1)2=2

解析直線nLx—y—2m=0可化為m(x—2)—y=0,

X-2—0；._x=2,

解得ze=s

{-y=o,.y=o,

所以直線過定點(diǎn)A(2,0),

當(dāng)C4與直線mx—y—2陽=0垂直時(shí)，圓C的半徑最大，半徑為J(2^7)2+(0^^)2=&,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(工一1)2=2.

四、解答題(共27分)

11.(13分)已知圓C的圓心在x軸上,并且過4(1,3),5(3,3)兩點(diǎn).

(1)求圓。的方程；(6分)

(2)若P為圓C上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)M(8,0),點(diǎn)。滿足麗=3麗，求點(diǎn)。的軌跡方程.(7分)

解(1)由題意可知，線段A3的中點(diǎn)為(2,3),08=0,所以線段AB的垂直平分線方程為x=2,

它與工軸的交點(diǎn)為圓心C(2,0),

又半徑r=HC|=m,

所以圓C的方程為。-2)2+)?=10.

(2)設(shè)P(x(),yo)，Q(x,y),

由麗=3Q必,得(8—xo,—yo)=3(8—x,—y),

XQ—3x—16,

所以

M)=3y,

又點(diǎn)P在圓。上，故(即一2y+*=10,

所以(3x-18)2+(3y)2=10,

化簡得點(diǎn)Q的軌跡方程為(工一6)2+『=三

12.(14分)已知圓G經(jīng)過點(diǎn)41,3)和8(2,4),圓心在直線知一>一1=0上.

(1)求圓G的方程；(6分)

(2)若M,N分別是圓G和圓。2：(x+3)2+()，+4)2=9上的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線x+y=0上的點(diǎn)，求|PM|+|PN|

的最小值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(8分)

解(1)由題意知線段A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為(|,|),

,4-3.

???線段AB的垂直平分線方程為y~\=x—3,

2.

即)=5—x,

仁二解得x=2,

聯(lián)立

尸3,

即圓G的圓心為Ci(2,3),半徑r=|AGI=l,

其方程為(x—2)2+()，-3)2=1.

(2)注意到點(diǎn)0(2,3)和點(diǎn)。2(—