1、第三節(jié) 二階系統(tǒng)時域分析,第三章 時域分析法,第三節(jié) 二階系統(tǒng)的時域分析,項 目,內(nèi) 容,教 學(xué) 目 的,掌握二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和時域響應(yīng)的特點(diǎn)。能夠計算欠阻尼時域性能指標(biāo)。,教 學(xué) 重 點(diǎn),欠阻尼時域性能指標(biāo)的計算。阻尼系數(shù)和自然頻率對系統(tǒng)輸出的影響。,教 學(xué) 難 點(diǎn)及 其 處 理,阻尼系數(shù)和自然頻率對系統(tǒng)輸出的影響。MATLAB作圖、對比、總結(jié)。,定義：以二階微分方程作為運(yùn)動方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。 重要性：二階系統(tǒng)是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)可簡化為二階系統(tǒng)，在控制理論中更具有代表性；它的動態(tài)性能指標(biāo)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系非常簡明，分析和設(shè)計比較容易。,開環(huán)傳函,閉環(huán)傳函:,一、

2、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,微分方程:,：阻尼系數(shù),：自然頻率(無阻尼振蕩頻率),開環(huán)傳函模擬電路,+,+,+,+,R1,R1,R2,R3,C1,R(s),+,+,R4,R5,C2,C(s),機(jī)械力學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),兩級濾波電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),舉例,比如：RLC振蕩電路的微分模型為,一般化,其中,-二階系統(tǒng)時間常數(shù) / 秒,-二階系統(tǒng)阻尼比或相對阻尼系數(shù) / (無量綱),一般式拉氏變換,二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式,二.二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與單位階躍響應(yīng),1. 二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn),由閉環(huán)特征式：,得： 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程,有：,（S1 ，S2二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）,對應(yīng)于 的不同取值，可以得到 s1 ， s2 在s平面

3、上不同的分布。,二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)取決于 和 兩個參數(shù)，其中阻尼系數(shù) 決定了系統(tǒng)的阻尼程度， 決定了系統(tǒng)的響應(yīng)速度?？梢愿鶕?jù) 和 的變化情況來研究二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)。,二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布,特征根：,2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),當(dāng)r(t) = 1 時 或R(s)=1/s 時， 有：,故,其中,而s1，s2是和n的函數(shù)，顯然c(t)只與 ，n有關(guān)，即 ，n決定著c(t)的形式。分別討論如下：, 1時，（過阻尼） s1 ，s2 為一對不等的負(fù)實數(shù)根。, = 1時，（臨界阻尼） s1 ，s2 為一對相等的負(fù)實數(shù)根。, 0 1時，（欠阻尼） s1 ，s2 為一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)根。, 當(dāng) =0時，

4、（無阻尼，零阻尼） s1 ，s2 為一對幅值相等的虛根。, 當(dāng) 0時，（負(fù)阻尼） s1 ，s2 為一對不等的正實部根。,小結(jié)： i） 二階系統(tǒng)正常工作的基本條件是 0 ；而0系統(tǒng)不穩(wěn)定；,ii） 當(dāng)1時，其階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)上升的（即非周期性的）；,iii） 當(dāng)01時，其階躍響應(yīng)曲線是振蕩衰減的（即具周期性）。,3.欠阻尼即01時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)動態(tài)性能分析,設(shè)r(t)=1，即,則二階系統(tǒng)在時的單位階躍響應(yīng)式為：,其中 cos = 即=arc cos ( 稱為阻尼角),分析：,由此可見，它為一振蕩衰減過程（指數(shù)衰減），振蕩頻率為d 。圖示如下：,2） e(t) 及c(t)的衰減速度取決于

5、 n的大小；,3） t 時， e()=0 則c()=1；,4） 0, N0 即存在超調(diào)和振蕩；,即s1，s2的實部。亦即閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離；,d 即s1，s2的虛部。亦即閉環(huán)極點(diǎn)到實軸的距離；,n（自然振蕩頻率）： 閉環(huán)極點(diǎn)到原點(diǎn)的距離;, = cos（為阻尼角）：n 與負(fù)實軸夾角的余弦;,5）,、d、n、及 、的關(guān)系圖示如下:,峰值時間 tp ：指響應(yīng)從0到達(dá)第一次峰值（最大值）時 所 需要的時間； 由求c (t)極值的方法，即由 c(t)=0 求得：,6) 性能指標(biāo)分析,、d、n、 及 、的關(guān)系圖,上升時間 tr ：指響應(yīng)從0到第一次達(dá)到終值（穩(wěn)態(tài)值）時所需要的時間；,所以,調(diào)節(jié)時間 t

6、s ：即過渡過程時間。指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值5% （=0.05）或2%（=0.02）內(nèi)所需要的最短時間。,在工程上，一般采用下列公式進(jìn)行估算：,延遲時間 td ：指響應(yīng)從0到第一次達(dá)到終值（穩(wěn)態(tài)值）的一半時所需要的時間；,當(dāng) 0.7時：,當(dāng)0 0.7時：,在工程上，一般采用下列公式進(jìn)行估算：,具體求法參見教材P82。,超調(diào)量 ：指階躍響應(yīng)的最大值超出其穩(wěn)態(tài)值的部分。,即 = c (tp)1 100%,結(jié)論分析：,根據(jù)定義，并因為c ()=1，故有,將,代入后簡化得：,a) tr 、tp 、ts 、td 與n 的關(guān)系（反比關(guān)系）；,b) tp 、td與的關(guān)系（正比關(guān)系）；ts與的關(guān)系（反比關(guān)系）

7、.,c) 、 與的關(guān)系（反比關(guān)系）； 小時，系統(tǒng)的平穩(wěn)性差；大時，系統(tǒng)的平穩(wěn)性好。,三 欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位脈沖、斜坡及加速度響應(yīng)的動態(tài)性能分析不要求。,四 其他幾種阻尼情況下，各種典型信號響應(yīng)的動態(tài)性能分析不要求。,實際設(shè)計中，一般取 = 0.40.8。其中以 = 0.7時為最佳阻尼。,六二階系統(tǒng)性能的改善,1) 改善的目的：獲得滿意的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能，更好的控制效果。,2) 改善的辦法：（P8892） 比例+微分（引入零點(diǎn)）：在前向通路中串一個PD控制環(huán)節(jié)； 采用測速反饋控制。,3) PD控制與測速反饋控制兩種方案比較 （見下頁附表）,附表： PD控制與測速反饋控制兩種方案比較,時，系統(tǒng)輸出無超調(diào)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度隨 的增大而變慢，隨 的增大而變快。,