1、工程數(shù)學,積 分 變 換,(第四版),引言:,所謂積分變換,就是通過積分運算,把一個函數(shù) 變成另一個函數(shù)的變換.,Fourier變換,Laplace變換,象原函數(shù) (方程的解),象函數(shù),微分,積分 方程,象函數(shù)的 代數(shù)方程,Fourier逆變換,Fourier變換,解代數(shù)方程,第一節(jié) Fourier積分,一.Fourier級數(shù) 二.非周期函數(shù)的Fourier展開 三.Fourier積分定理,一、Fourier,Jean Baptiste Joseph (傅立葉) 簡介,法國數(shù)學家及物理學家。 1768年3月21 日生于歐塞爾， 1830年5月16日卒于巴黎。 最早使用定積分符號，改進符號法則及

2、根數(shù)判別方法。傅立葉級數(shù)（三角級數(shù)）創(chuàng)始人。 主要貢獻 1、在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。1807年向巴黎科學院呈交熱的傳播論文， 推導出著名的熱傳導方程 ，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。,2、1822 年在代表作熱的分析理論中解決了熱在非均勻加熱的 固體中分布傳播問題，成為分析學在物理中應用的最早例證之一，對19 世紀數(shù)學和理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論 均由此創(chuàng)始。,二、Fourier 級數(shù)或變換的應用領域,信號分析，包括濾波、數(shù)據(jù)壓縮、電力系統(tǒng)的監(jiān)控等； 研究偏微分

3、方程，比如求解熱力學方程的解時，把f(t)展開為三角級數(shù)最為關鍵。 概率與統(tǒng)計，量子力學等學科。,引言: 在工程計算中, 無論是電學還是力學, 經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道. 例如:,具有性質fT(t+T)=fT(t), 其中T稱作周期, 而1/T代表單 位時間振動的次數(shù), 單位時間通常取秒, 即每秒重復多 少次, 單位是赫茲(Herz, 或Hz).,t,最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)fT(t)=Asin(wt+j)其中 A 稱為振幅，w=2p/T 稱為角頻率，j 稱為初相角,而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數(shù)sinwt和coswt 的線性組合 Asin(wt+j)

4、=asinwt+bcoswt,t,人們發(fā)現(xiàn), 所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.,方波,4個正弦波的逼近,100個正弦波的逼近,預備知識:,1, 連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;,2, 只有有限個極值點,注: 這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).,一. Fourier級數(shù),1.Dirichlet條件,若函數(shù)在區(qū)間-T/2,T/2上滿足:,則稱函數(shù)滿足Dirichlet條件.,第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:,第二類間斷點,第一類間斷點,不滿足Dirichlet條件的例子:,而在工程上所應用的函數(shù), 尤其是物理量的變化函數(shù), 全部滿足Dirichlet條件

5、. 實際上不連續(xù)函數(shù)都是嚴格上講不存在的, 但經(jīng)常用不連續(xù)函數(shù)來近似一些函數(shù), 使得思維簡單一些.,存在第二類間斷點；,在靠近 0 處存在無限多個極值點；,1. 研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內函數(shù)變化的情況.,說明:,并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用Fourier 級數(shù)逼近, 而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件.,2. Fourier級數(shù)的三角形式.,任何滿足Dirichlet條件的周期函數(shù)fT(t), 在連續(xù)點處可表示為三角級數(shù)的形式如下:,為求an, 計算fT(t), cosnwt, 即,同理, 為求bn, 計算fT(t

6、), sin nwt, 即,3. Fourier級數(shù)的復指數(shù)形式,為了應用上的方便, 我們常需要將Fourier級數(shù) 的三角形式轉化為復指數(shù)形式.,給定 fT(t), cn的計算如下:,如令wn=nw (n=0,1,2,.),則(1.1)式可以寫為,Fourier級數(shù)的復指數(shù)形式,或者寫為,非周期函數(shù),二.非周期函數(shù)的Fourier展開,作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在-T/2,T/2之內等于f(t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上.,則T越大, fT(t)與f(t)相等的范圍也越大, 這就說明 當T時, 周期函數(shù)fT(t)便可轉化為f(t), 即有,結論: 任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當T時轉化而來的.,如圖,w,O w1 w2 w3 wn-1wn,所以上式又可寫為,當t固定時,此時,很明顯,這里,此公式稱為函數(shù) f(t)的Fourier積分公式.,由于,定理 若f(t)在(-, +)上滿足條件:,三. Fourier積分定理,注意: 定理的條件是充分的.,復數(shù)形式,1, f(t)在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件;,2, f(t)在無限區(qū)間(-, +)上絕對可積, 則有,(1.4)式也可以轉化為三角形式,又考慮到積分,此為Fourier積分公式的三角形式.,Fouri