2025?2026學(xué)年上海市松江區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題4分，滿分24分）

1.（4分）延長線段48至點(diǎn)C,使得8c=2A8,那么靠的值為（）

173

A.-B.-C.-D.2

232

2.（4分）如果把一個(gè)ABC的三邊都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正切值（）

A.擴(kuò)大2倍B.保持不變

C.縮小到原來的'D.以上都有可能

2

3.（4分）已知。、匕為非零向量，下列說法中，不正確的是（）

A.如果°=回,那么aHbB.如果』=7萬，那么

C.如果”=一2〃，那么|a|=2|〃|D.0-67=0

4.（4分）己知△ABC中，。、E分別是邊AB、AC反向延長線上的點(diǎn)，下列各式中，能判斷出

的是（）

AAEADnABAE「AEDE、AEAD

CE~BDAC~ADAC~BCAC~BD

5.（4分）已知線段a,h,c,求作線段x,使bx=ac,下列作法中正確的是（）

6.（4分）以下是利用出入相補(bǔ)原理解決比例線段問題的一個(gè)例子：

如圖，設(shè)O是矩形ABCO對角線4c上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作一組鄰邊的平行線PQ、直線PQ分別與

邊A。、BC交于點(diǎn)P、Q,直線SR分別與邊AB、DC交于點(diǎn)R、S,那么由矩形與矩形RBQO的面積

相等可以得到：POOS=ROOQ,這個(gè)結(jié)論通常表示為竺=殷.

OQOS

部分同學(xué)進(jìn)一步研究了這個(gè)圖形，提出以下兩個(gè)命題:

命題甲：矩形OQCS與矩形ARQP相似.

命題乙：如果將矩形POS。、矩形OQCS、矩形AROP的面積依次記為S、S］、S、,那么S是S?和邑的

比例中項(xiàng).

關(guān)于這兩個(gè)命題，下列判斷正確的是（）

A.命題甲是真命題，命題乙是假命題

B.命題甲是假命題，命題乙是真命題

C.命題甲、命題乙都是真命題

D.命題甲、命題乙都是假命題

二、填空題（每題4分，滿分48分））

7.（4分）如果且=2=2,且K〃=12,那么c+d=_.

cd2

8.（4分）在比例尺為1:2000000的地圖上，測得甲、乙兩地的距離約為8厘米，那么甲、乙兩地的實(shí)際

距離約為一千米.

9.（4分）已知點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)，且AC>C8,AB=Scm,那么AC=.（結(jié)果保留

根號(hào)）

10.（4分）已知△從8c和△OEF相似，ZA=ZD=60°,ZB=2Z￡,那么△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)

為.

1L（4分）兩個(gè)相似三角形中，我們把聯(lián)結(jié)兩條對應(yīng)邊中點(diǎn)的中位線稱為這兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)中位

線,如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為4:9,那么這兩個(gè)二角形的對應(yīng)中位線之比為.

12.（4分）已知向量〃?的長度為3,與單位向量e方向相反，那么向量〃?可用向量e表示為.

An7

13.（4分）如圖，已知—=-?BE=22,那么CE=.

AB

7

14.（4分）已知MZXA8C中，ZC=90°,AC=4,tan8=—，那么8C的長為

3

15.（4分）如圖，已知R/ZXA8C中，ZACB=90°,CDLAB,BC=5,cotA=2,那么CO的長為

16.（4分）如圖，D是△ABC邊BC上一點(diǎn)、，點(diǎn)、E、F分別是△/WO和△ACO的重心，如果AB=a,AC=b,

用〃的線性組合表示E/L那么EP=

那么ZABC的正弦值為

18.（4分）已知矩形/WC7）中，CO=3,E是邊人。上一點(diǎn)，DE=\,將△COE沿著CE所在的直線翻

折，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)〃，聯(lián)結(jié)E/7并延長交邊3C于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)AG,如果△A3G與△CG"相似，那

么邊A。的長為

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

2o

19.(10分)計(jì)算：-2cos6(卜_+sin45-|sin600-l|.

cot300-tan45°

20.(10分)如圖，已知向量〃、b.

4I

(I)化簡：(5a——b)-2(2a+-b)：

33

(2)作出化簡后的向量.

(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫出表示結(jié)論的向量)

21.(10分)如圖，已知3c中，AQ是3c邊上的中線，點(diǎn)￡、尸分別在邊A8、AC上，且EF/iBC,

E廣與AO相交于點(diǎn)M.

(I)求證：EM=MF；

(2)聯(lián)結(jié)/兒、D卜,若/兒_!,〃"，8c'=6,A/)=4,求七”的長.

22.(10分)如圖，已知△43C中，8。是乙48c的角平分線，BD=CD=5，AB=6

(1)求AQ的長；

(2)求cosC的值.

23.(12分)如圖，已知梯形A8CO中，AD//BC,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,AC2AD-BC，點(diǎn)E在

線段AC的延長線上，聯(lián)結(jié)OE.

(1)求證：/BAD=/DCE；

(2)若NADB=NCDE,求證：AB2=ACCE.

AD

24.（12分）為探究“光的直線傳播和反射定律”，小麗和小杰利用一個(gè)上底面和卜.底面都是平面鏡的盒子

進(jìn)行實(shí)驗(yàn).如圖所示，盒子的直截面是邊長為的正方形ABCD,實(shí)驗(yàn)過程中，光線只在該截面內(nèi)傳播.盒

子左邊距離B點(diǎn)2cm的點(diǎn)E處（BE=2cm）.盒子右邊距離D點(diǎn)、\cm的點(diǎn)尸處（。/=\cm）各有一個(gè)小孔（孔

的大小忽略不計(jì)），盒子的底部距離B點(diǎn)2cm的點(diǎn)M處（BM=2cm）有一個(gè)可調(diào)整高度的擋板MN.

（1）如圖1,小麗控制激光筆發(fā)出光線0￡從點(diǎn)E處射入，從點(diǎn)尸處射出，小杰調(diào)整擋板MN的高度遮擋

光線，當(dāng)恰好擋住光線時(shí)，求擋板MN的高度；

（2）如圖2,小麗調(diào)整光線入射角度，使光線O七入射到面AQ的點(diǎn)G處，經(jīng)反射后從點(diǎn)尸史射出，求此

時(shí)NOEB的正切值：

（3）小杰取出擋板WN,小麗繼續(xù)調(diào)整入射角度，使光線分別經(jīng)過面A。和面BC的兩次反射后，從點(diǎn)F

處射出，請直接寫出光線在4。面上的入射點(diǎn)到點(diǎn)A的距離.

GD

BMBM

備用圖

25.（14分）如圖，已知△八BC中，。是邊的中點(diǎn)，石是邊上一點(diǎn)，BE=2,CE=3,聯(lián)結(jié)C。、

AE交于點(diǎn)尸.

（I）求竺的值；

(2)如圖2,若NBAE=/BCD,AELCD,求E”的長;

（3）若CO_LAB,且是等腰三角形，求Af的長.

參考答案

一.選擇題（共6小題）

題號(hào)123456

答案CBDADC

一、選擇題（每題4分，滿分24分）

1.（4分）延長線段A8至點(diǎn)C,使得8c=2A8,那么生的值為（）

BC

123

A.-B.-C.-D.2

232

解:如圖，

ABC

設(shè)=則8c=2A8=2x,

：.AC=AB+BC=3x,

AC3x3

??.-_-_-_----——_,

BC2x2

故選：C.

2.（4分）如果把一個(gè)RfZXABC的三邊都擴(kuò)大2倍，那么銳角4的正切值（）

A.擴(kuò)大2倍B.保持不變

C.縮小到原來的,D.以上都有可能

2

解：銳角A的正切值是直角三角形中，銳角A的對邊與鄰邊的比，與邊的長短沒有關(guān)系，因此把一個(gè)

ABC的三邊都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的正切值保持不變，

故選：B.

3.（4分）己知〃、力為非零向量，下列說法中，不正確的是（）

A.如果4=歷，那么B.如果ii=-&b,那么

C.如果。=—2〃，那么|〃|=2出|D.0?=0

解：A、如果a=J5/>,那么Q/.S,說法正確：

B、如果a=-V2Z?,那么a!1b,說法正確:

C、如果。=-2〃，那么|國=2|",說法正確;

D>0??=0,原說法不正確;

故選：

4.（4分）已知△ABC中，。、E分別是邊人8、AC反向延長線上的點(diǎn)，下列各式中，能判斷出OE//BC

的是（）

AAEAD?ABAE八AEDE「AEAD

CEBDACADACBCACBD

解：A、絲=絲時(shí)，DE/IBC,故本選項(xiàng)符合題意；

CEBD

8、空二任時(shí)，不能判斷出?！?〃c,故本選項(xiàng)不符合題意；

ACAD

。、但=”時(shí).，不能判斷出?！?/8C,故本選項(xiàng)不符合題意；

ACBC

。、任=42時(shí)，不能判斷出。E//8C,故木選項(xiàng)不符合題意；

ACBD

5.（4分）已知線段〃,b,r,求作線段r,使〃用〃c,下列作法中正確的是（）

故選：D.

6.（4分）以下是利用出入相補(bǔ)原理解決比例線段問題的一個(gè)例子:

如圖，設(shè)O是矩形A8CO對角線AC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作一組鄰邊的平行線PQ、直線PQ分別與

邊AO、BC交于點(diǎn)P、Q,直線SR分別與邊AB、DC交于點(diǎn)R、S,那么由矩形與矩形H8QO的面積

相等可以得到：POOS=ROOQ,這個(gè)結(jié)論通常表示為絲=股.

OQOS

部分同學(xué)進(jìn)一步研究了這個(gè)圖形，提出以下兩個(gè)命題：

命題甲：矩形OQCS與矩形AROP相似.

命四乙：如果將矩形POS。、矩形OQC'S、矩形AROP的面積依次記為B、S2、邑，那么B是$2和其的

比例中項(xiàng).

關(guān)于這兩個(gè)命題，下列判斷正確的是()

A.命題甲是真命題，命題乙是假命題

B.命題甲是假命題，命題乙是真命題

C.命題甲、命題乙都是真命題

D.命題甲、命題乙都是假命題

解：?.PQ//AB//CD,RS//AD//BC,/BAO=N8CO=90。，

四邊形AROP,OQCS為矩形，

,OQOS

而一赤’

.0()OSCSc(2

"~OP~~OR~~AR~~AP，

矩形AROPs矩形OQCS,

.??命題甲為真命題；

耳OPOR,

改——=—=k，

OQOS

.S.cos_]S.AOP=k

S.ACD(l+￡)25.ACD(1+4)~

S?—2$.cos，S3=2sAOP

??JACD

22_]23_K

岳+為+33f￡+為+卜（1+4

S2-S3=S],

：.S1是S2和導(dǎo)的比例中項(xiàng),

二.命題乙也是真命題.

故選：C.

二、填空題（每題4分，滿分48分））

7.（4分）如果@=2=3,且〃+b=12,那么c+d=8.

cd1

解：?一，-3,

cd2

a+b3

c+d2

a+b=\2

123

c+d2

:.c+d—8.

故答案為：8.

8.（4分）在比例尺為1:2000000的地圖上，測得甲、乙兩地的距離約為8厘米，那么甲、乙兩地的實(shí)際

距離約為160千米.

解：8x2000000=16000000（“〃），

⑹）000005?=160千米.

故答案為：160.

9.（4分）已知點(diǎn)C是線段A3的黃金分割點(diǎn)，且AC>CB,AB=San,那么AC=（46—4）cm.（結(jié)果

保留根號(hào)）

解：,點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且AC>CB,AB=8c/〃，

AAC=避二!■AB=或二!?x8=（4石-4）（cM,

22

故答案為：（46-4）.

10.（4分）已知△ABC和^DEF相似，NA=/D=60°,NB=2ZE,那么△ABC的最人內(nèi)角的度數(shù)為80。.

解：???△ABC和△￡>￡：?相似，乙4=/。=6()。，/B=2NE,

二.ZC=ZE,

ZB=2ZC,

Z^+ZC=180°-60°=l20°,

AZB=80°,ZC=40°,

/.△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是80。.

故答案為：80。.

11.（4分）兩個(gè)相似三角形中，我們把聯(lián)結(jié)兩條對應(yīng)邊中點(diǎn)的中位線稱為這兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)中位

線,如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為4:9,那么這兩個(gè)三角形的對應(yīng)中位線之比為2:3.

解：如圖，ADEFsABC,MN、PQ分別是這兩個(gè)三角形的對應(yīng)中位線，且工也=±,

S9

:MN、P。分別是/和△.A8C的中位線，

:.DM=EM,AP=BP,MN//EFfPQ//BC,

：.DE=2DM,AB=2AP,4DMN=ZE,NAPQ=ZB,

:△DEFs△ABC,

AZD=ZA,NE=NB,^-=(—)2=-,

S,HCAB9

:2DMN=/APQ,—=-?g—=--(不符合題意，舍去),

AB3AB3

2ZW=2

△DMNs△APQ,

2AP~3

MNDM_2

…~PQ~^\P~3'

.??這兩個(gè)三角形的對應(yīng)中位線之比為2:3,

故答案為：2:3.

12.（4分）已知向量小的長度為3,與單位向量4方向相反,那么向量就可用向量d表示為后=-3。.

解：，向量〃，的長度為3,與單位向量e方向相反,

m=-3e.

故答案為：，〃=-3c.

13.（4分）如圖，已知BE=22,那么CE=8

1-DF4-

解：v/,///2///v

冷敷即22-CE7

CE4

解得：C￡=8,

故答案為：8.

9

⑷（4分）已知心中，/C=9。。，AC=4,tanB=-,那么8C的長為」

解：在用ZX/WC中,

AC

tanBn=,

BC

M—=-,

BC3

解得8c=6.

故答案為:6.

15.（4分）如圖，已知R/Z\A8C中，ZACB=90°,CDLAB,BC=5,cotA=2,那么CO的長為2行.

解：在用△ABC中,

AC

cotAA=,

BC

所以江=2,

5

解得AC=10.

在ACO中,

AA。r

cotA==2,

CD

則AD=2CD.

因?yàn)镃b+AO?=心，

所以。2+(28)2=]()2,

解得CD=2&

故答案為：2行.

16.(4分)如圖，。是^ABC邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是△ABD和aACD的重心，如果A13=d,AC=b,

用4、力的線性組合表示Ef,那么五尸二不力-幻.

A

;

BDC

解：???￡：,尸是△AB。和△ACD的重心，

/.AE=-(AB+AD),AF=-(AC+AD),

33

EF=AF-AE=-(AC+AD)--(AB+AD)=-(AC-AB)=-(b-7)?

3333i

故答案為：我R

那么/ABC的正弦值為返.

17.(4分)如圖，點(diǎn)A、8、。均在4x4的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,

65

：：A;

89」一」

解：過點(diǎn)。作CZ)_LA3,垂足為

?.?點(diǎn)A、B、。均在4x4的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，

：.AB=y/32+22=y/13,AC=2,BC=SW=布.

-S.=-ACBE=-ABCD,

?,IORCC22

:.ACBE=ABCD,即2x2=J5xCO.

,3警

在H/△ACO中,

4小

CD-lT_4>/65

sinZ/lZ?C=—

BC石65

18.（4分）已知矩形ABC力中，CD=3,七是邊A。上一點(diǎn)，DE=\,將△CQE沿著CE所在的直線翻

折，點(diǎn)”的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)“，聯(lián)結(jié)石”并延長交邊儀;于點(diǎn)G,送結(jié)AG,如果△AAG與ZXCG"相似，那

么邊AO的長為9或二.

解：設(shè)AO=.r,BG=m,CG=x-mf

當(dāng)△48Gs/\CFG時(shí),

ABBG_AG

NAGB=NCGF,

^F~~FG~~CG

?.?將^COE沿著CE所在的直線翻折得到△CFE,

CF=AB=3,EF=DE=\,NDEC=4FEC,

?J在矩形ABC。中，AD!IBC,

/AGB=ZGAE,ZEGC=NAEG,

FG=BG=m,AG=GE=m+l>GC=GE>

在氏△ABG中根據(jù)勾股定理得（m+\）2-m2=9,

解得m=4,

GC=5，

BC=9,

即A7)=9,

當(dāng)△時(shí),

處二生=生，"G*NGb,

GFFCGC

GF=—,AG=-(x-m),

m3

:GC=GE,

.a1.明

m

....v=2+l+〃？，

m

.\.4G=3+—,

3

在心△ABG中根據(jù)勾股定理得（y+3產(chǎn)-nr=9,

9

解得班="4=0（舍去）,

929

x=4+l+-=—

44

故答案為：9或空

4

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

(10分)計(jì)算：-2COS6Q°—+sin245°-|sin600-l|.

19.

cot300-tan450

2x1

解:原式=72+

V3-1

=-7=—+--(i-

v3—12

222

11.1+3

旦—+—

2222

=A/3?

20.（10分）如圖,已知向量a、b.

41

（I）化簡：（5〃——b）-2（2a+-b）；

33

（2）作出化簡后的向量.

（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫出表示結(jié)論的向量）

a\

4I

解:(1)(5a一一b)-2(2a+-b)

33

21.（10分）如圖，已知△ABC中，4。是BC邊上的中線，點(diǎn)石、尸分別在邊/W、AC上，且EF//8C,

EF與4。相交于點(diǎn)M.

（I）求證：EM=MF；

（2）聯(lián)結(jié)DE、DF,若￡）E_LOF,BC=6,AO=4,求E尸的長.

【解答】（1）證明：△A8C中，4。是8C邊上的中線,

:.BD—DC?

?.EF//BC,E尸與4。相交于點(diǎn)

EM//BD,MFI/DC,

A￡Ms/\/WQ,△AMF^>△ADC,

.EMAMMFAM

~BD~~AD'~DC~^D，

EMMF

~BD~~DCf

EMBD,

-----=------=1,

MFDC

EM=MF.

(2)解：vDELDF,

NEO/=90°,

?.?M是斯的中點(diǎn),

DM=EM=FM==EF,

2

???BC=b,4)=4,

BD=-BC=3,AM=4-DM=4-EM,

2

EMAM

v-----=------,

BDAD

EM4-EM

二.---=------,

34

17

解得

7

24

EF=2EM=—,

7

二.E尸的長為空.

7

22.(10分)如圖，已知△48。中，8。是乙48c的角平分線，BD=CD=5,A8=6.

(I)求A。的長；

(2)求cosC的值.

解：（1）?.?8￡）平分NABC,

...乙ABD=N。蛇，

DB=DC,

4DBC=ZC，

.ZBQ=NC,

4/NA=NA，

△ABD^△ACB,

AB_AD

,6AD

"AD+5~~6~'

解得AO=4（負(fù)根已經(jīng)舍去）,

....4。=4；

(2)過點(diǎn)D作DHLBC于點(diǎn)H.

BDAB

----=-----9

BCAC

56

----=—,

BC9

sc=—,

2

?.DB=DC,DHLBC,

-CH=BH=-BC=—,

24

15

23.(12分)如圖，已知梯形八BC0中，AD//BC,對角線AC、BD交于點(diǎn)、O,AC2^ADBC,點(diǎn)E在

線段入。的延長線上，聯(lián)結(jié)。E.

(I)求證：NBAD=NDCE；

⑵若/ADB=NCDE,求證：AB2=ACCE.

AD

【解答】證明：（1）-AC2=ADBC,

ACAD

----=-----9

BCAC

V.4D//BC,

NDAC=NACB,

/.△DAC^△ACB,

/ACD=tCBA,

???/8W+NC84=180。，ZDCE+ZACD=180°,

:"BAD=ZDCE.

（2）

ADCD

ADAC

"~CD~~AB，

v/BAD=ZDCE,ZADB=ZCDE,

△ADBs△CDE,

ADAB

----=-----9

CDCE

ABAC

?二---=---，

CEAB

AB1=ACCE.

24.（12分）為探究“光的直線傳播和反射定律”，小麗和小杰利用一個(gè).上底面和下底面都是平面鏡的盒子

進(jìn)行實(shí)驗(yàn).如圖所示，盒子的直截面是邊長為55?的正方形ABCD,實(shí)驗(yàn)過程中，光線只在該截面內(nèi)傳播.盒

子左邊距離B點(diǎn)2cm的點(diǎn)E處（BE=2cm）.盒子右邊距離D點(diǎn)、kv”的點(diǎn)尸處（。/=\an）各有一個(gè)小孔（孔

的大小忽略不計(jì)），盒子的底部距離B點(diǎn)2cm的點(diǎn)M處（BM=2cm）有一個(gè)可調(diào)整高度的擋板MN.

（1）如圖1,小麗控制激光筆發(fā)出光線OE從點(diǎn)E處射入，從點(diǎn)尸處射出，小杰調(diào)整擋板MN的高度遮擋

光淺，當(dāng)恰好擋住光線時(shí)，求擋板MN的高度；

（2）如圖2,小麗調(diào)整光線入射角度，使光線OE入射到面AD的點(diǎn)G處，經(jīng)反射后從點(diǎn)尸史射出，求此

時(shí)NOEB的正切值；

(3)小杰取出擋板MN,小麗繼續(xù)調(diào)整入射角度，使光線分別經(jīng)過面AQ和面的兩次反射后，從點(diǎn)、F

處射出，請直接寫出光線在4。面上的入射點(diǎn)到點(diǎn)A的距離.

解：(1)過月作E”//8c交MN于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H,

DF=\cm>

:.FH=5-2-\=2cmf

113,

EGNG

「?---=----9

EHFH

2NG

一=---9

52

4

解得NG=—an,

5

14

:.MN=MG+NG=—cm;

5

14

答：擋板MN的高度為上o〃；

5

(2)?/AAGE=ZDGF,乙4=NO=90。，

△AG￡s△DGF,

AE_DFHn3_1

AGDGAG5-AG

解得4G="，

4

15

，tanNOEB=tanNAEG=—=A=2.

AE34

（3）①光線先到A。，再到8C,然后從點(diǎn)尸射出，如圖,

延長GF交AQ延長線于點(diǎn)”，過G作GM_LAO于點(diǎn)M,

???DH//CG,

PHDF\

CG-CF-4?

l^DH=x,則CG=DM=4x,

：.PM=HM=5x,

:.AP=AD-PM-DM=5-9x,

由入射角等于反射角可知，/APE=NGPH=Z.PHG=NFGC,

/.tan/.APE=tanZ.FGC，

AECFHII34

APCG5-9x4x

解得x=2，

12

:.AP=5-9x=-；

4

②光線先到BC,再到A。，然后從點(diǎn)尸射出，如圖,

延長PF交BC延長線于點(diǎn)H,過。作PM3c于點(diǎn)M,

?/PD//CH,