1、1,目錄：,第六篇 近代物理基礎(chǔ)：(2) 第十五章 狹義相對論基礎(chǔ) 第十六章 從經(jīng)典物理到量子物理 第十七章 量子力學(xué)基礎(chǔ),第四篇 振動和波動：(12) 第十一章 機械振動(5) 第十二章 機械波(7),第二篇 熱學(xué)：(14) 第四章 氣體動理論（6） 第五章 熱力學(xué)（8）,第五篇 光學(xué)：(18) 第十三章 幾何光學(xué) 第十四章 波動光學(xué)(684),1,學(xué)習(xí)交流PPT,要 求,Attendance Homework 蔡冬梅 辦公室：逸夫樓901,2,學(xué)習(xí)交流PPT,第四篇 振動和波動,3,學(xué)習(xí)交流PPT,振動與波無所不在,振動與波是橫跨物理學(xué)各分支學(xué)科的 最基本的運動形式。 盡管在各學(xué)科里振動與

2、波的具體內(nèi)容不同， 但在形式上卻有很大的相似性。,4,學(xué)習(xí)交流PPT,5,第十一章 機械振動,什么是振動？,一個物理量（如位置、電量、電流、電壓、溫度）在某一確定值附近隨時間作周期性的變化，則該物理量的運動形式稱為振動。,機械振動 ：位移x 隨時間t 的往復(fù)變化 電磁振動：電場、磁場等電磁量隨t的往復(fù)變化 微觀振動：如晶格點陣上原子的振動,振動分類,5,學(xué)習(xí)交流PPT,6,11-1 簡諧振動,* 11-2 阻尼振動 受迫振動 共振,11-3 同方向的簡諧振動的合成,* 11-4 相互垂直的簡諧振動的合成,第十一章 機械振動,6,學(xué)習(xí)交流PPT,7,第11章 機械振動,物體離開平衡位置的位移按余

3、弦函數(shù)(或正弦函數(shù))的規(guī)律隨時間變化，這樣的振動稱為簡諧振動，簡稱諧振動。,11-1 簡諧振動,簡諧振動是最簡單、最基本的振動.,簡諧運動,復(fù)雜振動,合成,分解,振動的理論建立在簡諧振動的基礎(chǔ)上。,7,學(xué)習(xí)交流PPT,8,第11章 機械振動,一、簡諧振動的特征,1 用動力學(xué)方程定義,2 用運動學(xué)方程定義,或,二者關(guān)系？,振動方程,簡諧振動的定義,8,學(xué)習(xí)交流PPT,9,第11章 機械振動,說明,（1） 上述方程對于非機械振動也成立。,例 電磁震蕩電路,（2） 從運動學(xué)方程,（3） 簡諧振動的特點,等幅性,周期性,物體所受的力與位移成正比而反向,9,學(xué)習(xí)交流PPT,10,第11章 機械振動,1.

4、 x 位移,二、 振動參量,廣義上，指振動的物理量,2. A 振幅,最大位移，恒為正，表征系統(tǒng)的能量,1,A,振動的強弱,3. T 周期,物體離開平衡位置的最大位移的絕對值 A，由初始條件決定，描述振動的空間范圍。,振動狀態(tài)重復(fù)一次所需要的時間,描述振動的快慢.,物體在單位時間內(nèi)發(fā)生完全振動的次數(shù),振動的頻率,10,學(xué)習(xí)交流PPT,11,第11章 機械振動,固有圓頻率、固有周期和固有頻率,T 的大小由諧振動系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，反映了系統(tǒng)的固有特性,（1） 數(shù)學(xué)上，相位是一個角度，,物理上，相位是描寫振動狀態(tài)的一個參量。,角頻率（圓頻率）.,4. （ ） t 時刻的相位（位相）,11,學(xué)習(xí)交流PP

5、T,12,第11章 機械振動,（2） 用相位描述振動狀態(tài)更能深刻反映物體運動的周期性。,（取決于時間零點的選擇）, t,x,O,A,-A, = 2,（3） 初相，,12,學(xué)習(xí)交流PPT,13,第11章 機械振動,比較a、b兩點：,結(jié)論：用相位描述物體振動，能反映出時間上的周期性， 而（x，v）則不能。,位移 ，速度 ，相位 .,相同,不同,不同,比較a、c兩點：,位移 ，速度 ，相位 .,相同,相同,不同,13,學(xué)習(xí)交流PPT,14,第11章 機械振動,相位差,1.對于同一簡諧運動,對于簡諧運動,t1時刻相位,t2時刻相位,相位差,相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間,14,學(xué)習(xí)交流PPT

6、,15,第11章 機械振動,2.對不同一簡諧運動,同方向、同頻率振動,（初相差）,1. 超前和落后,若 = 2- 1 0 , 則 x2 比 x1 早 達到正最大 , 稱 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。,利用相位差可比較兩個振動的步調(diào)是否一致,15,學(xué)習(xí)交流PPT,16,第11章 機械振動,兩振動步調(diào)相同,2. 同相和反相,兩振動步調(diào)相反,16,學(xué)習(xí)交流PPT,17,第11章 機械振動,由振動系統(tǒng)本身決定,彈簧振子：,單擺：,三、 諧振動的描述,1. 解析法,振動三要素：振幅、周期和相位,A， 由初始條件決定(t=0),17,學(xué)習(xí)交流PPT,18,第11章 機械振動,例,

7、一彈簧振子（m，k），已知,當(dāng)t0時，,試寫出振動方程。,解,簡諧振動的表達式：,由初始條件：,振動方程：,取平衡位置為坐標(biāo)原點,18,學(xué)習(xí)交流PPT,19,第11章 機械振動,例,一輕彈簧（k），下端掛一重物m，用手拉物向下至x處， 然后無初速度釋放。試寫出振動方程。,解,原點取在原長,建立坐標(biāo) Ox 如圖,分析小球受力，,可得：,（不是諧振動）,原點取在平衡位置,建立 ox軸,19,學(xué)習(xí)交流PPT,20,第11章 機械振動,推論：,若振動系統(tǒng)除受彈性力外，還受一恒力作用，則系統(tǒng)的振動規(guī)律不變，只是改變了平衡位置，而坐標(biāo)原點取在新的平衡位置上。,20,學(xué)習(xí)交流PPT,21,第11章 機械振動

8、,規(guī)定,端點在x軸上的投影式,0, t + 0,o,x,t=t時刻,t = 0,諧振動,旋轉(zhuǎn)矢量的大小A振幅,旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動角速度諧振動的角頻率,旋轉(zhuǎn)矢量和參考方向的夾角相位,2. 旋轉(zhuǎn)矢量法,用勻速圓周運動 幾何地描述 簡諧振動,21,學(xué)習(xí)交流PPT,22,第11章 機械振動,勻速圓周運動在任意直徑方向的分運動為簡諧振動。,22,學(xué)習(xí)交流PPT,23,第11章 機械振動,（1）矢量端點在x軸上的投影為簡諧振動方程,圓周運動與簡諧振動的關(guān)系：,t=0時刻，矢量與x軸的夾角0為簡諧振動的初相位,在任意t時刻，矢量與x軸的夾角t+0為簡諧振動t時刻的相位,（2）旋轉(zhuǎn)矢量的大小A是簡諧振動的振幅,（3

9、） 旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動角速度是簡諧振動的角頻率,（4） 旋轉(zhuǎn)矢量和參考方向的夾角是簡諧振動的相位,23,學(xué)習(xí)交流PPT,24,第11章 機械振動,（1）相位顯示直觀,旋轉(zhuǎn)矢量用圖代替了文字的敘述。,旋轉(zhuǎn)矢量法表示的優(yōu)點：,24,學(xué)習(xí)交流PPT,25,第11章 機械振動,由圖看出：速度超前位移,加速度超前速度,（2） 比較相位方便,(3) 計算時間簡便,用熟悉的圓周運動代替三角函數(shù)的運算。,25,學(xué)習(xí)交流PPT,26,第11章 機械振動,例,質(zhì)點在x軸上作諧振動，從ABOCD，請指出各點時的相位，并說明相應(yīng)的狀態(tài)。,解,例,一彈簧振子，已知A、，試寫出振動方程。 開始時物體運動到正向最大位移處，(2)

10、開始時物體在A/2處, 向x正方向運動，,解,26,學(xué)習(xí)交流PPT,27,第11章 機械振動,例,一質(zhì)點在x軸上作諧振動，T為已知，問：質(zhì)點從AA/2 和從A/20所需時間各為多少？,解,用相位分析問題,AA/2：,相位變化從0/3，,由,A/20：,相位變化從/3/2 ，,由,27,學(xué)習(xí)交流PPT,28,第11章 機械振動,例 利用旋轉(zhuǎn)矢量法確定質(zhì)點在不同運動狀態(tài)時的相位。,由旋轉(zhuǎn)矢量圖可以得出，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角為零，故得,（2）質(zhì)點經(jīng)二分之一振幅處向負方向運動,（1）t 時刻質(zhì)點在正最大位移處,28,學(xué)習(xí)交流PPT,29,第11章 機械振動,(3) 當(dāng)質(zhì)點過平衡位置向負方向運動,同樣,

11、質(zhì)點向負方向運動,注意到：,29,學(xué)習(xí)交流PPT,30,第11章 機械振動,（4）質(zhì)點向正方向運動,或,6 7 8,30,學(xué)習(xí)交流PPT,31,第11章 機械振動,以振動平衡位置為坐標(biāo)原點，振動方向為縱軸，t為橫軸的 x t 關(guān)系曲線。,3. 振動曲線,旋轉(zhuǎn)矢量,振動方程,振動曲線,31,學(xué)習(xí)交流PPT,32,第11章 機械振動,解,例,已知振動曲線，求振動方程。,由振動曲線1，,t0時，x00，0 0,由振動曲線2，,t0時，x03，0 0,32,學(xué)習(xí)交流PPT,33,第11章 機械振動,例,一彈簧振子，m100g，把物體從平衡位置向下拉10cm后 釋放，已知T2s。求： （1）物體第一次經(jīng)

12、過平衡位置時的速度， （2）物體第一次在平衡位置上方5cm處的加速度， （3）物體從平衡位置下方5cm處向上運動到平衡位置上方 5 cm處所需最短時間。,解,建立坐標(biāo)如圖，,（1）,33,學(xué)習(xí)交流PPT,34,第11章 機械振動,（2）,（3）由旋轉(zhuǎn)矢量圖,34,學(xué)習(xí)交流PPT,35,第11章 機械振動,比較諧振動的x、a 的相位,可見，速度比位移 x 相位超前/2；加速度 a 比速度相位超前/2；加速度 a 與位移 x 反相。,35,學(xué)習(xí)交流PPT,36,第11章 機械振動,2) 振動方程,3）微分方程,簡諧振動的三個判據(jù),1)受力特征,以上1）、2）、3）中任一條成立即可判定為簡諧振動。,

13、小結(jié),36,學(xué)習(xí)交流PPT,37,第11章 機械振動,簡諧振動的三種表示方法,旋轉(zhuǎn)矢量法：,解析法：,曲線法： xt 曲線,旋轉(zhuǎn)矢量,角速度圓頻率,長度振幅A,初始角初相0,37,學(xué)習(xí)交流PPT,38,第11章 機械振動,旋轉(zhuǎn)矢量圖與簡諧運動的x-t圖的對應(yīng)關(guān)系,38,學(xué)習(xí)交流PPT,39,第11章 機械振動,簡諧振動的三個特征量,圓頻率,振幅 反映振動的強弱，由初始條件決定.,可得,39,學(xué)習(xí)交流PPT,40,第11章 機械振動,40,學(xué)習(xí)交流PPT,41,第11章 機械振動,例 一輕彈簧的右端連著一物體,彈簧的勁度系數(shù) k=0.72N/m, 物體的質(zhì)量m =20g. 求： (1)把物體從平

14、衡位置向右拉到x = 0.05m 處停下后再釋放, 求簡諧運動方程;,先求三個特征量：圓頻率 、振幅A、初相位0,解:（1）簡諧振動的表達式：,41,學(xué)習(xí)交流PPT,42,第11章 機械振動,(2)求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過A/2處時的速率;,解（2）x=A/2時，速度方向為x軸負方向,由旋轉(zhuǎn)矢量圖知,相位,由旋轉(zhuǎn)矢量圖知0=0,所以運動方程為：,42,學(xué)習(xí)交流PPT,43,第11章 機械振動,因x0=0.05m , v0=0.3m/s,解（3）設(shè) x = A cos( 6 t + 0),t=0 時,x0 =0.05m,又 v0 0,所以,(3)如果物體在x = 0.05m處時速度不等于零

15、, 而是具有向右的初速度v0= 0.30m/s, 求其運動方程.,43,學(xué)習(xí)交流PPT,44,第11章 機械振動,例 一質(zhì)量為0.01kg的物體作簡諧運動,其振幅為0.08m,周期為4s，起始時刻在x=0.04m處,向ox軸負方向運動.試求:(1)t=1.0s時,物體所處的位置和所受的力。,解（1）已知 A=0.08m,t = 0時有: x=A/2, v00,44,學(xué)習(xí)交流PPT,45,第11章 機械振動,(2)由起始位置運動到x=0.04m處所需要的最短時間.,t=1.0s時,由上式解得x=0.069m,f=kx=m2x=1.70103N,受力為,解（2）t時刻運動到x=0.04m處,45,

16、學(xué)習(xí)交流PPT,46,第11章 機械振動,例 兩個同頻率簡諧振動曲線如圖所示，比較它們的位相差關(guān)系。,A1,x2,T,x,t,o,A2,- A2,-A1,x1,選正最大位移，x2 比x1 較早達到正最大位移,x2 比x1時間超前T/4,相位超前/2.,解：選定某一運動狀態(tài)，誰先到達誰超前.,46,學(xué)習(xí)交流PPT,47,第11章 機械振動,例 某簡諧振動的振動曲線如圖，寫出振動方程。,解：設(shè)振動方程為,則由振動曲線： A=2 cm,t=0時刻,47,學(xué)習(xí)交流PPT,48,第11章 機械振動,又 v00，故,t=1s時,于是,的旋矢圖：,48,學(xué)習(xí)交流PPT,49,第11章 機械振動,例 質(zhì)點的振

17、動規(guī)律用余弦函數(shù)描述，其vt 曲線如圖，求初相位。,解：,令t=0, 有,49,學(xué)習(xí)交流PPT,50,第11章 機械振動,將0的兩個值代入，由圖可以看出a00,所以 或,故選,50,學(xué)習(xí)交流PPT,51,第11章 機械振動,例 如圖：m=20g, 平衡時彈簧的形變?yōu)閘 = 9.8cm。將彈簧壓縮9.8cm, 物體由靜止釋放。 取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；,解（1）,平衡位置時 mg = k l,取平衡位置為坐標(biāo)原點，向下為正,對物體任意位移 x 時受力分析,物體作簡諧振動！,k,51,學(xué)習(xí)交流PPT,52,第11章 機械振動,由初條件：x0= 9.8cm,v0=0, 得,由x0= -

18、A 得0 = ,振動方程為：x = 9.8cos( 10t+ ) cm,彈簧的彈性系數(shù)為：k=mg/ l,52,學(xué)習(xí)交流PPT,53,第11章 機械振動,解（2）按題意,t = 0 時, x0= 0，v0 0,由旋轉(zhuǎn)矢量法 0= -/2,x = 9.8cos( 10 t - /2 ) cm,對同一諧振動, 取不同的計時零點, 0不同，但 和 A 不變 .,（2）若取x0= 0，v0 0為計時零點, 寫出振動方程。,53,學(xué)習(xí)交流PPT,54,第11章 機械振動,1、單擺理想模型,(1)單擺結(jié)構(gòu)的理想模型：擺線不能伸長擺線的質(zhì)量為零擺球為質(zhì)點,四、 幾種常見的諧振動,忽略空氣阻力，質(zhì)點在平衡點附

19、近往復(fù)運動,54,學(xué)習(xí)交流PPT,第11章 機械振動,最大擺角小于5,（3）單擺振動的回復(fù)力：,重力的切向分力,G,F回=Gsin,（4）單擺具有等時性（伽利略發(fā)現(xiàn)）,（2）可看成是簡諧運動的條件：,（5）能量：動能和重力勢能相互轉(zhuǎn)化，總能量不變。,55,學(xué)習(xí)交流PPT,56,第11章 機械振動,2、 周期公式,由轉(zhuǎn)動定理,當(dāng) 50時，sin,（簡諧振動）,角位移,角振幅,56,學(xué)習(xí)交流PPT,57,第11章 機械振動,例,解,單擺的振動方程：,由系統(tǒng)決定,（振幅）,初相：,周期相同,用手拉擺球，單擺從平衡位置偏一小角0，無初速度釋 放，偏角大小不同，（1）周期相同嗎？（2）振幅A相同 嗎？（

20、3） 0是不是初相？ ？,A和 由初始條件決定,初始條件t=0時 ，有,不是初相,57,學(xué)習(xí)交流PPT,58,第11章 機械振動,四、 諧振動的能量,（以水平彈簧振子為例）,1. 動能,2. 勢能,3. 機械能,（簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒）,E,結(jié)論1：系統(tǒng)的動能、勢能都隨t作周期性變化，但系統(tǒng)總能量不變，且與振幅平方成正比。,結(jié)論2：系統(tǒng)作一次全振動，能量轉(zhuǎn)換2次。即能量轉(zhuǎn)化的周期 振動的周期的一半,58,學(xué)習(xí)交流PPT,59,第11章 機械振動,振動能量和時間的關(guān)系(設(shè)初相位為零),59,學(xué)習(xí)交流PPT,60,第11章 機械振動,1),2) 時間平均值,3) 由簡諧振動能量求振幅,具有普遍適

21、用性,討論,簡諧振動的各特征量的性質(zhì) 振幅A 由系統(tǒng)的振動能量決定； 角頻率 由系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)決定； 初相0 由時間零點的選取決定。,60,學(xué)習(xí)交流PPT,61,第11章 機械振動,例9 彈簧振子總能量為E1，若其振幅增為原來的兩倍，重物質(zhì)量增為原來的四倍，則振子總能量為原來的幾倍？,解：,振子總能量為原來的4倍.,61,學(xué)習(xí)交流PPT,62,第11章 機械振動,例 系統(tǒng)作諧振動，周期為T，以余弦函數(shù)表達振動時，初相為零，則在0 t T/2范圍內(nèi)，系統(tǒng)在什么時刻動能和勢能相等。,解：,動能和勢能相等的位置在,振動方程,旋矢圖：,或,因此,62,學(xué)習(xí)交流PPT,63,第11章 機械振動,例,質(zhì)量

22、為m的平底船，底面積為S，吃水深度為h，不計水的阻力，求：船在豎直方向的振動周期T。（水的密度為）,水面,解,取水平面為坐標(biāo)原點，,船上任意一點都可代表船的位置，取平衡時同水線上一點P,P,h,建立動力學(xué)方程：,y,（諧振動）,63,學(xué)習(xí)交流PPT,64,第11章 機械振動,回顧,單擺,諧振動的能量,系統(tǒng)動能和勢能均隨t作周期性變化，但總能量不變，與振幅平方成正比。,能量轉(zhuǎn)換周期等于振動周期的一半。,如何證明系統(tǒng)是否諧振動,建立坐標(biāo)系（原點取在平衡位置）,分析研究對象：,平動 Fm a,轉(zhuǎn)動 MJ,動力學(xué)方程,動力學(xué)方程,周期,64,學(xué)習(xí)交流PPT,65,第11章 機械振動,習(xí)題類型：,已知振幅、頻率及初始條件，求振動方程； 已知振動曲線，求簡諧振動方程； 比較兩個簡諧振動的相位關(guān)系。,65,學(xué)習(xí)交流PPT,66,第11章 機械振動,在實際問題和具體過程中，振動往往是由好幾個振動合成的。例