1、24.1方程的根與函數(shù)的零點學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知道函數(shù)零點的定義，會求函數(shù)的零點.2.能說出函數(shù)零點的存在性定理，會判斷函數(shù)零點的存在性及存在區(qū)間.3.能利用數(shù)形結(jié)合的方法分析方程根的個數(shù)或分布情況.4.會根據(jù)一元二次方程根的分布情況求參數(shù)范圍知識鏈接考察下列一元二次方程與對應(yīng)的二次函數(shù)：(1)方程x22x30與函數(shù)yx22x3；(2)方程x22x10與函數(shù)yx22x1；(3)方程x22x30與函數(shù)yx22x3.你能列表表示出方程的根，函數(shù)的圖象及圖象與x軸交點的坐標(biāo)嗎？答案方程x22x30x22x10x22x30函數(shù)yx22x3yx22x1yx22x3函數(shù)的圖象方程的實數(shù)根x11，x23x1x21

2、無實數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸的交點(1,0)、(3,0)(1,0)無交點預(yù)習(xí)導(dǎo)引1函數(shù)零點的定義(1)對于函數(shù)f(x)，把方程f(x)0的實數(shù)根叫作函數(shù)yf(x)的零點；(2)求方程f(x)0的實數(shù)根，就是確定函數(shù)yf(x)的零點；(3)函數(shù)yf(x)的零點，也就是函數(shù)yf(x)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)2函數(shù)零點的存在性定理設(shè)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)x從a到b逐漸增加時，如果f(x)連續(xù)變化而且f(a)f(b)0，則方程f(x)0在(a，b)內(nèi)至少有一個根，即存在x0(a，b)，使f(x0)0.要點一求函數(shù)的零點例1判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出(1)f(x)x27x6；(

3、2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函數(shù)的零點是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函數(shù)的零點是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函數(shù)的零點是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函數(shù)的零點為6.規(guī)律方法求函數(shù)零點的兩種方法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)0的實數(shù)根；(2)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點跟蹤演練1判斷下列說法是否正確：(1)函數(shù)f(x)x22x的零點為(0,0)，(0

4、,2)；(2)函數(shù)f(x)x1(2x5)的零點為x1.解(1)函數(shù)的零點是使函數(shù)值為0的自變量的值，所以函數(shù)f(x)x22x的零點為0和2，故(1)錯(2)雖然f(1)0，但12,5，即1不在函數(shù)f(x)x1的定義域內(nèi)，所以函數(shù)在定義域2,5內(nèi)無零點，故(2)錯要點二判斷函數(shù)零點所在區(qū)間例2在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)ex4x3的零點所在的區(qū)間為()A.B.C.D.答案C解析f20，f()10，ff0，零點在上規(guī)律方法1.判斷零點所在區(qū)間有兩種方法：一是利用零點存在定理，二是利用函數(shù)圖象2要正確理解和運用函數(shù)零點的性質(zhì)在函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷中的應(yīng)用，若f(x)圖象在a，b上連續(xù)，且f(a)f(

5、b)0，則f(x)在(a，b)上必有零點，若f(a)f(b)0，則f(x)在(a，b)上不一定沒有零點跟蹤演練2函數(shù)f(x)exx2零點所在的一個區(qū)間是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)答案C解析f(0)e00210，f(1)e112e10，f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)內(nèi)有零點要點三判斷函數(shù)零點的個數(shù)例3判斷函數(shù)f(x)lnxx23的零點的個數(shù)解方法一函數(shù)對應(yīng)的方程為lnxx230，所以原函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)ylnx與y3x2的圖象交點個數(shù)在同一坐標(biāo)系下，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)由圖象知，函數(shù)y3x2與ylnx的圖象只有一個交點從而lnxx230有一個根，即

6、函數(shù)ylnxx23有一個零點方法二由于f(1)ln112320，f(2)ln2223ln210，所以f(1)f(2)0，又f(x)lnxx23的圖象在(1,2)上是不間斷的，所以f(x)在(1,2)上必有零點，又f(x)在(0，)上是遞增的，所以零點只有一個規(guī)律方法判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法主要有：(1)對于一般函數(shù)的零點個數(shù)的判斷問題，可以先確定零點存在，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù)；(2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐標(biāo)系下作出y1g(x)和y2h(x)的圖象，利用圖象判定方程根的個數(shù)；(3)解方程，解得方程根的個數(shù)即為函數(shù)零點的個數(shù)跟蹤演練3函數(shù)f(x)2

7、x|log0.5x|1的零點個數(shù)為()A1B2C3D4答案B解析將函數(shù)零點視為兩個函數(shù)圖象的交點橫坐標(biāo)，分別畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.設(shè)g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象一定有2個交點，因此函數(shù)f(x)有2個零點.1函數(shù)y4x2的零點是()A2B(2,0)C.D.答案D解析令y4x20，得x.函數(shù)y4x2的零點為.2對于函數(shù)f(x)，若f(1)f(3)0，則()A方程f(x)0一定有實數(shù)解B方程f(x)0一定無實數(shù)解C方程f(x)0一定有兩實根D方程

8、f(x)0可能無實數(shù)解答案D解析函數(shù)f(x)的圖象在(1,3)上未必連續(xù)，故盡管f(1)f(3)0，但未必函數(shù)yf(x)在(1,3)上有實數(shù)解3函數(shù)ylgx的零點所在的大致區(qū)間是()A(6,7) B(7,8)C(8,9) D(9,10)答案D解析因為f(9)lg910，f(10)lg1010，所以f(9)f(10)0，所以ylgx在區(qū)間(9,10)上有零點，故選D.4方程2xx20的解的個數(shù)是()A1B2C3D4答案C解析在同一坐標(biāo)系畫出函數(shù)y2x及yx2的圖象，可看出兩圖象有三個交點，故2xx20的解的個數(shù)為3.5函數(shù)f(x)x22xa有兩個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，1)解析由

9、題意可知，方程x22xa0有兩個不同解，故44a0，即a1.1.在函數(shù)零點存在性定理中，要注意三點：(1)函數(shù)是連續(xù)的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一個零點2方程f(x)g(x)的根是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交點的橫坐標(biāo)，也是函數(shù)yf(x)g(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)3函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，同樣，函數(shù)問題有時化為方程問題，這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1下列圖象表示的函數(shù)中沒有零點的是()答案A解析B，C，D的圖象均與x軸有交點，故函數(shù)均有零點，A的圖象與x軸沒有交點，故函數(shù)沒有零點2函數(shù)f(x)(x1)(x23x10)的零點個數(shù)是(

10、)A1B2C3D4答案C解析f(x)(x1)(x23x10)(x1)(x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.3根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定函數(shù)f(x)exx2的一個零點所在的區(qū)間是()x10123ex0.3712.727.3920.09x212345A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)答案C解析由上表可知f(1)2.7230，f(2)7.3940，f(1)f(2)0，f(x)在區(qū)間(1,2)上存在零點4函數(shù)f(x)lnx2x6的零點所在的區(qū)間為()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)答案B解析f(1)ln12640，f(2)ln246ln220，f(3

11、)ln366ln30，所以f(2)f(3)0，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(2,3)5方程log3xx3的解所在的區(qū)間為()A(0,2) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案C解析令f(x)log3xx3，則f(2)log3223log30，f(3)log333310，那么方程log3xx3的解所在的區(qū)間為(2,3)6已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且該函數(shù)有三個零點，則三個零點之和等于_答案0解析奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，若f(x)有三個零點，則其和必為0.7判斷函數(shù)f(x)log2xx2的零點的個數(shù)解令f(x)0，即log2xx20，即log2xx2.令y1log2x，y2x2.畫出兩

12、個函數(shù)的大致圖象，如圖所示，有兩個不同的交點所以函數(shù)f(x)log2xx2有兩個零點二、能力提升8若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)答案A解析計算出函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值并判斷符號，再利用零點的存在條件說明零點的位置f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，abc，f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和

13、(b，c)內(nèi)9若函數(shù)f(x)ax2x1僅有一個零點，則a_.答案0或解析a0時，f(x)只有一個零點1，a0時，由14a0，得a.10設(shè)x0是方程lnxx4的解，且x0(k，k1)，kZ，則k_.答案2解析令f(x)lnxx4，且f(x)在(0，)上遞增，f(2)ln2240，f(3)ln310.f(x)在(2,3)內(nèi)有解，k2.11已知函數(shù)f(x)x22x3，x1,4(1)畫出函數(shù)yf(x)的圖象，并寫出其值域；(2)當(dāng)m為何值時，函數(shù)g(x)f(x)m在1,4上有兩個零點？解(1)依題意：f(x)(x1)24，x1,4，其圖象如圖所示由圖可知，函數(shù)f(x)的值域為4,5(2)函數(shù)g(x)f

14、(x)m在1,4上有兩個零點方程f(x)m在x1,4上有兩相異的實數(shù)根，即函數(shù)yf(x)與ym的圖象有兩個交點由(1)所作圖象可知，4m0，0m4.當(dāng)0m4時，函數(shù)yf(x)與ym的圖象有兩個交點，故當(dāng)0m4時，函數(shù)g(x)f(x)m在1,4上有兩個零點三、探究與創(chuàng)新12已知二次函數(shù)f(x)滿足：f(0)3；f(x1)f(x)2x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)令g(x)f(|x|)m(mR)，若函數(shù)g(x)有4個零點，求實數(shù)m的取值范圍解(1)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，f(0)3，c3，f(x)ax2bx3.f(x1)a(x1)2b(x1)3ax2(2ab)x(ab3)，f(x)2xax2(b2)x3，f(x1)f(x)2x，解得a1，b1，f(x)x2x3.(2)由(1)，得g(x)x2|x|3m，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)g(x)的圖象，如圖所示，由于函數(shù)g(x)有4個零點，則函數(shù)g(x)的圖象與x軸有4個交點由圖象得解得3m，即實數(shù)m的取值范圍是.13已知二次函數(shù)f(x)x22ax4，求下列條件下，實數(shù)a的取值