專題06一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)爭辯單調(diào)性（含參）問題）（解答題）名目TOC\o"1-2"\h\u一、導(dǎo)函數(shù)有效部分為一次型 1二、導(dǎo)函數(shù)有效部分為類一次型 3三、導(dǎo)函數(shù)有效部分為可因式分解的二次型 5角度1：最高項系數(shù)含參 5角度2：最高項系數(shù)不含參 8四、導(dǎo)函數(shù)有效部分為可因式分解的類二次型 12五、導(dǎo)函數(shù)有效部分為不行因式分解的二次型 15一、導(dǎo)函數(shù)有效部分為一次型1．（23-24高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)爭辯的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再分和兩種狀況爭辯，分別得出函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)爭辯函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見詳解【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類爭辯的正負(fù)確定和的解，得單調(diào)性；【詳解】（1）由，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，有，，，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.3．（2025·重慶·模擬猜測）已知函數(shù)(1)爭辯函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）依據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后分與爭辯，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時，，當(dāng)時，由得，由得，即當(dāng)時函數(shù)在是減函數(shù)；當(dāng)時在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；4．（23-24高二下·河北邢臺·階段練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)爭辯的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）對求導(dǎo)后，令，對求導(dǎo)，結(jié)合找到臨界點(diǎn)對分類爭辯即可求解；【詳解】（1），令，則，若，則，從而，所以即在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，綜上所述，若，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，若，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).二、導(dǎo)函數(shù)有效部分為類一次型1．（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).爭辯的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】求導(dǎo)，分和兩種狀況，利用導(dǎo)數(shù)推斷原函數(shù)單調(diào)性.【詳解】由題意可得：函數(shù)的定義域為，，（i）當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)時，令，解得，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.2．（22-23高二下·全國·課時練習(xí)）已知函數(shù)，爭辯函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】由題意可得，按和的取值分類爭辯的正負(fù)即可得到的單調(diào)性；【詳解】由題意，令，得，當(dāng)時，若，則，所以，若，則，，所以；當(dāng)時，若，則，所以，若，則，，所以；綜上，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.3．（2025·寧夏銀川·一模）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）求導(dǎo)后，對分類爭辯，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可得結(jié)果；【詳解】（1），當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時，的增區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.4．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)爭辯的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【詳解】（1）函數(shù)，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得．當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．5．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)，（）．(1)爭辯的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【詳解】（1），分當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，令，得；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．三、導(dǎo)函數(shù)有效部分為可因式分解的二次型角度1：最高項系數(shù)含參1．（23-24高二下·安徽合肥·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，爭辯函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【分析】（1）求導(dǎo)，分類爭辯函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的最小值，從而得證.【詳解】（1）由題知，函數(shù)的定義域為，所以求導(dǎo)得，若，由得或，由得，所以函數(shù)在，和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，由得或，由得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．2．（23-24高二下·天津靜海·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若，求的最大值；(2)若函數(shù)，當(dāng)時，爭辯的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先求出的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)正負(fù)從而得出函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性可得出函數(shù)的最大值.（2）爭辯帶參函數(shù)的單調(diào)性，分類爭辯導(dǎo)數(shù)正負(fù)狀況即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的最大值為；（2）由已知得，，.，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以當(dāng)與時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，因而當(dāng)與時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.3．（2025·河南鄭州·二模）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)1(2)見解析【分析】（1）由是函數(shù)的極值點(diǎn)，，求解驗證即可；（2）利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，由于是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得或，由于，所以.此時，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的微小值點(diǎn).所以.（2）.由于，所以，令得；令得；∴所以時，函數(shù)的增區(qū)間為,時函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.4．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）爭辯函數(shù)的單調(diào)性【答案】見解析.【分析】對求導(dǎo)后依據(jù)兩根的大小及函數(shù)定義域分類爭辯，由此即可得解.【詳解】，令得，當(dāng)即時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，當(dāng)時，；當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，當(dāng)時，；當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.角度2：最高項系數(shù)不含參1．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的在上的最大值和最小值；(2)爭辯的單調(diào)性．【答案】(1)最大值為9，最小值為(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)可得，令即可得出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最大、小值；（2）求導(dǎo)可得，分類爭辯當(dāng)、、時函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，令或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以在上的最大值為9，最小值為.（2），則，令，解得或，當(dāng)即時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)即時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.2．（2025·河南·模擬猜測）已知函數(shù).(1)爭辯函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后依據(jù)和分類爭辯，解導(dǎo)函數(shù)不等式即可求得單調(diào)區(qū)間；（2）依據(jù)（1）的結(jié)論知，令得，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算累加法即可證明.【詳解】（1）的定義域為.，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，時，在上是增函數(shù)．時，在上是減函數(shù)，時，是增函數(shù).3．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）依據(jù)題意，求得，分類爭辯，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）由函數(shù)，可得，①若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；②若時，可得，所以在上遞增，無遞減區(qū)間；③若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；④若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，①當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；②當(dāng)時，增區(qū)間為，無減區(qū)間；③當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；④當(dāng)時，增區(qū)間為，減區(qū)間為.4．（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，試推斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)，并說明理由；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)不存在零點(diǎn)，理由見解析(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得到恒成立，即可推斷；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、、四種狀況爭辯，分別求出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，則不存在零點(diǎn).（2）函數(shù)，，則，①當(dāng)時可知當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，可知當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)，即時，可知當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；當(dāng)時的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.四、導(dǎo)函數(shù)有效部分為可因式分解的類二次型1．（2025·陜西西安·二模）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，爭辯的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)對、及分類爭辯即可得；【詳解】（1）的定義域為，，①當(dāng)時，，由，得，由，得，當(dāng)時，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，②當(dāng)時，，，當(dāng)時，，的區(qū)間上單調(diào)遞減，③當(dāng)時，由，得或，且.當(dāng)變化時，的變化狀況如下表：遞減遞增遞減綜上所述，當(dāng)時，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間上的單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減區(qū)間；2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知，爭辯函數(shù)的單調(diào)性.【答案】答案見解析【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分類爭辯，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域為，且①當(dāng)時，由于，所以，所以.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.②當(dāng)時，由，解得；由，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.③當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）恒成立，所以在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時，由，解得；由，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.3．（2025·全國·模擬猜測）已知函數(shù)，.(1)若（其中為的導(dǎo)函數(shù)），爭辯的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，通過爭辯的范圍，求出的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1），則，當(dāng)時，由得，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得或；令，得，∴在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得或；令，得，∴在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.4．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知，其中為自然對數(shù)底數(shù)．(1)爭辯的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到，再分、、三種狀況爭辯，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，令，解得或．①當(dāng)時，，則當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，，則當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．五、導(dǎo)函數(shù)有效部分為不行因式分解的二次型1．（2025·山東青島·一模）已知函數(shù)．(1)若，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求該切線的方程；(2)爭辯的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，依據(jù)可得，即可利用點(diǎn)斜式求解，（2）求導(dǎo)，結(jié)合分類爭辯求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合二次方程根的狀況，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得又由于，所以切線方程為：，即（2）的定義域為，當(dāng)時，得恒成立，在單調(diào)遞增當(dāng)時，令，（i）當(dāng)即時，恒成立，在單調(diào)遞增（ii）當(dāng)即時，由得，或，由得，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減2．（23-24高二下·安徽淮北·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)爭辯函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)極大值0(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，求出極值即可；（2）含參數(shù)的單調(diào)性爭辯，求導(dǎo)后分與零的大小求出導(dǎo)函數(shù)為零的根，再求單調(diào)區(qū)間，爭辯單調(diào)性即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，令，解得（舍），，所以當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；所以當(dāng)時為極大值，.（2），①當(dāng)時，，恒大于零，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)；②當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)分子恒大于零，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)；③當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)分子為零時的兩個根，由于，所以單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，在為單調(diào)遞增函數(shù)；在為單調(diào)遞減函數(shù).3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知，爭辯的單調(diào)性.【答案】當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)或時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【分析】通過求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行正負(fù)推斷，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題得，令得，①若，即當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞增；②若，即當(dāng)或時，可得的兩根分