2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷?？碱}之概率

的進(jìn)一步認(rèn)識

一.選擇題（共8小題）

1.（2024秋?沁源縣期末）物理課上，同學(xué)們做“讓小燈泡亮起來”的實(shí)驗(yàn)智慧小組”的實(shí)驗(yàn)電路圖如

圖所示，其中S,S2,S3,54表示電路的開關(guān)，L表示小燈泡.當(dāng)隨機(jī)閉合兩個開關(guān)時，燈泡發(fā)光的概

2.（2025秋?神木市期中）一個不透明的盒子里有“中秋”主題和“國慶”主題的賀卡共30張,這些賀卡

的外觀、大小、質(zhì)地完全相同，每次抽卡前先將盒子里的賀卡洗勻，任意抽出一張賀卡記下主題后再放

回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，抽到“國慶”主題賀卡的頻率穩(wěn)定在0.4,則估計盒子中“中秋”

主題賀卡有（）

A.18張B.12張C.1（）張D.8張

3.（2024秋?海曙區(qū)期末）數(shù)學(xué)家皮爾遜為了研究概率問題，進(jìn)行了大量重:復(fù)拋硬幣試驗(yàn)，并用頻率來估

計概率.當(dāng)他把一枚硬幣拋擲24000次時，則下列正面朝上的次數(shù)與該實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較符合的是（）

A.11011B.12012C.13013D.14014

4.（2025秋?富錦市期中）一個不透明的袋子中有紅球、白球共10個，除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸

出一個球，記錄顏色后放回，重復(fù)100次，發(fā)現(xiàn)摸到紅球60次，則估計袋中紅球約有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

5.（2024秋?莒南縣期末）如圖，是用計算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果，下面是根據(jù)實(shí)驗(yàn)

結(jié)果所作出的四個推斷，其中合理的是（）

A.當(dāng)投擲次數(shù)是1000時，“釘尖向上”的次數(shù)是620

B.當(dāng)投擲第1000次時，“釘尖向上”的概率是0.620

C.隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率趨近于0.618,故可以估計其概率是0.618

D.若再次用計算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率一定是0.620

6.（2025秋?昌圖縣期中）在學(xué)習(xí)了“用頻率估計概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計算器進(jìn)行

模擬試驗(yàn)來探究“8個人中有2個人同月過生日的概率”，他們將試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：

試驗(yàn)次數(shù)50100150200250…

“有2個人同4795143191238…

月過生日”的

次數(shù)

“有2個人同0.940.950.9530.9550.952…

月過生日”的

頻率

通過試驗(yàn)，該小組估計“8個人中有2個人同月過生日”的概率（精確到0.01）大約是（）

A.0.94B.0.95C.0.96D.0.97

7.（2025秋?酒泉期中）為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者先從魚塘中捕獲30條魚，在每一條魚身上做好標(biāo)

記后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚，通過多次重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚中有做記號的頻率穩(wěn)定

在2.5%左右，則估計魚塘中魚的條數(shù)為（）

A.600條B.1000條C.1200條D.2200條

8.（2025秋?懷寧縣期中）一個不透明的口袋中裝有10個紅球和若干個黃球，這些球除顏色外都相同，從

口袋中隨機(jī)摸出1個球記下它的顏色后，放回?fù)u勻，記為?次摸球試驗(yàn)，經(jīng)過大量試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到紅球的

頻率穩(wěn)定在（）.4附近，則口袋中黃球大約有（）個

A.15B.8C.16D.18

二,填空題（共5小題）

9.（2024秋?安?？h期末）一個不透明口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色玻璃球共200個，小明通過大量摸球試

驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率為30%,則估計紅球的個數(shù)約為個.

10.（2025秋?北鎮(zhèn)市期中）在一個不透明的袋子中裝有若干個紅球和4個白球，這些球除顏色外都相同.搖

勻后每次隨機(jī)從袋子中摸出一個球，記下顏色后放回袋子中，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球

的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個數(shù)約為.

II.（2025秋?白銀期中）下表記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：

移植的棵數(shù)200500800200012000

成活的棵數(shù)187446730179010836

由此可以估計這種蘋果樹苗移植成活的概率為1精確到0.1）.

12.（2025秋?凌海市期中）在一個不透明的盒子中裝有3個紅球和若干個白球，這些球除顏色外均相同，

若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的

頻率穩(wěn)定在0.2左右，則這個盒子中大約有個白球.

13.（2024秋?花都區(qū)期末）一個不透明的箱子里裝有4個紅球和若干個白球，每個球除顏色外其他完全相

同，每次把箱子里的球搖勻后隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重夏試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)

摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.8,估計箱子里白球的個數(shù)為個.

三.解答題（共2小題）

14.（2025秋?邯鄲期中）將如圖所示的牌面數(shù)字分別是2,3,4,5的四張撲克牌竹面朝上，洗勻后放在

桌面上.（1）從中隨機(jī)抽出一張牌.，牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是；

（2）先隨機(jī)抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再隨機(jī)抽出一

張,將牌面數(shù)字作為個位上的數(shù)字，請用畫樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是4的倍數(shù)的概率.

2344

**9

15.（2025?前郭縣三模）剪紙傳承的視覺形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾

的社會認(rèn)知、道德觀念等.剪紙藝術(shù)遺產(chǎn)先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺

產(chǎn)代表作名錄.為體驗(yàn)和傳承剪紙藝術(shù)，小華利用假期去學(xué)習(xí)了剪紙藝術(shù)，在老師的幫助下小華剪了如

圖所示的“A.鹿鶴同春、B.連年有余、C.龍騰盛世、D.喜鵲登梅”四幅剪紙，他把這四幅剪紙分

別裝在四個相同的不透明的袋子里.（8、C是圓形剪紙，A、。不是圓形剪紙）

（1）小華從四個袋子中隨機(jī)抽取一個，抽到C.龍騰盛世的概率是；

（2）小華從四個袋子中隨機(jī)抽取一個，不放回，再從剩下的三個袋子中隨機(jī)抽取一個，請用畫樹狀圖

或列表法，求小華抽到的均是圓形剪紙的概率.

A.鹿鶴同存B.連年仃余C.龍騰盛世D.再鵲登梅

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷常考題之概率

的進(jìn)一步認(rèn)識

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案AABCCBCA

一.選擇題（共8小題）

1.（2024秋?沁源縣期末）物理課上，同學(xué)們做“讓小燈泡痙起來”的實(shí)驗(yàn).“智慧小組”的實(shí)驗(yàn)電路圖如

圖所示，其中S，52,S3,54表示電路的開關(guān)，L表示小燈泡.當(dāng)隨機(jī)閉合兩個開關(guān)時，燈泡發(fā)光的概

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】A

【分析】列表得出共有12種等可能的結(jié)果，其中燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可.

【解答】解:列表如下:

SiS2S3S4

ST-(Si,S2)(Si,S3)(SbS4)

S2(S2,Si)-(S2,S3)(S2，S4)

S3(S3,Si)(S3,S2)-(S3，S4)

54(54,Si)(S4,52)(54,S3)-

由表可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種,

???燈泡發(fā)光的概率為=白二1

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查J'列表法求概率.列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情況，適合于兩步完成

的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

2.（2（）25秋?神木市期中）一個不透明的盒子里有“中秋”主題和“國慶”主題的賀卡共30張，這些賀卡

的外觀、大小、質(zhì)地完全相同，每次抽卡前先將盒了里的賀卡沈勻，任意抽出?張賀卡記下主題后再放

回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，抽到“國慶”主題賀卡的頻率穩(wěn)定在0.4,則估計盒子中“中秋”

主題賀卡有（）

A.18張B.12張C.10張D.8張

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】利用抽到“中秋”主題賀卡的頻率估計抽到“中秋”的概率，再根據(jù)頻率=頻數(shù)《總數(shù)進(jìn)行計

算即可.

【解答】解：30X（1-0.4）=18（張），

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查利用頻率估計概率，掌握頻率=頻數(shù)+總數(shù)是正確解答的關(guān)鍵.

3.（2024秋?海曙區(qū)期末）數(shù)學(xué)家皮爾遜為了研究概率問題，進(jìn)行了大量重復(fù)拋硬幣試驗(yàn)，并用頻率來估

計概率.當(dāng)他把一枚硬幣拋擲24000次時，則下列正面朝上的次數(shù)與該實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較符合的是（）

A.11011B.12012C.13013D.14014

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】B

【分析】根據(jù)拋硬幣正面朝上的概率和總拋擲次數(shù)確定答案即可.

【解答】解：???拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)中，正面朝上的概率為，，

???拋擲硬幣24000次時，正面朝上約為24000X1=12000次，

只有8選項(xiàng)最接近，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明說題意，寫出相應(yīng)的概率.

4.（2025秋?富錦市期中）一個不透明的袋子中有紅球、白球共10個，除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸

出一個球，記錄顏色后放回，重復(fù)100次，發(fā)現(xiàn)摸到紅球6。次，則估計袋中紅球約有（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識.

【答案】C

【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，求出摸到紅球的

概率，然后根據(jù)概率進(jìn)行計算即可.

【解答】解：???共試驗(yàn)100次，其中有60次摸到紅球，

???紅球所占的比例為：黑=；，

1005

???10乂1=6（個），

???袋中紅球的個數(shù)約為6個.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查利用頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用.

5.（2024秋?莒南縣期末）如圖，是用計算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果，下面是根據(jù)實(shí)驗(yàn)

結(jié)果所作出的四個推斷，其中合理的是（）

“釘尖向上”的頻率

A.當(dāng)投擲次數(shù)是1000時，“釘尖向上”的次數(shù)是620

B.當(dāng)投擲第1000次時，“釘尖向上”的概率是0.620

C.隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率趨近于0.618,故可以估計其概率是0.618

D.若再次用計算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率一定是0.620

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用：幾何直觀.

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形和各個選項(xiàng)的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：當(dāng)投擲次數(shù)是1D00時，此次計算機(jī)記錄“釘尖向上”的頻率是0.620,故此次次數(shù)約是

1000X0.620=620,選項(xiàng)A符合題意；

當(dāng)投擲次數(shù)是1000時,此時“釘尖向上”的頻率是0.62（）,但“釘尖向上”的概率不一定是0.620,選

項(xiàng)8不合題意；

隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，''釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“釘

尖向上”的概率是0.618.選項(xiàng)C符合題意；

若再次用計算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率可能是0.620,但不一定是0.620,

選項(xiàng)。不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

6.（2025秋?昌圖縣期中）在學(xué)習(xí)了“用頻率估計概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計算器進(jìn)行

模擬試驗(yàn)來探究”8個人中有2個人同月過生日的概率”，他們將試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：

試驗(yàn)次數(shù)50100150200250

“有2個人同4795143191238

月過生日”的

次數(shù)

“有2個人同0.940.950.9530.9550.952

月過生日”的

頻率

通過試驗(yàn)，該小組估計“8個人中有2個人同月過生日”的概率（精確到0.01）大約是（）

A.0.94B.0.95C.0.96D.0.97

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用.

【答案】B

【分析】當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)大量增加時，頻率穩(wěn)定在概率附近，從表格數(shù)據(jù)看，頻率在0.95附近波動，因此

估計概率為0.95.

【解答】解：根據(jù)題意得：試驗(yàn)次數(shù)增加時，”有2個人同月過生口”的頻率穩(wěn)定在（）.95附近，

，估計該概率為0.95,

故選：B.

【點(diǎn)評】該題考查了用頻率估計概率，掌握其相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.（2025秋?酒泉期中）為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者先從魚塘中捕獲30條魚，在每一條魚身上做好標(biāo)

記后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚，通過多次重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚中有做記號的頻率穩(wěn)定

在2.5%左右，則估計魚塘中魚的條數(shù)為（）

A.600條B.1000條C.1200條D.2200條

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】C

【分析】由題意已知魚塘中有記號的魚所占的比例，用樣本中的魚除以魚塘中有記號的魚所占的比例，

即可求得魚的總條數(shù).

【解答】解：304-2.5%=120（］（條）.

答：估計魚塘中魚的條數(shù)為1200條；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查統(tǒng)計中用樣本估計總體的思想，熟練掌握并利用樣本總量除以所求量占樣本的比例即

可估計總量.

8.（2025秋?懷寧縣期中）一個不透明的口袋中裝有1（）個紅球和若干個黃球，這些球除顏色外都相同，從

口袋中隨機(jī)摸出1個球記下它的顏色后，放回?fù)u勻，記為一次摸球試驗(yàn)，經(jīng)過大量試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到紅球的

頻率穩(wěn)定在。4附近，則口袋中黃球大約有（）個

A.15B.8C.16D.18

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用.

【答案】A

【分折】設(shè)袋子中黃球約有x個，根據(jù)題意可知從袋子中隨機(jī)摸出一個紅球的概率為04由此根據(jù)概

率公式建立方程求解即可.

【解答】解：設(shè)袋子中黃球約有x個，

???通過多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，

???從袋子中隨機(jī)摸出一個紅球的概率為0.4,

10

/.-------=0.4,

解得x=15,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解，

???袋子中黃球約有15個，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考杳了用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量問題，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即

概率值是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

9.（2024秋?安?？h期末）一個不透明口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色玻璃球共200個，小明通過大量摸球試

驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率為30%,則估計紅球的個數(shù)約為60個.

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】統(tǒng)計與概率；運(yùn)算能力.

【答案】60.

【分析】根據(jù)部分的具體數(shù)目=總體數(shù)目X相應(yīng)頻率直接計算即可求解.

【解答】解：估計紅球的個數(shù)約為200X30%=60個，

故答案為：60.

【點(diǎn)評】本題考杳了利用頻率估計概率，理解實(shí)驗(yàn)次數(shù)較大時，事件發(fā)生的頻率即為事件發(fā)生的概率是

解題的關(guān)鍵.

10.（2025秋?北鎮(zhèn)市期中）在一個不透明的袋子中裝有若干個紅球和4個白球，這些球除顏色外都相同.搖

勻后每次隨機(jī)從袋子中摸出一個球，記下顏色后放I可袋子中，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球

的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個數(shù)約為6.

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】6.

【分折】先用門球的個數(shù)除以摸到口球的頻率穩(wěn)定值求出球的總個數(shù)，繼而可得答案.

【解答】解：???摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，

工摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，

由題意知，袋中球的總個數(shù)約為4?0.4=10（個），

所以袋子中有紅球10-4=6（個）.

故答案為：6.

【點(diǎn)評】此題主要考查了利用頻率估計隨機(jī)事件的概率，人量重更實(shí)驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率在某個固定

位置左右擺動，并一旦擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概

率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

11.（2025秋?白銀期中）下表記錄了某種蘋果樹苗在一定條件卜移植成活的情況:

移植的棵數(shù)200500800200012000

成活的棵數(shù)187446730179010836

由此可以估計這種蘋果樹苗移植成活的概率為」2_（精確到0.1）.

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】0.9.

【分析】利用表格中數(shù)據(jù)估算這種幼樹移植成活率的概率即可得出答案.

187446730179010836

【解答】解：由表格數(shù)據(jù)可得，---=0.935,=0.892,------=0.9125,---------=0.895>----------=0.903,

200500800200012000

，這種樹苗移植成活的概率穩(wěn)定在0.9左右，

故這種蘋果樹苗移植成活的概率為0.9.

故答案為:0.9.

【點(diǎn)評】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.

12.（2025秋?凌海市期中）在一個不透明的盒子中裝有3個紅球和若干個白球，這些球除顏色外均相同,

若每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸出I個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的

頻率穩(wěn)定在（）.2左右，則這個盒子中大約有」個白球.

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專?題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】用紅球個數(shù)除以紅球的頻率求出球的總個數(shù)，繼而可得答案.

【解答】解：由題意知，盒子中球的總個數(shù)約為3+0.2=15（個），

則盒子種白球個數(shù)約為15-3=12（個），

故答案為：12.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，

并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的

近似值就是這個事件的概率.

13.（2024秋?花都區(qū)期末）一個不透明的箱子里裝有4個紅球和若干個白球，每個球除顏色外其他完全相

同，每次把箱子里的球搖勻后隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)

摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.8,估計箱子里白球的個數(shù)為16個.

【考點(diǎn)】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)白球有x個，利用概率公式列出關(guān)于x的分式方程，解分式方程即可求解.

【解答】解：???通過大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.8,

???發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.8,

設(shè)白球的個數(shù)有x個，

X

根據(jù)題意，得：---;=0.8,

X+4

解得x=16,

經(jīng)檢驗(yàn)x=16是分式方程的解，

???估計箱子里白球的個數(shù)為16.

故答案為：16.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用頻率估計概率，熟知大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右

擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估i?概率，這個

固定的近似值就是這個事件的概率是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共2小題）

14.（2025秋?邯鄲期中）將如圖所示的牌面數(shù)字分別是2,3,4,5的四張撲克牌背面朝上，洗勻后放在

桌面上.（1）從中隨機(jī)抽出一張牌，牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是2;

（2）先隨機(jī)抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再隨機(jī)抽出一

張，將牌面數(shù)字作為個位上的數(shù)字,請用畫樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是4的咯數(shù)的概率.

2347?4

**9

【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【答案】（1）3

2

1

（2）

4

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）依據(jù)題意先用列表法或面樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的

概率即可.

【解答】解：（1）從中隨機(jī)抽出?張牌，牌面數(shù)字所有可能H現(xiàn)的結(jié)果有4利J且它們出現(xiàn)的可能性相

等，其中出現(xiàn)偶數(shù)的情況有2種，

:.P（牌面是偶數(shù)）=]=；；

故答案為：I：

（2）先隨機(jī)抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再隨機(jī)抽出一

張，將牌面數(shù)字作為個位上的數(shù)字，作樹狀圖如下：

開始

第一次2345

7^

第二次2345234523452345

由圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中恰好是4的倍數(shù)的為：24,32,44,52,共有4種，

?0-±-1

的唐功-16-4,

【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法：概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.（2025?前郭縣三模）剪紙傳承的視覺形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾

的社會認(rèn)知、道德觀念等.剪紙藝術(shù)遺產(chǎn)先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺

產(chǎn)代表作名錄.為體驗(yàn)和傳承剪紙藝術(shù)，小華利用假期去學(xué)習(xí)了剪紙藝術(shù)，在老師的幫助下小華剪了如

圖所示的“A.鹿鶴同春、B.連年有余、C.龍騰盛世、D.喜鵲登梅”四幅剪紙，他把這四幅剪紙分

別裝在四個相同的不透明的袋子里.（氏C是圓形剪紙，4、。不是圓形剪紙）

（1）小華從四個袋子中隨機(jī)抽取一個，抽到C.龍