1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義,一、向量數(shù)量積的物理背景,在物理課中，我們學(xué)過功的概念，即如果一個(gè)物體在力 的作用下產(chǎn)生位移 ，那么力 所做的功,我們將功的運(yùn)算類比到兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，得到向量“數(shù)量積”的概念。,二、向量與的數(shù)量積的概念,已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則我們把數(shù)量 叫做 與 的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作： .,規(guī)定：零向量和任一向量的數(shù)量積為0,思考：, =| | | | cos,當(dāng)0 90時(shí) 為正；,當(dāng)90 180時(shí) 為負(fù)。,當(dāng) =90時(shí) 為零。, =| | | | cos,解：ab = |a| |b|cos =54cos120 =54（-1/2） = 10,例1 已知|

2、a|=5，|b|=4，a與b的夾角=120，求ab。,| b | cos叫向量b 在a 方向上的投影,為銳角時(shí)， | b | cos0,為鈍角時(shí)， | b | cos0,為直角時(shí)， | b | cos=0,幾何意義,幾何 意義,數(shù)量積 a b 等于a 的長度| a |與 b 在 a 的方向上的投影| b |cos 的乘積.,重要性質(zhì):,特別地,四.數(shù)學(xué)運(yùn)用,例1:,注意：,“ ”不能省略不寫，也不能寫為“”，數(shù)學(xué)中“ a b”表示兩個(gè)向量的向量積(或外積),a b表示數(shù)量而不表示向量，與實(shí)數(shù)a b不 同, a+b 、 a-b表示向量； （3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積

3、中，若a0，且ab=0， 不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os有可能為0. （4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc a=c.但是ab = bc不能得到 a=c (5)在實(shí)數(shù)中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc),練習(xí),判斷下列說法是否正確,(),(),(),(),(),(),二、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：,數(shù)量積的運(yùn)算律：,注：,則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc .,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、 ON,證明運(yùn)算律(3),例 3：求證：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,證明：（1）(