1、第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其表示,第二節(jié) 復(fù)變函數(shù),第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),第一節(jié) 復(fù) 數(shù)及其表示,一、復(fù)數(shù)的概念及其表示,二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算,三、復(fù)球面及無窮大,小結(jié)與思考,一、復(fù)數(shù)的概念及其表示,1. 虛數(shù)單位:,對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定:,“復(fù)合”而成的數(shù),(3)虛數(shù)單位的特性:,2. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的定義:,i:虛數(shù)單位,虛部(Imaginary) 記做：Im(z)=y,實(shí)部（Real） 記做：Re(z)=x,3. 兩復(fù)數(shù)相等: 當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.,即,則,說明 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小, 如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小, 即,復(fù)數(shù)不能比較大小!,4、復(fù)數(shù)的幾何表示,(1) 復(fù)

2、數(shù)的點(diǎn)表示及復(fù)平面,實(shí)軸,虛軸,顯然成立：,（2）復(fù)數(shù)的向量表示,（）復(fù)數(shù)的模,（）復(fù)數(shù)的輻角(argument),說明,輻角不確定.,q,輻角主值的定義:,（） 復(fù)數(shù)模的三角不等式,幾何意義如圖：,利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系,復(fù)數(shù)可以表示成,5、 復(fù)數(shù)的三角表示法,利用Euler公式,6、 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法,歐拉資料,小結(jié),本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)、四種表示形式及相關(guān)的運(yùn)算. 重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的四種表示形式（代數(shù)形式、幾何形式、三角形式、指數(shù)形式），復(fù)數(shù)的模和輻角是表示后三種形式的重點(diǎn).,例 1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:,解,參考答案,由此可見, 在復(fù)數(shù)中無法定義大小關(guān)系.,

3、思考題1,復(fù)數(shù)為什么不能比較大??？,思考題2,參考答案,否.,它的模為零而輻角不確定.,是否任意復(fù)數(shù)都有輻角?,二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算,1） 兩復(fù)數(shù)的和差:,2） 兩復(fù)數(shù)的積:,3）兩復(fù)數(shù)的商:,說明：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)律與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)律保持一致,1、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算,實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù),2. 共軛復(fù)數(shù),共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)：,共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):,3、復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式的乘除法,從而,1）乘法,）三角形式的乘法,兩復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘, 輻角相加.,從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為,說明,由于輻角的多值性,兩端都是無窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集.,對(duì)于

4、左端的任一值, 右端必有值與它相對(duì)應(yīng).,由此可將結(jié)論推廣到 n 個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況:,）指數(shù)形式的乘法,從而,2）除法,）三角形式的除法,）指數(shù)形式的除法,4、復(fù)數(shù)的冪與方根,1） n次冪:,棣莫佛公式,棣莫佛資料,2）棣莫佛公式,可以推得:,3）n 次方根,從幾何上看,推導(dǎo)過程如下：,當(dāng) k 以其他整數(shù)值代入時(shí), 這些根又重復(fù)出現(xiàn).,小結(jié),本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三種表示形式對(duì)應(yīng)的運(yùn)算.,熟練掌握復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算，一般要區(qū)分出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部時(shí)，用代數(shù)形式比較方便.,對(duì)于復(fù)數(shù)的乘、除、冪、開方運(yùn)算，一般情況下以三角形式、指數(shù)形式來運(yùn)算比較方便.,在運(yùn)算時(shí)學(xué)會(huì)靈活選用相關(guān)形式，力求使得計(jì)算最為簡(jiǎn)便.,常用

5、公式：,棣莫佛公式,n次方根的公式,Euler公式,例2,解,故,例3,解,即,三、復(fù)球面及無窮大,球面上的點(diǎn), 除去北極 N 外, 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 我們用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).,球面上的北極 N 不能對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的定點(diǎn)，但球面上的點(diǎn)離北極 N 越近，它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.,我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), 記作 .,因而, 球面上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.,包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.,不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, 或簡(jiǎn)稱復(fù)平面.,引入復(fù)球面后，能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來.,球面上的每一

6、個(gè)點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平面的每一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng), 這樣的球面稱為復(fù)球面.,對(duì)于復(fù)數(shù)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)而言，它的實(shí)部，虛部, 輻角等概念均無意義, 規(guī)定它的模為正無窮大.,歐拉資料,數(shù)學(xué)大師 歐拉,Leonhard Euler,Born: 15 April 1707 in Basel, Switzerland,Died: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia,歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞爾，20年后卻永遠(yuǎn)離開了祖國(guó)。在他76年的生命歷程中，還有25年住在德國(guó)柏林（17411766年），其余時(shí)間則留在俄國(guó)彼得堡。 歐拉31歲時(shí)右眼失明，59歲時(shí)雙目失明。,歐

7、拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué)士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué)了一段時(shí)期的神學(xué)和語言學(xué)。從18歲開始就一直從事數(shù)學(xué)研究工作。,歐拉創(chuàng)用 a，b，c 表示三角形的三條邊，用 A，B，C表示對(duì)應(yīng)的三個(gè)角( 1748 )；創(chuàng)用 表示求和符號(hào) ( 1755 )；提倡用 表示圓周率（1736）；1727年用 e 表示自然對(duì)數(shù)的底；還用y 表示差分等等。,歐拉聲譽(yù)顯赫。12次獲巴黎科學(xué)院大獎(jiǎng),曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會(huì)、巴塞爾物理數(shù)學(xué)會(huì)、巴黎科學(xué)院等科學(xué)團(tuán)體的成員。,歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理

8、的領(lǐng)域。此外，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，無窮小分析引論，微分學(xué)原理以及積分學(xué)原理都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。除了教科書外，歐拉平均以每年800頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們整理出他的研究成果多達(dá)74卷。歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中都能經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。,Abraham de Moivre,棣莫佛資料,Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England,棣莫佛，法國(guó)數(shù)學(xué)家 ，發(fā)現(xiàn)了棣莫佛公式 ，將復(fù)數(shù) 和三角學(xué) 聯(lián)系起來。其他貢獻(xiàn)主要在概率論 上，1692 年 ，他結(jié)識(shí)牛頓 ，并成為其好友。他在 1697年加入皇 家學(xué)會(huì)。 1710年他被指派處理牛頓和萊布尼茨關(guān)于微積 分發(fā)明人的爭(zhēng)