1、專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù),-2-,-3-,2.1基本初等函數(shù)、函數(shù)的 圖象和性質(zhì),-5-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,函數(shù)及其表示 【例1】(1)若函數(shù)y=f(x)的定義域是0,2,則函數(shù)g(x)= 的定義域是. (2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在R上有定義,對(duì)于給定的正數(shù)M,定義函數(shù)fM(x),f(x)=2-x2,M=1,則fM(fM(0)的值為. 分析推理(1)利用換元法,把2x看作一個(gè)整體,即可求出f(2x)的定義域;然后注意分母與對(duì)數(shù)真數(shù)的取值范圍,即可求得函數(shù)g(x)的定義域;(2)首先確定新定義函數(shù)的實(shí)質(zhì)分段函數(shù),此類函數(shù)值的求解,只需按照定義的規(guī)則,從內(nèi)到外逐步判斷并求解即可.,(0

2、,1),1,-6-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,解析:(1)由函數(shù)y=f(x)的定義域是0,2,得函數(shù)g(x)有意義的條件為02x2,且x0,x1,故x(0,1). (2)由題意,令f(x)=2-x2=1,得x=1, 因此當(dāng)x-1或x1時(shí),fM(x)=2-x2; 當(dāng)-1x1時(shí),fM(x)=1, 所以fM(0)=1,fM(fM(0)=fM(1)=2-12=1.,-7-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,若(1)中,已知函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?,2,求函數(shù)g(x)= 的定義域呢? (2)中若給定的函數(shù)為f(x)=a-x2,M=1,且f(f(x)=f(x)恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值

3、范圍.,解:(1)設(shè)t=2x,由已知函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?,2,得x0,2, 所以t=2x0,4. 所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,4. 綜上可知,函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,1)(1,4.,-8-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,(2)由定義可知,若f(f(x)=f(x)恒成立, 則f(x)1恒成立,即a-x21, 也就是ax2+1恒成立. 顯然x2+11,所以a1.,規(guī)律方法1.若已知函數(shù)的解析式,則這時(shí)函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍,只需構(gòu)建并解不等式(組)即可;若已知f(x)的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)f(g(x)的定義域應(yīng)由不等式ag(x)b解出;實(shí)際問題除

4、要考慮函數(shù)解析式有意義外,還應(yīng)考慮其現(xiàn)實(shí)意義. 2.當(dāng)求形如f(g(x)的函數(shù)值時(shí),應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則;而對(duì)于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題,必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.,-9-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,的定義域是() A.0,1B.(0,1) C.0,1)D.(0,1,則f(log26)的值為() A.3B.6 C.8D.12,B,D,-10-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,解析:(1)由題意,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,1,即-1x1, 令-12x-11,解得0 x1, 又由f(x)滿足1-x0,且1-x1,解得x1,且x0, 所以函數(shù)f(x)的定義域

5、為(0,1),故選B.,因?yàn)閘og263, 故得到f(log26)=f(1+log26)= 2 log 2 12 =12.故選D.,-11-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù) C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù) (2)(2019天津河?xùn)|區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對(duì),A.cbaB.bcaC.abcD.acb,A,C,-12-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,由已知和定義即可確定函數(shù)g(x)的單調(diào)性,然后把a(bǔ),b,c轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的函數(shù)值,先比較對(duì)應(yīng)

6、自變量的大小,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.,-13-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,因?yàn)?.22bc. 故選C.,-14-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,規(guī)律方法1.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性使得自變量的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”. 2.函數(shù)的奇偶性和周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì).偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性;奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性. 3.特別注意“奇函數(shù)若在x=0處有定義,則一定有f(0)=0”“偶函數(shù)一定有f(|

7、x|)=f(x)”在解題中的應(yīng)用.,-15-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,即時(shí)鞏固2(1)(2019山西考前適應(yīng)性訓(xùn)練二)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在區(qū)間(0,1)內(nèi)是增函數(shù)的是() A.y=xln xB.y=x2+x C.y=cos 2xD.y=ex-e-x (2)(2019天津和平區(qū)第二次質(zhì)量調(diào)查)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-,0上是增函數(shù),設(shè)a=f(ln ),b=f(-log52),c=f( ),則a,b,c的大小關(guān)系是() A.bcaB.abcC.cbaD.acb,D,D,-16-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,解析:(1)A.函數(shù)的定義域?yàn)?0

8、,+),函數(shù)為非奇非偶函數(shù),不滿足條件; B.f(1)=2,f(-1)=0,則f(-1)-f(1),則函數(shù)不是奇函數(shù),不滿足條件; C.y=cos 2x是偶函數(shù),不滿足條件; D.f(-x)=e-x-ex=-f(x),函數(shù)是奇函數(shù),函數(shù)y=ex-e-x在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù),滿足條件,故選D.,-17-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,故選D.,-18-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 【例3】(1)(2019河南鄭州第三次質(zhì)檢)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說:數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中,常用函數(shù)的

9、圖象來研究函數(shù)的性質(zhì),也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)圖象的特征,如函數(shù),D,-19-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,(2)如圖,函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB,則不等式f(x)log2(x+1)的解集是() A.x|-1x0 B.x|-1x1 C.x|-1x1 D.x|-1x2 分析推理(1)首先根據(jù)函數(shù)解析式分析函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)性質(zhì)排除干擾項(xiàng)即可,由函數(shù)的奇偶性,可排除A,B選項(xiàng),再取特值求得f(3),f(4),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除選項(xiàng)C,可得答案.(2)在題圖中畫出函數(shù)y=log2(x+1)的圖象,根據(jù)圖形的直觀性確定交點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到不等式的解集.,C,-20-,突破點(diǎn)一,突破

10、點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,所以函數(shù)f(x)不是偶函數(shù),圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱,故排除A,B選項(xiàng);,所以f(3)f(4),而選項(xiàng)C在x0是遞增的,故排除C選項(xiàng),故選D.,-21-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,(2)如圖,作出函數(shù)f(x)與y=log2(x+1)的圖象. 易知直線BC的方程為y=-x+2,由圖可知,當(dāng)-1x1時(shí),f(x)log2(x+1),所以所求解集為x|-1 x1.,-22-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,規(guī)律方法因?yàn)楹瘮?shù)的圖象直觀地反映了函數(shù)的性質(zhì),所以通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究能夠判斷出函數(shù)圖象的大體變化趨勢(shì).通過對(duì)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱性的研究,

11、觀察圖象是否與之相符合,有時(shí)還要看函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)是否相符.,-23-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,即時(shí)鞏固3(1)明清時(shí)期,古鎮(zhèn)河口因水運(yùn)而繁華.若有一商家從石塘沿水路順?biāo)叫?前往河口,途中因故障停留一段時(shí)間,到達(dá)河口后逆水航行返回石塘.假設(shè)貨船在靜水中的速度不變,水流速度不變,若該船從石塘出發(fā)后所用的時(shí)間為x(單位:h)、貨船距石塘的距離為y(單位:km),則下列各圖中,能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是(),A,-24-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,解析:(1)由題意可得,貨船從石塘到停留一段時(shí)間前,y隨x增大而增大;停留一段時(shí)間內(nèi),y隨x增

12、大而不變;解除故障到河口這段時(shí)間,y隨x增大而增大;從河口到返回石塘這段時(shí)間,y隨x增大而減少.故選A.,-25-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,若a=0,則f(x)的最大值為; 若f(x)無最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.,2,(-,-1),-26-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,解析:(2)令g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由g(x)=3x2-3=0,得x=1.可判斷當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)的極小值為-2;當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)g(x)的極大值為2,點(diǎn)為A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函數(shù)g(x)與(x)的大致圖象如圖所示.,-27-,突破點(diǎn)一,突

13、破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,由圖象知,當(dāng)a-1時(shí),f(x)有最大值f(-1)=2;當(dāng)a-1時(shí),有a3-3a -2a,此時(shí)f(x)無最大值,故a的取值范圍是(-,-1).,-28-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,利用函數(shù)思想求參數(shù)的取值范圍 【例4】已知函數(shù)f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a0),當(dāng)x(-3,2)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(-,-3)(2,+)時(shí),f(x)0. (1)求f(x)在區(qū)間0,1上的值域. (2)當(dāng)c為何值時(shí),不等式ax2+bx+c0在區(qū)間1,4上恒成立? 分析推理首先根據(jù)已知不等式的解集得到函數(shù)f(x)的零點(diǎn),進(jìn)而求出a,b的值,確定函數(shù)解析式.第(1)

14、問只需判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性,即可確定函數(shù)的值域.第(2)問可從兩個(gè)角度解決:一是直接求不等式對(duì)應(yīng)函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值,然后令最大值非正即可;二是由不等式分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)在區(qū)間上的最值問題.,-29-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,解:由題意得x=-3和x=2是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),且a0,(1)如圖所示, 由圖象知,函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減, 則當(dāng)x=0時(shí),y=18; 當(dāng)x=1時(shí),y=12. 故f(x)在區(qū)間0,1上的值域?yàn)?2,18.,-30-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,(2)(方法一)令g(x)=-3x2+5x+c.,要使g(x)0在區(qū)間1

15、,4上恒成立,則需要g(x)max=g(1)0, 即-3+5+c0,解得c-2. 當(dāng)c-2時(shí),不等式ax2+bx+c0在區(qū)間1,4上恒成立. (方法二)不等式-3x2+5x+c0在區(qū)間1,4上恒成立, 即c3x2-5x在區(qū)間1,4上恒成立.令g(x)=3x2-5x, x1,4,且g(x)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增, g(x)min=g(1)=312-51=-2,c-2. 即當(dāng)c-2時(shí),不等式ax2+bx+c0在區(qū)間1,4上恒成立.,-31-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,規(guī)律方法恒成立問題大多是在不等式中,已知變量的取值范圍,求參數(shù)的取值范圍,常用的處理方法有: (1)分離參數(shù)法.在給出

16、的不等式中,若能分離出參數(shù),可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.即af(x)恒成立,只需求出f(x)max,則af(x)max;若af(x)恒成立,只需求出f(x)min,則af(x)min. (2)數(shù)形結(jié)合法.數(shù)形結(jié)合法是先將不等式兩端的式子分別看作兩個(gè)函數(shù),且正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,再通過觀察兩圖象(特別是交點(diǎn)處)的位置關(guān)系,列出關(guān)于參數(shù)的不等式. (3)確定主元法.在給出的含有兩個(gè)變量x,a的不等式中,常把x看成是主元(未知數(shù)),把a(bǔ)看成參數(shù).若問題中已知a的取值范圍,求x的取值范圍,則把a(bǔ)作主元,x作參數(shù),可簡(jiǎn)化解題過程.,-32-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,即時(shí)鞏固4(1)已知當(dāng)x0,

17、1時(shí),函數(shù)y=(mx-1)2的圖象與y= +m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是(),(2)已知當(dāng)x(-,1時(shí),不等式1+2x+(a-a2)4x0恒成立,求a的取值范圍.,B,-33-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,綜上可得m的取值范圍是(0,13,+).故選B.,-34-,突破點(diǎn)一,突破點(diǎn)二,突破點(diǎn)三,突破點(diǎn)四,(2)解:令2x=t,x(-,1,t(0,2,-35-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,-36-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,1.已知a=log2e,b=ln 2,c= ,則a,b,c的大小關(guān)系為() A.abcB.bac C.cbaD.cab,D,遞增,所以log23log2el

18、og22=1,即ca1. 因?yàn)閥=ln x在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,且b=ln 2,所以ln 2ab.故選D.,-37-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,f(2 019)=() A.-2B.-1 C.1 D.2,C,當(dāng)x0時(shí),f(x)=f(x-2), 所以f(2 019)=f(21 010-1)=f(-1)=2-1=1.故選C.,-38-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,3.(2019天津十二重點(diǎn)中學(xué)下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考(一)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),且函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0)內(nèi)是減函數(shù),若a=,A.acbB.cba C.bcaD.cab,A,解析:f(-x)=f(x),f(x)是偶函數(shù), f(-20.8)=f(20.8),2020.821,120.82, -2-20.8-1,-39-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,即acb,故選A.,-40-,核心歸納,預(yù)測(cè)演練,4.(2019天津七校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,1)內(nèi)是減函數(shù),且y=f(x+1)是