1、第一章 三角形的證明 3 線段的垂直平分線（1）,1.能夠證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理； 2.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展自己的推理證明意識和能力.,用心想一想,如圖，A、B表示兩個(gè)倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?,我們曾經(jīng)利用折紙的方法得到: 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等. 你能證明這一結(jié)論嗎?,已知: 如圖, 直線MNAB, 垂足是C， 且AC=BC, P是MN上任意一點(diǎn). 求證: PA=PB.,定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.,分析：要想證明PA=PB, 可以考慮去證明

2、這條線段所在的三角形是否全等. 也就是想辦法證明APCBPC. 而APCBPC的條件由已知AC=BC,且MNAB,可推知其能滿足三角形全等公理（SAS). 故結(jié)論可證. 你能寫出它的證明過程嗎？,證明：MNAB PCA=PCB=90 AC=BC, PC=PC APCBPC(SAS) PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等),幾何語言描述,這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.,A,C,B,P,M,N,如圖, AC=BC, MNAB, P是MN上任意一點(diǎn)(已知), PA=PB (線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等).,深入思考：你能寫出“定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端

3、點(diǎn)距離相等”的逆命題嗎?,逆命題: 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), 在這條線段的垂直平分線上.,它是真命題嗎? 如果是, 請你證明它.,已知: 如圖, PA=PB. 求證: 點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.,分析: 要想證明點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,可以先作出過點(diǎn)P的AB的垂線(或是AB的中點(diǎn)), 然后證明另一個(gè)結(jié)論正確.,試一試：你能自己寫出這兩個(gè)證明過程嗎？,已知: 如圖, PA=PB. 求證: 點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.,方法一： 過點(diǎn)P作PCAB,垂足為C PCAB APC和BPC都是Rt PC=PC,PA=PB RtAPCRtBPC (HL) AC=BC (全等三角形的對應(yīng)邊相等)

4、P在AB的垂直平分線上,A,C,B,P,方法二： 把線段AB的中點(diǎn)記為C,連接PC C為AB的中點(diǎn) AC=BC PA=PB,PC=PC APCBPC(SSS) PCA=PCB=90 PCAB 即P在AB的垂直平分線上,A,C,B,P,.,已知: 如圖, PA=PB. 求證: 點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.,逆定理: 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.,幾何語言描述： 如圖, PA=PB(已知), 點(diǎn)P在AB的垂直平分線上 (到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上),這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.,A,B,P,練一練,已知：

5、如圖，在 ABC 中，AB = AC，O 是ABC 內(nèi)一點(diǎn)， 且 OB = OC. 求證：直線 AO 垂直平分線段BC,你還有其他證明方法嗎？,證明： AB = AC， 點(diǎn) A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）. 同理，點(diǎn) O 在線段 BC 的垂直平分線上. 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.,1. 如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E是AB上的一點(diǎn),如果EC=7cm, 那么ED= cm; 如果ECD=60 , 那么EDC= .,7,60,2. 如圖, 在ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分線交AB于

6、點(diǎn)D, 交AC于點(diǎn)E, BCE的周長等于50, 求BC的長.,分析提示：這是一道計(jì)算題，題目中出現(xiàn)了線段垂直平分線，你首先應(yīng)該想到我們剛剛學(xué)習(xí)的有關(guān)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出相關(guān)的結(jié)論，再結(jié)合已知的三角形的周長，將兩個(gè)條件有機(jī)結(jié)合，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出最后的結(jié)果.,試一試：你能獨(dú)立完成這道題目嗎？,解：DE為AB的垂直平分線 AE=BE BCE的周長等于50 BE+EC+BC=50 即：AE+EC+BC=50 AC+BC=50 AC=27 BC=23,2. 如圖, 在ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D, 交AC于點(diǎn)E, BCE的周長等于50, 求BC的長.,3. 已知：如圖，AB=AC，BD=CD，P是AD上一點(diǎn).,求證：PB=PC,解：AB=AC A在線段BC的垂直平分線上 BD=CD D在線段BC的垂直平分線上 AD是線段BC的垂直平分線 P是AD上一點(diǎn) PB=PC,線段垂直平分