17.2用公式法分解因式（第1課時(shí)）

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式爽法公式的基礎(chǔ)上，研究具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式的方法一一公式

法；學(xué)習(xí)運(yùn)用平方差公式來(lái)分解因式。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課是在學(xué)生已掌握整式乘法公式的基礎(chǔ)上，逆向研究如何將符合序形式的多項(xiàng)式，轉(zhuǎn)化為

份的整式乘枳形式，即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。它是因式分解方法的拓展，也為后續(xù)學(xué)習(xí)完

全平方公式等因式分解方法、分式化簡(jiǎn)等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)，是代數(shù)運(yùn)算體系中“逆向思維”應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：探索并運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

i.目標(biāo)

（1）探索并運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。

（2）體會(huì)逆向思維，轉(zhuǎn)化思想和整體思想，發(fā)展代數(shù)推理能力和運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需先回顧整式乘法中的平方差公式，理解其“從整式乘積到多項(xiàng)式”的正向運(yùn)算邏輯，再逆

向推導(dǎo)“從多項(xiàng)式到整式乘積”的因式分解形式，明確與中a、b可代表單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等

形式。通過實(shí)例練習(xí)，能準(zhǔn)確識(shí)別多項(xiàng)式是否符合平方差公式的特征，并熟練運(yùn)用公式將其分解為兩個(gè)整

式的乘積，掌握公式法分解因式的基本操作流程。

（2）從乘法的平方差公式到因式分解的平方差公式，引導(dǎo)學(xué)生突破“正向運(yùn)算慣性”，理解數(shù)學(xué)運(yùn)算

的雙向性，培養(yǎng)思維的靈活性。將陌生的因式分解問題，轉(zhuǎn)化為已熟悉的平方差公式形式，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)

單化，建立新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化，提升問題轉(zhuǎn)化與解決能力。用整體思想識(shí)別平方差結(jié)構(gòu)，拓展對(duì)公式中

“字母”含義的理解。在探索公式應(yīng)用、分析多項(xiàng)式特征、嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)分解過程中，鍛煉代數(shù)推理能力；通

過規(guī)范書寫分解步驟、細(xì)致檢查符號(hào)等，培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。

三、教學(xué)問題診斷分析

1.對(duì)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征理解不深，忽略兩項(xiàng)符號(hào)需相反、均為平方形式等條件。應(yīng)對(duì)策略：通過對(duì)

比練習(xí)，分析是否滿足“兩項(xiàng)、異號(hào)、平方項(xiàng)”特征，結(jié)合整式乘法驗(yàn)證，加深對(duì)公式結(jié)構(gòu)的精準(zhǔn)識(shí)別。

2.當(dāng)4、h為多項(xiàng)式時(shí)，難以用整體思想識(shí)別平方差結(jié)構(gòu)，不知如何下手應(yīng)對(duì)策略：先從簡(jiǎn)單的“整

體代換“例子入手，讓學(xué)生理解整體思想的應(yīng)用；再逐步過渡到直接分析多項(xiàng)式，引導(dǎo)學(xué)生觀察式子是否具

備“兩個(gè)整體的平方差”形式，多進(jìn)行此類變式練習(xí)，強(qiáng)化整體思想的運(yùn)用，突破思維障礙。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：熟練運(yùn)用平方差公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

原題重現(xiàn)計(jì)算紅色區(qū)域的面積:

左圖：右圖：(a+b)(a-b)

因?yàn)閮蓚€(gè)圖中紅色區(qū)域的面積相等，所以a2~b2=（a+b）（a-b）.

設(shè)計(jì)意圖：借助幾何圖形面積計(jì)算，喚醒學(xué)生對(duì)整式乘法中圖形面積計(jì)算的知識(shí)儲(chǔ)備，鼠直觀的方式

呈現(xiàn)因式分解的平方差公式/_/=（4+〃）3_/力將代數(shù)公式與幾何意義關(guān)聯(lián)，降低公式的理解難度。

（二）合作探究

2=（0+力）（〃一力）.

追問1這個(gè)等式的左邊有什么特點(diǎn)?

答這個(gè)等式的左邊是兩個(gè)數(shù)的平方差的形式.

追問2這個(gè)等式的右邊有什么特點(diǎn)？

答這個(gè)等式的右邊是形如a+b的多項(xiàng)式與形如a-b的多項(xiàng)式相乘.

追問3你能用文字語(yǔ)言描述這個(gè)規(guī)律嗎？

答兩個(gè)數(shù)（式子）的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的和與這兩個(gè)數(shù)（式子）的差的積.

歸納（因式分解的）平方差公式

符號(hào)語(yǔ)言a2-b2=(a+b)(a-b).

文字語(yǔ)言兩個(gè)數(shù)（式子）的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的和與這兩個(gè)數(shù)（式子）的差的積.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從式子左右兩邊的形式特點(diǎn)，逐步抽象出平方差公式的本質(zhì)規(guī)律，并用文字語(yǔ)言

精準(zhǔn)描述，幫助學(xué)生深度理解公式結(jié)構(gòu)，為后續(xù)運(yùn)用公式分解因式筑牢認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分

析、歸納的數(shù)學(xué)思維能力。

(三)典例分析

例1分解因式：

(1)4^-9；(2)cr-25b2.

解⑴原式=(2x)2—32=(2x+3)(?3)；

⑵原式二4-(5。)2=(。+5。)("-5b).

例2分解因式：

(1)x2-/；(2)(x+p)2—(x+4.

解⑴原式才一^廣^+產(chǎn)乂仁河.

(2)原式二[(x+p)+(x+g)(x+p)_(x+g)]=(2t+p+g)(p_q).

溫馨提示1.看成整體的部分需要添括號(hào)；

2.大括號(hào)時(shí)要注意是否需要變號(hào).

設(shè)計(jì)意圖：通過例1讓學(xué)生初步熟悉平方差公式的應(yīng)用；例2則進(jìn)階到含多項(xiàng)式，需運(yùn)用整體思想的

情況，拓寬公式的應(yīng)用場(chǎng)景。強(qiáng)調(diào)添括號(hào)、去括號(hào)等細(xì)節(jié)，幫助學(xué)生規(guī)范解題步驟，逐步提升運(yùn)用平方差

公式分解因式的熟練度與靈活度。

(四)鞏固練習(xí)

1.下列多項(xiàng)式能否利用平方差公式分解因式？為什么？

(1)f+y2：不能.

⑵x2-/；能，原式二(x+)，)(x-y).

(3)-f+y2:能，原式下一小二任+或下).

(4)-A2-/.不能.

2.因式分解：a2-4(a+b)2=(D)

A.(3a+2b)(a-2b)B.(5a+4b)(-3a-4b)

C.~(5a+4b)(3a+4b)D.-(3a+2b)(a+2b)

3.已知〃?+〃=4,W2-/?2=-8?則〃卜〃的值為(B)

A.-4B.-2C.2D.4

4.分解因式：

⑶/一%.

(1)36-m2；(2)49/r-l；

(4)81?2-16Z?4；(5)4b2-(b?c)2；(6)(fn-2n)2-(m-2n)2.

解(1)原式=62-〃戶=(6+"?)(6-〃?).

(2)原式=(7〃)2-12=(7〃+1)(7〃-1).

111

(3)原式="一(一份2=(〃+一＞)3—b).

555

(4)原式=(9。尸一(4/)2=(9。+4/)(9。-4序).

(5)原式=(2力2_(}+(.)242b+S+c)][2b_S+c)]=(30+c)S_@.

(6)原式=[Q〃+2〃)+(〃L2〃)]|。〃+2〃)一(〃7-2〃)]=2〃八4〃二8，〃〃.

5.計(jì)算下列各題：

(1)1012-992：(2)53.5*12X3454-46.52X4.

解(1)原式=(101+99)(101-99)=200x2=400；

⑵原式=4(53.52-46.52)=4(53.5+46.5)(53.5—465)=4x100x7=2800.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情近，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

（五）歸納總結(jié)

因式分解一平方差公式法

符號(hào)語(yǔ)言a2-b2=(a-b)(a-b),

兩個(gè)數(shù)（式子）的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的電與這

文字語(yǔ)言

兩個(gè)數(shù)（式于）的差的積.

1.看成整體的部分需要添括號(hào)；

注意事項(xiàng)

2.去括號(hào)時(shí)要注意是否需要空生.

（六）感受中考

1.（2023?浙江杭州）分解因式：4a2/=（A）

A.（2。-1）（2。+1）B.（a-2）Q+2）C.（a-4）（a+l）D.（4?-1）（?+1）

2.（2025?山西）因式分解：機(jī)L16=.

3.（2025,江蘇揚(yáng)州）分解因式：%4=（4+2）（a-2）.

4.（2025?江蘇連云港）分解因式：本-9=（x-3Mx+3）.

5.（2023?河北）若k為任意整數(shù)，則（24+3六必2的值總能（B）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

解：（2什3六4必

=(2A+3+2A)(2A+3-2A)

=3(4左+3),

???3(4什3)能被3整除，

???(2什3六4戶的值總能被3整除，

6.(2025?四川內(nèi)江)已知實(shí)數(shù)m匕滿足a+b=2,則二從+《二4.

解：*.*a+b=2,

22

:.a-b+4b=(a+b')(a-b')+4b=2(a-b)+4b=2(<a+b')=4

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完新知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，

檢臉學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。

(七)小結(jié)梳理

相反變形

整式的乘法因式分解

具體仔法

特殊影式

提公因式法

▼

平方差公式相反變力》平方差公式法

(a+b)(a-b)=a2-b2a2-h2=(a+h)(a-h)

設(shè)計(jì)意圖：借助思維導(dǎo)圖，清晰呈現(xiàn)整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，以及平方差公式在兩者間的反

向變形聯(lián)系。梳理提公因式法、平方差公式法等因式分解方法，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)框架，理解知識(shí)

間的邏輯關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化對(duì)網(wǎng)式分解與整式乘法體系的整體認(rèn)知。

(八)布置作業(yè)

L必做題:習(xí)題17.2第1,4(2)?.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題17.2第7題.

五、教學(xué)反思

17.2用公式法分解因式(第2課時(shí))

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了因式分解的平方差公式的基礎(chǔ)上，研究第二個(gè)公式一一完全平方公式，學(xué)習(xí)運(yùn)

用完全平方公式來(lái)分解形式為完全平方式的多項(xiàng)式。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課的核心是引導(dǎo)學(xué)生從整式乘法的完全平方公式逆向思考，將完全平方式分解為整式乘積的形式。

這既是對(duì)因式分解方法的補(bǔ)充與完善，也深化了“整式乘法與因式分解互逆”的邏輯關(guān)系，為后續(xù)更復(fù)雜

的代數(shù)式變形、分式運(yùn)算等內(nèi)容提供重要工具，是代數(shù)運(yùn)算體系中逆向思維應(yīng)用的延續(xù)與拓展。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：探索并運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）了解完全平方式及公式法的概念，會(huì)用完全平方公式進(jìn)行因式分解。

（2）體會(huì)逆向思維與轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展代數(shù)推理能力和運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需明確完全平方式的特征——由三項(xiàng)組成，其中兩項(xiàng)為平方項(xiàng)（符號(hào)相同），第三項(xiàng)為這兩

項(xiàng)底數(shù)乘積的2倍（符號(hào)可正可負(fù)）；同時(shí)理解完全平方公式因式分解的形式：排_(tái)L2c7"〃2=（aM）2,理解，，完

全平方式''與"完全平方公式''的聯(lián)系與區(qū)別。通過實(shí)例練習(xí)，能準(zhǔn)確識(shí)別多項(xiàng)式是否為完全平方式，熟練運(yùn)

用完全平方公式將其分解為整式平方的形式。

（2）從整式乘法中“和（差）的平方展開為完全平方式”到因式分解中“完全平方式還原為和（差）

的平方”，進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算雙向性的理解，感受逆向思維和轉(zhuǎn)化思想。在分析多項(xiàng)式是否為完全平

方式、推導(dǎo)分解的過程中，鍛煉代數(shù)推理能力；通過規(guī)范書寫步驟、檢查符號(hào)與系數(shù)的準(zhǔn)確性，提升運(yùn)算

素養(yǎng)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生可能存在的問題：對(duì)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征把握不清，易忽略，'兩項(xiàng)為平方項(xiàng)且符號(hào)相同”“第三項(xiàng)

為兩底數(shù)乘積的2倍”等關(guān)鍵條件；分解時(shí)易混淆符號(hào)（如。2—4"+4從錯(cuò)解為3+2〃）2）。應(yīng)對(duì)策略：通過對(duì)

比練習(xí)強(qiáng)化結(jié)構(gòu)辨析，總結(jié)“找平方項(xiàng)―驗(yàn)中間項(xiàng)一定符號(hào)”的判斷流程，結(jié)合整式乘法驗(yàn)證分解結(jié)果的正確

性，通過錯(cuò)題展示引導(dǎo)學(xué)生反思，總結(jié)解題技巧。

基「以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：熟練運(yùn)用完全平方公式對(duì)■多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

原題重現(xiàn)用兩種方法表示圖中圖形的面枳：

第一種算法：『+2"+瓜，第二種算法：3+加2,所以4+2加廬=3+4.

第一種算法：a2-2ab+b2,第二種算法：（〃-匕尸,所以a2-2ab+b2=(a-b)2.

設(shè)計(jì)意圖：借助幾何圖形面積計(jì)算，喚醒學(xué)生對(duì)整式乘法6圖形面積計(jì)算的知識(shí)儲(chǔ)備，以直觀的方式

呈現(xiàn)因式分解的完全平方公式。2±2曲+/=3±切2,將代數(shù)公式與幾何意義關(guān)聯(lián)，降低公式的理解難度。

（二）合作探究

a2±2ab+b2=(a±b)2.

追問1這個(gè)等式的左邊有什么特點(diǎn)？

答等式的左邊是兩項(xiàng)的平方和（/+〃）加上（或減去）兩項(xiàng)乘積的二倍（2岫）.

追問2這個(gè)等式的右邊有什么特點(diǎn)？

答等式的右邊是形如3土〃尸的多項(xiàng)式相乘.

追問3你能用文字語(yǔ)言描述這個(gè)規(guī)律嗎？

答兩個(gè)數(shù)（式子）的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)（式子）的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的和（或差）的

平方.

歸納（因式分解的）完全平方公式

符號(hào)語(yǔ)言a2+2ab+b2=（a+b）2,a2~2ab+b2=（a-b）2.

文字語(yǔ)言兩個(gè)數(shù)（式子）的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)（式子）的積的2倍,等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的和（或

差）的平方.

概念完全平方式

我們把。2+2帥+尻和。2_2出計(jì)/這樣的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式

的多項(xiàng)式分解因式.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從式子左右兩邊的形式特點(diǎn)，逐步抽象出完全平方公式的本質(zhì)規(guī)律，并用文字語(yǔ)

言精準(zhǔn)描述，幫助學(xué)生深度理解公式結(jié)構(gòu)，為后續(xù)運(yùn)用公式分解因式筑牢認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、

分析、歸納的數(shù)學(xué)思維能力。

(三)典例分析

例3分解因式：

(I)f+4x+4；(2)16A2-24X+9.

解(1)原式=/+2土2+22=。+2)2；

(2)原式=(4八)2-24口3+32=(4—3)2.

例4分解因式：

(1)(a+b)2-12(A+Z>)+36；(2)-r+4jr>^-4y.

解⑴原式=(a+份2—2-(a+6)-6+62=(a+〃—6)2.

溫馨提示公式中的。和〃可以是數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

解(2)原式=一。2—4毛)，+4〉2戶一[1一2立-2)，+(2)，)2]=一(廠2)，)2.

溫馨提示添括號(hào)時(shí)要注意是否需要變號(hào).

概念把乘法公式的等號(hào)兩邊互換，就可以得到把某些特殊形式的多項(xiàng)式分解因式的公式.運(yùn)用公式把

多項(xiàng)式分解因式的方法叫作公式法.

設(shè)計(jì)意圖：通過例3讓學(xué)生初步熟悉完全平方公式的應(yīng)用；例4則進(jìn)階到含多項(xiàng)式，需運(yùn)用整體思想

或提取負(fù)號(hào)的情況，拓寬公式的應(yīng)用場(chǎng)景。強(qiáng)調(diào)添括號(hào)的細(xì)節(jié)，期助學(xué)生規(guī)范解題步驟，逐步提升運(yùn)用完

全平方公式分解因式的熟練度與靈活度。

(四)鞏固練習(xí)

1.下列多項(xiàng)式是不是完全平方式？為什么？

(1)(r-4a+4；是，原式=3-2)2.

(2)1+4a2；不是，修改：1+4?+46?.

(3)4b2+4b-1；不是，修改:4/72+4/?+1.

(4)序+而+/不是，修改：a2+2ab+b2.

2.如果f-6x+N是一個(gè)完全平方式，那么可是(B)

A.11B.9C.-11D.-9

3.如果田+16是一個(gè)完全平方式，那么機(jī)的值為_±8.

4.分解因式：

(1)a2+2a+1；(2)f-12M+36；(3)4X2-4X+1:

(4)4p2+12pq+9q2；(5)(x+y)2-10a+)，)+25；(6)-2x)id-y2.

解（1）原式="2+2.4.1+12=(a+1)2.

(2)原式=『-2N6+62=(X-6)2.

(3)原式=(2%)2-2辦,1+l2=(2r-1)2.

(4)原式=(2〃)2+2?(2〃)-3g+(3q)2=(2〃+3(7)2.

(5)原式=。+），）2-2?。+），）5+52=（工+廠5）2.

(6)原式=一儼+辦尹V）=-（1+），）2.

5.利用完全平方公式計(jì)算:

(1)1002-2X100X99+992；(2)342+34X32+162.

解(1)原式=(100-99)2=1；

(2)原式=342+2x34/16+162=(34I16)2=2500.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

（七）歸納總結(jié)

因式分解一完全平方公式法

符號(hào)

a2±2ah+b2=(a±h)2.

語(yǔ)言

文字兩個(gè)數(shù)（式子）的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)（式子）的積的2倍,

語(yǔ)言等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的和（或差）的平方.

完全我們把m+2ab+b?和〃2-2，必+髭這樣的式子叫作完全平方式,

平方式利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多項(xiàng)式分解因式.

（A）感受中考

1.（2022?湖南永州）下列因式分解正確的是（B）

A.ax+ay=a(x+y)+1B.3。+3b=3(〃+〃)

C.〃2+44+4=(〃+4)2D.a2+b=a(a+b')

2.（2024?江蘇常州）分解因式：x2-4.ry+4y2=_(x-2y)2_.

3.（2025?甘肅蘭州）因式分解：2f+4x+2=—2(X+1)2_.

4.（2025?四川成都）多項(xiàng)式4『+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，能成為一個(gè)多項(xiàng)式的平方，那么加上的單項(xiàng)式

可以是_4x_（填一個(gè)即可）.

5.（2024?山東淄博）若多項(xiàng)式敘2力盯+9產(chǎn)能用完全平方公式因式分解，則，〃的值是一±12_.

6.（2024?山東威海）因式分解：（x+2）（x+4）+l=—（x+3）2—.

解：（x+2）（x+4）+1=V2+4X+ZV+8+1=X24-6X+9=（X+3）2.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完新知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型,

檢臉學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，迂可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。

（七）小結(jié)梳理

整式的乘法囚式分解

具體方法

特聞形式1

提公因式法

一乘法公式一斗相反變形，;一公式法I

（a+b）（a-b）=a2f2a2-h2=（a+b）（a-h）

（"土〃）2=〃2±2ah+h1a1±2〃人+〃2=（〃±〃）2

設(shè)計(jì)意圖：借助思維導(dǎo)圖，清晰呈現(xiàn)整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，以及平方差公式和完全平方公

式在兩者間的反向變形聯(lián)系。梳理提公因式法、公式法等因式分解方法，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)框架，

理解知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化對(duì)因式分解與整式乘法體系的整體認(rèn)知。

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題17.2第2,4（1）題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題17.2第8題.

五、教學(xué)反思

17.2用公式法分解因式（第3課時(shí)）

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是因式分解的深入學(xué)習(xí)，主要涵蓋多次分解（包括綜合運(yùn)用提公因式法與公式法、多次運(yùn)用公

式法）、分組因式分解以及借助整式乘法化簡(jiǎn)后再進(jìn)行的因式分解，旨在幫助學(xué)生掌握更復(fù)雜的因式分解

技巧，提升對(duì)不同多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的處理能力。

2.內(nèi)容分析

多次分解體現(xiàn)了因式分解方法的綜合與遞進(jìn)，需根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn)分步選擇提公因式法或公式法，直至

每一個(gè)因式無(wú)法再分解：分組因式分解通過合理拆分組合多項(xiàng)式，將復(fù)雜整體轉(zhuǎn)化為可分別分解的部分；

借助整式乘法化簡(jiǎn)后再分解則是通過先展開、合并同類項(xiàng)等操作，將非標(biāo)準(zhǔn)形式的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為便于運(yùn)用

已有方法分解的形式，三類內(nèi)容均是對(duì)基礎(chǔ)因式分解方法的靈活延伸與深化。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：能綜合運(yùn)用提公因式法與公式法、多次運(yùn)用公式法對(duì)多項(xiàng)

式進(jìn)行因式分解。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）能綜合運(yùn)用提公因式法與公式法、多次運(yùn)用公式法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

（2）在因式分解的過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想和整體思想，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生能回憶起提公因式法和公式法的基本操作，能在復(fù)雜多項(xiàng)式中判斷何時(shí)綜合運(yùn)用提公因式法

與公式法、何時(shí)多次運(yùn)用公式法，對(duì)分解方法的適用場(chǎng)景有清晰認(rèn)知，確保分解過程規(guī)范、結(jié)果徹底，形

成對(duì)因式分解完整知識(shí)體系的掌握。

（2）學(xué)生在分解因式的過程中主動(dòng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化、整體等數(shù)學(xué)思想（如將多項(xiàng)式的某一部分視為整體代入

公式），同時(shí):通過反復(fù)練習(xí)提升運(yùn)算的準(zhǔn)確性和邏輯性，培養(yǎng)從多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)中提煉分解思路的推理能力，

實(shí)現(xiàn)知識(shí)與素養(yǎng)的協(xié)同發(fā)展。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：多次分解時(shí)步驟混亂或分解不徹底；分組因式分解時(shí)不知如何合理拆分組合多

項(xiàng)式；借助整式乘法化簡(jiǎn)時(shí)出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤或漏項(xiàng)。應(yīng)對(duì)策略：通過對(duì)比錯(cuò)誤與正確的分解結(jié)果，強(qiáng)化“分解

到每?個(gè)因式不能再分解”的意識(shí)；引導(dǎo)學(xué)生觀察多項(xiàng)式中可組成公式的部分，掌握分組拆分組合的技巧；

結(jié)合典型錯(cuò)誤案例進(jìn)行針對(duì)性練習(xí)，減少整式乘法化簡(jiǎn)的失誤；通過歸類練習(xí)，總結(jié)不同結(jié)構(gòu)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)

的優(yōu)先分解方法，幫助學(xué)生形成清晰的解題思路。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：靈活運(yùn)用提公因式法和公式法分解復(fù)雜多項(xiàng)式。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

問題我們學(xué)習(xí)了哪些分解因式的方法？

答1.提公因式法.

2.公式法：平方差公式和完全平方公式.

對(duì)于一些復(fù)雜的因式分解問題，有時(shí)需要多次運(yùn)用公式法，有時(shí)還需要綜合運(yùn)用提公因式法和公式法.

(二)合作探究

探究1分解因式：

(1)X4-/:(2)c^b-ab.

解⑴原式二(廣門」(/丘譯川皈乙丁尸譯+尸乂什丫乂廣),).

(連續(xù)使用兩次平方差公式)

(2)原式=〃〃(，-1)=〃6。+l)(o-l).

(先提取公因式，再使用平方差公式)

溫馨提示1.一般情況下，有公因式要先提取公因式.

2.分解因式，要進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.

探究2分解因式：

(1)3加+6"＞葉3。)2；(2)-cur+lcrx-a^.

解(1)原式=3.(『十與七四=3?什)，)2.

(先提取公因式，再使川完全平方公式)

(2)原式=-aa2-2or+o2)=-a(x-a)2.

(先提取公因式，再使用完全平方公式)

設(shè)計(jì)意圖：因式分解過程中，從觀察多項(xiàng)式特征(是否有公因式、符合哪種公式形式)，到選擇對(duì)應(yīng)

方法(提公因式法、平方差公式法或完全平方公式法)，再到逐步分解臉證是否徹底，能鍛煉學(xué)生的邏輯

推理和問題解決能力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)有序分析、分步處理數(shù)學(xué)問題。

(三)典例分析

例1分解困式：

(1)小y4)，；(2)/—2/+。；(3)加+2。%+〃3.

(4)~a4+16；(5)3。-6a\+3加；(6)-Ab^+Sbxy-Aby^.

解(1)原式=)，(.F-4)=y(x+2)(.r-2).

(2)原式=〃(/-2〃+1)=a(a-1)2.

(3)原式=a(x2+2or+a2)=a(x+a)2.

(4)JMit=42-(t/2)2=(4+fl2)(4-rr)=(4+d2)(2+?)(2-d).

(5)原式=3a(1-2%+x2)=3a(x-i)2.

⑹原式=-4"/-2。+9)=-4伙尸)，)2.

例2分解因式：

(1)(a-b)2+4ab；(2)(p-4)(p+l)+3p.

解(1)原A=(a2-2ab+b2)+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2.

(先借助乘法公式化簡(jiǎn)，再分解因式)

(2)原式=(/+〃-4〃-4)+3〃=〃2-4=(〃+2)(〃-2).

設(shè)計(jì)意圖：題目涵蓋多種分解類型，能讓學(xué)生熟練掌握并綜合運(yùn)用各種因式分解的基礎(chǔ)方法，讓學(xué)生

學(xué)會(huì)靈活識(shí)別、處理不同形式的多項(xiàng)式，提升應(yīng)對(duì)復(fù)雜問題時(shí)的分析、轉(zhuǎn)化能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)拆解難題，

逐步解決。

(四)鞏固練習(xí)

1.把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是(B)

A.4x)g)，)-FB.-x(x-2y)2

C.耳4;(廠4產(chǎn)小)D.r(_4xy+4)2+；t2)

2.因式分解：

(1)-3盾+24a2廠484；(2)(a2+4)2-l6『.

解⑴原式二7八/及廣處)=-3/(廠4)2；

(2)原式=(4+4)2—(4〃)2=(fl2+4+4d)(tz2+4-46/)=(a+2)2(t/-2)2.

3.下列因式分解結(jié)果正確的是(D)

A.-4/?3+12W2=-W2(4/H-12)B..￥4-1=(^2+1)(^-1)

C.f+z什4=("2>D.(a2+b2f-4a2b2=(a+b)2(a-b)2

4.因式分解

(1)a2-b2-c2-2bc;⑵4/-女-爐-/

解：26c

=i72-(/?2+2Z>c+c2)

=〃2-(b+c)2

=(a+b+c)(a-b-c),

(2)4f-2x-爐-y

=(4x2-y2)-(2x+y)

=(2x-y)(2x+y)-(2x+y)

=(2x+y)(2v-y-l).

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情近，部助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

(九)歸納總結(jié)

因式分解

1.對(duì)于一些復(fù)雜的因式分解問題，有時(shí)需要多次運(yùn)用公式法,

有時(shí)還需受綜合運(yùn)用提公因式法和公式法.

多次分解

2.分解較復(fù)雜的多項(xiàng)式時(shí)可能需要先借助整式乘法化簡(jiǎn)或?qū)?/p>

多項(xiàng)式的各項(xiàng)進(jìn)行分組，再分解因式.

1.一般情況下，有公因式要先提取公因式.