1、FDTD數(shù)值分析法,目錄,1.麥克斯韋方程的基礎(chǔ)知識(shí) 2.一維和三維Maxwell方程的Yee算法 3.數(shù)值穩(wěn)定性分析 4.吸收邊界條件 5.波源的設(shè)置 6.編程思路,基礎(chǔ)知識(shí),麥克斯韋方程微分形式：,BPM方式,基礎(chǔ)知識(shí),麥克斯韋方程微分形式：,FDTD方式將時(shí)間進(jìn)行差分，并且磁場(chǎng)與電場(chǎng)交替迭代更新,時(shí)諧場(chǎng)形式：,對(duì)于有耗媒質(zhì)：,一維Maxwell方程的Yee算法,一維Maxwell方程，介質(zhì)參數(shù)和場(chǎng)量均與x，y無(wú)關(guān)(無(wú)損，電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率為0) 利用一階導(dǎo)數(shù)的二階中心差分近似，上面的方程變?yōu)?一維Maxwell方程的Yee算法,采用歸一化磁場(chǎng) 使得電場(chǎng)與歸一化磁場(chǎng)有相同的數(shù)量級(jí)，于是可以得到

2、FDTD迭代公式為 式中， 為自由空間中的光速。,一維Maxwell方程的Yee算法,用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言表示的FDTD公式 式中，時(shí)間變量已隱含在迭代公式中，以及 只要給定了所有空間點(diǎn)上電/磁場(chǎng)的初值，就可以一步一步地求出任意時(shí)刻所有空間點(diǎn)上的電/磁場(chǎng)值。,一維Maxwell方程的Yee算法,三維Maxwell方程的Yee算法,FDTD離散中的Yee元胞,1.每一個(gè)磁場(chǎng)分量由四個(gè)電場(chǎng)分量環(huán)繞；每一個(gè)電場(chǎng)分量由四個(gè)磁場(chǎng)分量環(huán)繞 2.這種空間取樣方式符合法拉第感應(yīng)定律和安培環(huán)路定律 3.電場(chǎng)和磁場(chǎng)在時(shí)間上交替抽樣，抽樣時(shí)間彼此相差半個(gè)時(shí)間步,三維Maxwell方程的Yee算法,Maxwell旋度方程為,

3、三維Maxwell方程的Yee算法,采用時(shí)間平均近似,最后得：,可以看到有個(gè)2階小量，這個(gè)要忽略掉，因此是近似的,三維Maxwell方程的Yee算法,同理，可以得到其他2個(gè)磁場(chǎng)分量的FDTD方程,三維Maxwell方程的Yee算法,利用對(duì)偶原理： ，并注意到E與H在時(shí)間上差半個(gè)步長(zhǎng)，可以直接從磁場(chǎng)FDTD公式得到電場(chǎng)的FDTD公式。如：,三維Maxwell方程的Yee算法,三維Maxwell方程的Yee算法,介紹了求解矢量Maxwell方程的FDTD Yee算法，歸納起來(lái)，Yee算法的主要特點(diǎn)有： 1）Yee算法采用耦合的Maxwell旋度方程，同時(shí)在時(shí)間和空間求解電場(chǎng)和磁場(chǎng)，而不是采用波動(dòng)方

4、程只求解電場(chǎng)或磁場(chǎng)。 2） Yee網(wǎng)格在三維空間這樣安排E和H分量，使得每一個(gè)E或H分量由四個(gè)H或E循環(huán)的分量所環(huán)繞。 3） Yee算法以蛙跳算法在時(shí)間上安排E和H分量。在某一時(shí)刻，使用前一時(shí)刻的E數(shù)據(jù)計(jì)算所有H分量。然后，再使用剛計(jì)算的H數(shù)據(jù)計(jì)算所有的E分量。如此循環(huán)，直至完成時(shí)間步進(jìn)過(guò)程。,數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題,（1）FDTD計(jì)算中每一步都是有誤差的，隨著時(shí)間步進(jìn)，誤差會(huì)不斷積累。如果誤差的積累不會(huì)造成總誤差的增加，就成FDTD法是穩(wěn)定的，否則成為不穩(wěn)定的。數(shù)值不穩(wěn)定性會(huì)造成計(jì)算結(jié)果隨時(shí)間步進(jìn)無(wú)限增加。 （2）FDTD法是有條件穩(wěn)定的，即：時(shí)間步必須必須小于一定值以避免數(shù)值不穩(wěn)定性。 （3）數(shù)值

5、穩(wěn)定性分析方法是建立在Courant等人幾十年前提出的經(jīng)典方法基礎(chǔ)上。這種方法首先把有限差分算法分解為相互分離的時(shí)間和空間本征值問(wèn)題。,數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題,二維的Yee算法數(shù)值Courant穩(wěn)定性條件,三維的Yee算法數(shù)值Courant穩(wěn)定性條件,便于理解，當(dāng)Yee元胞為立方體時(shí)，此兩式表明時(shí)間間隔必須等于或小于波以光速通過(guò)yee元胞對(duì)角線長(zhǎng)度1/3或1/2所需時(shí)間,差分近似所帶來(lái)的數(shù)值色散,一維標(biāo)量波動(dòng)方程為例,設(shè)在離散空間點(diǎn) ,離散行波解為,將上式代入差分方程 得：,最后得色散關(guān)系,我們想要k與沒(méi)加元胞之前的k一樣，但是差分近似后k變的不一樣,差分近似所帶來(lái)的數(shù)值色散,將平面波帶入差分方程所出

6、現(xiàn)的穩(wěn)定性、色散、以及各向異性，這些特性并非由介質(zhì)的物理特性所引起，而是數(shù)值計(jì)算中的差分近似所致，在FDTD數(shù)值計(jì)算中，穩(wěn)定性、色散、各向異性將影響計(jì)算精度。,吸收邊界條件,理論上說(shuō)，求解空間是無(wú)限大的，但是由于計(jì)算的數(shù)據(jù)容量問(wèn)題，需要在有限空間的周圍做特殊處理，使得向邊界面行進(jìn)的波在邊界處保持“外向行進(jìn)”，無(wú)明顯的反射現(xiàn)象，并且不會(huì)使內(nèi)部空間的場(chǎng)產(chǎn)生畸變。 1）Mur吸收邊界條件 2）Berenger完美匹配層（PML） 3）各向異性匹配層吸收邊界條件,Berenger完美匹配層（PML）,只考慮二維TE情況，對(duì)于二維TM和三維情況可采用類似方法進(jìn)行分析。 分析范圍在PML層內(nèi),分別表示自由

7、空間中的電導(dǎo)率和磁阻率,分別表示自由空間中的電導(dǎo)率和磁阻率,Berenger為了引入規(guī)定損耗和阻抗匹配的新自由度，將 Hz分裂為兩個(gè)分量 和 ，即 同時(shí)引入了新的電導(dǎo)率 和磁損耗 ，并規(guī)定TE情形的四個(gè)場(chǎng)分量（而不是通常的3個(gè)）由下列方程耦合在一起：,Hz,Hz,Berenger完美匹配層（PML）,換句話說(shuō)，Berenger構(gòu)造了一般新的非物理媒質(zhì)（稱為PML媒質(zhì)），在該媒質(zhì)中場(chǎng)滿足左端的方程（并不一定是Maxwell方程） 經(jīng)過(guò)一系列公式推導(dǎo)：最后得出無(wú)反射匹配條件,表明PML媒質(zhì)中的波阻抗與入射角無(wú)關(guān)，與真空中波阻抗相同，這意味著從真空中的任意角度入射到PML媒質(zhì)交界面時(shí)將會(huì)無(wú)反射地進(jìn)入

8、PML媒質(zhì)中，并在PML媒質(zhì)中衰減地傳播,Berenger完美匹配層（PML）,1.若分界面垂直于x軸（y軸），要求二者具有相同的橫向電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率，且橫向和縱向電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率均滿足阻抗匹配條件。,Berenger完美匹配層（PML）,如何計(jì)算：任何普通介質(zhì)均可以視為特殊的PML介質(zhì)，但麥克斯韋方程只需計(jì)算三個(gè)分量，而不是PML的四個(gè)分量。 另外由于在介質(zhì)中電磁波衰減的很快，常規(guī)FDTD中Yee的差分格式已不再適用，需要指數(shù)差分,波源的設(shè)置,為了用FDTD法模擬電磁場(chǎng)工程問(wèn)題，必須在FDTD網(wǎng)格中引入電磁波激勵(lì)源。 常用的波源種類： 平面波源用于電磁散射問(wèn)題； 導(dǎo)波源用于微波網(wǎng)絡(luò)參數(shù)計(jì)算； 電

9、流源或電壓源用于微波電路或天線的激勵(lì)。 常用的設(shè)置方式： 初始條件； 硬源； 電流源； 總場(chǎng)/散射場(chǎng)公式,硬波源,硬波源可以通過(guò)規(guī)定FDTD空間網(wǎng)格中電場(chǎng)或磁場(chǎng)分量滿足所希望的時(shí)間函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單地設(shè)置。如：在網(wǎng)格點(diǎn)（is,js,ks)建立Ez的硬源為: 硬波源相當(dāng)于點(diǎn)源，模擬從源點(diǎn)向外輻射的具有與源函數(shù)性質(zhì)相同的數(shù)值波。如果材料結(jié)構(gòu)放在離波源一定距離的地方，輻射的數(shù)值波最終傳播到這個(gè)結(jié)構(gòu)，一部分傳輸過(guò)去，一部分反射。在原理上，時(shí)間步進(jìn)可以連續(xù)進(jìn)行，直到所有的瞬態(tài)波消失。,硬波源,常用源波形有以下三種 正弦波源為時(shí)諧源，提供了頻率為f0的正弦波。 FDTD模擬時(shí)，一般采用Gaussian脈沖信號(hào)激

10、勵(lì)，因?yàn)樗梢蕴峁掝l帶特性。 Gaussian脈沖信號(hào)的頻譜也是Gaussian函數(shù)。,硬波源,但是，在連續(xù)時(shí)間步進(jìn)時(shí)，當(dāng)反射波到達(dá)波源位置，由于波源處總場(chǎng)已被規(guī)定，并沒(méi)有考慮網(wǎng)格中可能的反射波（所以稱為硬源），硬源對(duì)這些反射波就會(huì)造成寄生的非物理的再次反射。當(dāng)規(guī)定了一個(gè)表面上的總場(chǎng)而沒(méi)有考慮反射場(chǎng)值時(shí)，寄生反射就一定會(huì)發(fā)生。 解決這一問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單方法是當(dāng)反射波到達(dá)波源位置時(shí)去掉波源。這就要求源離散射體足夠遠(yuǎn)，使散射波到達(dá)源位置時(shí)源入射波已基本為零，所以這種方法不適合正弦入射波源。,編程思路（二維TE+PML邊界條件）,第一步：基本參數(shù)設(shè)置，包擴(kuò)介電系數(shù)，磁導(dǎo)系數(shù)，頻率，波長(zhǎng)等,編程思路（

11、二維TE+PML邊界條件）,第二步：網(wǎng)格參數(shù)設(shè)置,編程思路（二維TE+PML邊界條件）,第三步： 材料屬性以及激勵(lì)源設(shè)置,編程思路（二維TE+PML邊界條件）,第四步： 初始場(chǎng)設(shè)置（無(wú)激勵(lì)），矩陣形式,編程思路（二維TE+PML邊界條件）,第五步：中心場(chǎng)區(qū)的系數(shù)設(shè)置,編程思路（二維TE+PML邊界條件）,第六步：PML區(qū)的設(shè)置，指數(shù)差分系數(shù)設(shè)置 以Front層為例，按照相似的辦法定義back，left，right，PML邊界層,編程思路（二維TE+PML邊界條件）,第七步：movie初始化,編程思路（二維TE+PML邊界條件）,第八步：電磁場(chǎng)隨時(shí)間迭代運(yùn)算，之前都是初始化,從電場(chǎng)迭代到磁場(chǎng)迭代過(guò)程，中間還需要將ex在PML層更新,編程思路（二維TE+PML邊界條件）,第九步：將電場(chǎng)在PML層迭代，以Ex在PML邊界迭代為例,編程思路（二維TE+PML邊界條件）,第九步：將電場(chǎng)在PML層迭代，以Ex在PML邊界迭