1、第2章 數(shù)學(xué)與文化,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)的內(nèi)容與特點,數(shù)學(xué)是什么 數(shù)學(xué)的定義： 數(shù)學(xué)是數(shù)和形的學(xué)問 數(shù)：代數(shù)，數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，有序思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理能力； 形：幾何，空間形式的科學(xué)，視覺思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)直覺和洞察能力。 數(shù)學(xué)是一門關(guān)于模式和秩序的科學(xué) 數(shù)學(xué)是對結(jié)構(gòu)、模式以及模式的結(jié)構(gòu)和諧性的研究，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學(xué)本身的抽象世界中所觀察到的結(jié)構(gòu)和對稱性。 數(shù)學(xué)提供了有特色的思考方式 抽象化：許多不同現(xiàn)象所共有的性質(zhì)； 符號化：把自然語言擴充、深化，變?yōu)榫o湊、簡明的符號語言； 公理化：從原始資料進行推理，歸納與演繹并用； 最優(yōu)化：考察所有的可能性，尋求最優(yōu)解； 建立模型：現(xiàn)實現(xiàn)象數(shù)

2、量關(guān)系數(shù)學(xué)問題,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)的內(nèi)容與特點,名家論數(shù)學(xué) 恩格斯：數(shù)和形的概念不是從其它任何地方，而是從現(xiàn)實世界中得來的。 愛因斯坦：如果歐幾里得（幾何）不能激起你年輕的熱情，那么你就不會成為一個科學(xué)思想家。 牛頓：在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略。 華羅庚：宇宙之大，核子之微，火箭之速，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。 培根：讀史使人明智，讀詩使人靈秀，數(shù)學(xué)使人周密，科學(xué)使人深刻，倫理學(xué)使人莊重，邏輯修辭之學(xué)使人善辯，凡有所學(xué)，皆成性格。 錢學(xué)森：現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，不管哪一門都離不開數(shù)學(xué)，離不開數(shù)學(xué)的一門或幾門學(xué)科。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)的內(nèi)容與特點,初等數(shù)學(xué) 幾何學(xué)：研究空間形式的學(xué)科 代數(shù)學(xué)：研究數(shù)量關(guān)系的

3、學(xué)科 初等數(shù)學(xué)基本上是常量數(shù)學(xué),高等數(shù)學(xué) 解析幾何 線性代數(shù) 高等代數(shù) 微積分：常微分、偏微分方程 概率與數(shù)理統(tǒng)計,數(shù)學(xué)的內(nèi)容,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)的內(nèi)容與特點,數(shù)學(xué)的特點 抽象性：在數(shù)學(xué)的抽象中之保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其它一切；數(shù)學(xué)的抽象是一個歷史過程，是一級一級逐步提高的，它們所達到的抽象程度大大超過了其它學(xué)科中的一般抽象；數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中。例如：力、質(zhì)點、理想氣體、人。 精確性：數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義的準確性，推理邏輯的嚴格性，以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑與無可爭辯性。,理論與結(jié)果的優(yōu)美性：數(shù)學(xué)的美在于發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律(周長:直徑=)；和諧、雅致(解析

4、幾何學(xué))；高度的抽象和統(tǒng)一(阿拉伯?dāng)?shù)字)；對稱、簡介、有序(a+b)3)。 應(yīng)用的極端廣泛性：凡是出現(xiàn)“量”的地方就少不了用數(shù)學(xué)；它是其它任何學(xué)科的工具學(xué)科；一般通過建立數(shù)學(xué)模型來研究實際問題。 應(yīng)用的前瞻性：即超前性?；A(chǔ)研究對未來有“不期而遇”的用途。 詩人用想象去預(yù)見未來，政治家用意志去預(yù)見未來，慈善家用情感區(qū)預(yù)見未來，數(shù)學(xué)家用理智、數(shù)學(xué)公式去預(yù)見未來。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)的內(nèi)容與特點,數(shù)學(xué)的新用途概述 通常人們把數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。哈代的數(shù)論，愛因斯坦的相對論都是“無害而清白”學(xué)問的范例。原子彈！海灣戰(zhàn)爭=數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭！ 計算機的介入改變了數(shù)學(xué)研究的方法，大大擴展了數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域，加強

5、了數(shù)學(xué)與社會多方面的聯(lián)系；（數(shù)學(xué)實驗、核爆模擬等） 數(shù)學(xué)直接介入社會，數(shù)學(xué)模型的作用越來越大；（植物病蟲害防治） 離散數(shù)學(xué)獲得重大發(fā)展，人們可以在不懂微積分的情況下，對數(shù)學(xué)作出重大貢獻； 分形幾何與混沌學(xué)的誕生是數(shù)學(xué)史上的重大事件。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)的內(nèi)容與特點,數(shù)學(xué)的新用途概述 1、化學(xué) 數(shù)學(xué)家豪普特曼用古典數(shù)學(xué)的方法解決了晶體的幾何結(jié)構(gòu)問題！解決了化學(xué)家長達40多年的困惑，1985年獲諾貝爾化學(xué)獎。 2、生物學(xué) 沈括已觀察到出生性別大致相等規(guī)律，建立“育胎之理”的數(shù)學(xué)模型； 奧地利的孟德爾通過植物雜交實驗提出了“遺傳因子”的概念，發(fā)現(xiàn)生物遺傳的分離定律和自由組合定律； 英國人皮爾遜創(chuàng)辦了生物

6、統(tǒng)計學(xué)奏響了數(shù)學(xué)進軍生物學(xué)的序曲； 意大利數(shù)學(xué)家沃爾泰拉創(chuàng)立了生物動力學(xué)。 最有影響的分支是生命科學(xué)?！皵?shù)學(xué)打開了DNA雙螺旋的疑結(jié)”。 對生理學(xué)和腦科學(xué)也產(chǎn)生了很大的影響。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)的內(nèi)容與特點,數(shù)學(xué)的新用途概述 3、地學(xué) 分形地貌學(xué)是一門用現(xiàn)代非線性科學(xué)中的分形方法及原理研究地球表面起伏形態(tài)及其發(fā)生、發(fā)展和分布規(guī)律的新興科學(xué)?，F(xiàn)代氣象學(xué)中的數(shù)值天氣預(yù)報是在數(shù)學(xué)家馮諾依曼等人的設(shè)計和支持下實驗成功的。 4、體育運動 用現(xiàn)代方法研究體育運動是從20世紀70年代開始的。最早是美國數(shù)學(xué)家J.B.凱勒發(fā)表了賽跑的理論。投擲技術(shù)、臺球的擊球方向、跳高的起跳點、比賽程序的編排、博弈論與決策等。 5

7、、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)的聯(lián)姻 經(jīng)濟學(xué)在社會科學(xué)中占有舉足輕重的地位。數(shù)學(xué)介入經(jīng)濟學(xué)使其發(fā)生了深刻而巨大的變化。19691990年間14/27經(jīng)濟學(xué)諾貝爾獎得主是用數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于經(jīng)濟分析之中。 6、自然界 禪的鳴叫聲總是一致的；螢火蟲的同步閃光。數(shù)學(xué)模型！,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)發(fā)展簡史,數(shù)學(xué)發(fā)展的四個時期 第一時期：數(shù)學(xué)的萌芽時期 第二時期：初等數(shù)學(xué)時期，即常量 數(shù)學(xué)時期 第三時期：變量（近代）數(shù)學(xué)時期 第四時期：現(xiàn)代數(shù)學(xué),第一時期數(shù)學(xué)的萌芽時期 從時間來看，大約是從遠古到公元前6世紀； 特點：形成了數(shù)的概念，初步掌握運算方法，積累一些數(shù)學(xué)知識； 中國、埃及、巴比倫和印度貢獻最大。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)發(fā)展簡史,數(shù)

8、學(xué)發(fā)展的四個時期 第二時期初等數(shù)學(xué)時期，即常量數(shù)學(xué)時期 從時間上來看，大約是從公元前6世紀到公元17世紀； 特點：將零星的數(shù)學(xué)知識進行積累、歸納、系統(tǒng)化，采用邏輯演繹的方法形成了古典初等數(shù)學(xué)的體系； 標志物：公元前3世紀到2世紀的幾何原本和九章算術(shù) 按照歷史條件的不同，把初等數(shù)學(xué)史分為三個時期： 希臘時期：最輝煌的著作是歐幾里得的幾何原本 東方時期：中國第一次利用負數(shù)；印度發(fā)明現(xiàn)代記數(shù)法；中亞西亞造出精確的正弦表 文藝復(fù)興時期：歐洲人第一次運用虛數(shù)；韋達造出現(xiàn)代代數(shù)符號；納皮爾發(fā)明對數(shù)；布里格算出第一個十進制對數(shù)表,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)發(fā)展簡史,數(shù)學(xué)發(fā)展的四個時期 第三時期變量（近代）數(shù)學(xué)時期 從時

9、間上看，從公元17世紀到19世紀末 研究對象：由常量變量，有限無限，確定性非確定性 研究方法：由傳統(tǒng)的幾何演繹方法算術(shù)、代數(shù)的分析方法 17世紀是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個具有開創(chuàng)性的世紀，創(chuàng)立很多新領(lǐng)域： 1637年笛卡爾的幾何學(xué)問世，奠定了解析幾何的基礎(chǔ)； 17世紀后半葉，牛頓和萊布尼茲建立了微積分，這是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的決定性步驟； 18世紀以微積分為基礎(chǔ)發(fā)展成為主流的數(shù)學(xué)分析；,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)發(fā)展簡史,數(shù)學(xué)發(fā)展的四個時期 第三時期變量（近代）數(shù)學(xué)時期 19世紀是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個偉大轉(zhuǎn)折的世紀 近代數(shù)學(xué)的主體部分：微積分數(shù)學(xué)分析；方程論高等代數(shù)；解析幾何高等幾何。這為變量數(shù)學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變準備了充分條件

10、。 “三大突破”加速了變量數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變： 數(shù)學(xué)分析中傅里葉級數(shù)的產(chǎn)生和建立，使函數(shù)概念有了重大突破； 代數(shù)學(xué)中伽羅瓦群論的產(chǎn)生使得代數(shù)運算的概念發(fā)生了重大突破； 在幾何學(xué)中非歐幾里得幾何的誕生在空間概念方面發(fā)生了重大突破。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)發(fā)展簡史,數(shù)學(xué)發(fā)展的四個時期 第四時期現(xiàn)代數(shù)學(xué) 從時間上看，從公元19世紀末以后。 特點：由研究現(xiàn)實世界的一般抽象形式和關(guān)系，進入到研究更抽象、更一般的形式和關(guān)系，且各分支互相滲透融合。 計算機的出現(xiàn)和日益普及，數(shù)學(xué)越來越顯示出科學(xué)和技術(shù)的雙重品質(zhì)。 數(shù)學(xué)滲透到幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域里，起到越來越大的作用。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)發(fā)展簡史,悖論與數(shù)學(xué)的三次危機 悖

11、論：籠統(tǒng)地說，是指這樣的推理過程：它看上去是合理的，但結(jié)果卻得出了矛盾。在很多情況下，表現(xiàn)為能得出不符合排中律的矛盾命題：由它的真，可以推出它為假；由它的假，則可以推出它為真。 通常分為邏輯悖論（集合論悖論）與語義學(xué)悖論 兩個最著名的悖論：羅素悖論和理發(fā)師悖論 一個理發(fā)師宣稱，他要給所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。人們問：你該不該給自己理發(fā)？無論如何，他總會使自己左右為難。 悖論的出現(xiàn)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)發(fā)展簡史,希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機 畢達哥拉斯是公元前5世紀古希臘著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，他是國外最早證明勾股定理（畢達哥拉斯定理，百牛定理）的人，并創(chuàng)立了畢達哥拉

12、斯學(xué)派。認為“萬物皆數(shù)”，“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”。他的一位門徒希帕索斯提出：邊長為1的正方形其對角線長度是多少？的問題，發(fā)現(xiàn)它不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)，只能用一個新數(shù)來表示。他的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù) 的誕生。這在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大的風(fēng)暴，直接導(dǎo)致了人們認識上的危機，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。 到19世紀下半葉，無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面是人類對數(shù)的認識從有理數(shù)拓展到實數(shù)；另一方面也是真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機。它促成了公理幾何與邏輯的誕生。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)發(fā)展簡史,貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機 第二次數(shù)學(xué)危機發(fā)源于

13、微積分工具的使用。 對X2求導(dǎo)數(shù)：先將x取一個不為0的增量，由（x+x）2-x2,得到2xx+x2后在被x除，得到2x+x，最后突然令x=0，求得導(dǎo)數(shù)為2x。 數(shù)學(xué)史上把貝克萊就無窮小量在牛頓的微積分理論中一會兒說是零，一會兒又不是零的問題稱之為“貝克萊悖論”。它可以表述為：“無窮小量究竟是否為零”的問題，就當(dāng)時實際應(yīng)用中，它必須既是零，又不是零。在形式邏輯上無疑是矛盾的。這一問題在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機。 微積分學(xué)堅實牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時混亂的局面，同時也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機的徹底解決。它促成了分析基礎(chǔ)理論的完善與集合論的創(chuàng)立。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)發(fā)展

14、簡史,羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機 19世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立整個數(shù)學(xué)大廈，因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。但在1903年，一個震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。 羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題回答卻是會陷入兩難的境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S

15、。無論如何都是矛盾的。 這一悖論就像平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機。 公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機。它促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)與人類文明,數(shù)學(xué)是人類文明的重要力量 人類文明的三個鮮明的層次：以鋤頭為代表的農(nóng)耕文明；以大機器流水線作業(yè)為代表的工業(yè)文明；以計算機為代表的信息文明。 數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙培根（馬克思：一門科學(xué)只有在成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達到真正完善的地步。） 數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言：（德國數(shù)學(xué)家哲學(xué)家萊布尼茲：數(shù)學(xué)之所以有如此成就，之所以發(fā)展如此迅速，

16、就是因為數(shù)學(xué)有特制的符號語言。數(shù)學(xué)語言具有精確性和間接性。） 數(shù)學(xué)是思維的工具：（它具有運用抽象思維去把握實在的能力；它賦予科學(xué)知識以邏輯的嚴密性和結(jié)論的可靠性，是使認識從感性階段發(fā)展到理性階段，并使理性知識進一步深化的重要手段。）,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)與人類文明,數(shù)學(xué)是人類文明的重要力量 數(shù)學(xué)是理性的藝術(shù)：（美國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家哈爾莫斯：數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因為數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了美好的新概念；數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因為數(shù)學(xué)家像藝術(shù)家一樣生活，一樣工作，一樣思索；數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因為數(shù)學(xué)家這樣對待它們。） 數(shù)學(xué)與工程技術(shù)：(美國應(yīng)用數(shù)學(xué)家E.David：很少有人認識到被如此稱頌的高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)。風(fēng)

17、洞試驗，核試驗。) 數(shù)學(xué)與解放思想：（第一階段從數(shù)學(xué)開始成為一門科學(xué)直到以牛頓為最高峰的科學(xué)技術(shù)革命。第二階段特別是非歐幾何的出現(xiàn)是人類思想一次大革命。）,數(shù)學(xué)與文化數(shù)學(xué)與人類文明,數(shù)學(xué)與人類文明范例 1、古希臘的數(shù)學(xué)：最了不起的貢獻是認識到數(shù)學(xué)在人類文明中的基礎(chǔ)作用 2、歐幾里得的幾何原本：它的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上一個偉大的里程碑，被稱為數(shù)學(xué)家的圣經(jīng)，在數(shù)學(xué)史乃至人類科學(xué)史上有無以倫比的崇高地位。 3、說明歐氏幾何重大影響的幾個典型的例子： 阿基米德：杠桿定律；牛頓：著名的三定律；馬爾薩斯：人口論；美國獨立宣言；愛因斯坦：狹義相對論。 4、希臘文化小結(jié)：留給我們一個堅強的信念，宇宙規(guī)律的核心是數(shù)學(xué)；孕育了一種理性凈勝；給出了一個樣板：歐幾里得幾何；研究了圓錐曲線，為天文學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)。 5、伽利略的規(guī)劃：找出物理現(xiàn)象的定量描述；找出最基本的物理量；在此基礎(chǔ)上建立演繹科學(xué)。核心：尋求描述自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)公式。他是第一個舉起理性旗幟的科學(xué)家，他的成就成了現(xiàn)代科學(xué)的新起點。 6、解析幾何：