1、.最小的余數(shù)是1 是 0？最小的余數(shù)是 1 是 0？ 個(gè) 你 哪個(gè)答案？當(dāng)除數(shù)是 6，余數(shù)可以是幾？你是填 0-5， 是 1-5？ 都涉及余數(shù)可不可以是 0 的 。九 教材中余數(shù)是 0 被 是沒(méi)有余數(shù)， 1 被 是最小的余數(shù)。但 教材有不同的理解。 下面的文章我 得在所有的參考 料中 得是比 清楚明白的，推薦 同仁 參考?！?】淺 在整數(shù)除法中余數(shù)可以 零一、 困 教 的 不少小學(xué)數(shù)學(xué)教 我 一個(gè) : “在整數(shù)除法中 , 余數(shù)可不可以 0?” 個(gè) 早有定 , 于是我不假思索地肯定作答 : “余數(shù)當(dāng)然可以 0?！辈涣?于 一答案 , 他 并不同意 , 其理由如下 :第一 , 人教版 教育 程 準(zhǔn)

2、 教科 數(shù)學(xué) , 從一年 上冊(cè)到六年 下冊(cè) , 里面均無(wú)“余數(shù)可以 0”的表述。第二 , 代 典 ( 修 本 )( 商 印 , 1996 年 ) 第 1553 “余數(shù)”一 的解 : “整數(shù)除法中 , 被除數(shù)未被除數(shù)整除所剩的大于 0 而小于除數(shù)的部分。如 27 6=43。即不完全商是 4, 余數(shù)是 3?！?就表明余數(shù)不能 0。在數(shù)學(xué) 本中找不到 “余數(shù)可以 0” 的 述 , 而在 典中卻找到了 “余數(shù)不能 0”的 據(jù) , 怪 他 我的答案持 疑 度。面 一個(gè)困 小學(xué)數(shù)學(xué)界同仁的 , 怎 來(lái)正本清源呢 ?我仔 地 了人教版全套小學(xué)數(shù)學(xué) 本 , 確 沒(méi)找到“余數(shù)可以 0”的表述 , 只在三年 下冊(cè)

3、第 26 六第 3 的指令性 言中 , 了三 “余數(shù) 0”的表述。我知道 , 的表述既不是出 在正文中 , 又沒(méi)有 明道理 , 不足以成 據(jù)。 本中沒(méi)有 , 看來(lái)只有通 合理思辨和相關(guān)考 來(lái)達(dá)到 小學(xué)同仁解惑之目的了。二、解惑所需的思辨1. 要用 立 一的 點(diǎn)看待 0眾所周知 , 當(dāng) 子中 一個(gè)桃子都沒(méi)有 , 我 就 中桃子的個(gè)數(shù) 0。從 個(gè)意 上 ,0 是空集的基數(shù) ,0 表示“沒(méi)有”。然而 ,0 又是一個(gè)確定的數(shù) , 它是自然數(shù)列的起始數(shù) , 它既不是正數(shù) , 也不是 數(shù) , 它是唯一的中性數(shù)。 從 個(gè)意 上 ,0 又表示“有”。 一點(diǎn)不 理解。比方 , 小明在黑板上寫(xiě)了一個(gè)“ 0” ,

4、你 不能 他什么都沒(méi)寫(xiě)吧 ! 再比方 , 某地某 的氣溫 0 氏度 , 你 不能 地 沒(méi)有溫度吧 ! 所以 , 我 用 立 一的 點(diǎn)看待 0, 懂得 0 既可表示“無(wú)” , 又可表示“有”。用 一 點(diǎn)考察整數(shù)除法 , 我 不 , 當(dāng) 155 時(shí), 得到整數(shù)商 3, 既可以 “沒(méi)有余數(shù)”, 也可以 “余.數(shù) 0”, 兩種 法是完全等價(jià)的, 因而都是正確的。2. 要用 展 化的 點(diǎn)看待概念 的關(guān)系人 數(shù)學(xué)概念的 并非一成不 的 , 而是 于不斷 展 化之中的。例如 , “整數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”最初是兩個(gè)并列的概念 , 它 相互排斥 , 渭分明 , 不容混淆。然而 , 出于數(shù)學(xué)自身 展的需要 , 后來(lái) ,

5、 人 又把整數(shù)看做是分母 1, 分子 整數(shù)的假分?jǐn)?shù) , 如 3= 3/1,65=65/1 。 一來(lái) , “分?jǐn)?shù)”的外延就 大了 , “整數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”的關(guān)系也由并列關(guān)系 包含關(guān)系。 “整數(shù)” 成了“分?jǐn)?shù)” 的特例 , 整數(shù)集成了分?jǐn)?shù)集的真子集。 原先 , 整數(shù)集與分?jǐn)?shù)集之并集才是有理數(shù)集 , 后來(lái) , 種廣 的分?jǐn)?shù)集 上就是有理數(shù)集了。與此 似 , 人 研究整數(shù)除法 , 先研究被除數(shù)能被除數(shù)整除的情形 , 如 155, 正好得到整數(shù)商 3, 作 155=3。后來(lái)才研究有余數(shù)的情形 , 如 16 5, 得到不完全商 3 后 余 1, 作 165=31。起初 , “整除”與“有余數(shù)的除法”也是并列

6、而互斥的概念 , 前者沒(méi)有余數(shù) , 后者有余數(shù) , 互不相容。后來(lái) , 了研究的方便 , 人 干脆把“有余數(shù)的除法”的外延 大 , 它把原先的兩個(gè)概念一并囊括。因 很容易 到 : 只要把“整除” 的“沒(méi)有余數(shù)”看做“余數(shù) 0”即可。 一來(lái) , “整除”就成了“有余數(shù)的除法”的特例 ,“整除” 與“有余數(shù)的除法” 也就 理成章地由 立 成 一 , 二者 一于廣 的 “有余數(shù)的除法”之中。3. “余數(shù) 0”的 法有據(jù)可 事 上 , “余數(shù) 0”的提法早已被數(shù)學(xué)界 可。小學(xué)數(shù)學(xué)教 手冊(cè)( 人民教育出版社 ,1982 年) 第 49 有如下表述 :“判定一個(gè)整數(shù)能不能被另一個(gè)正整數(shù)整除 , 只需 行除

7、法運(yùn)算即可。 如果所得的余數(shù) 0, 就是整除的情況 ; 如果所得的余數(shù)不 0, 就是不能整除的情況。例如 : a=91,b=13。ab=9113, 商 7 余 0。 表明 91=137。即 91 能被 13 整除。a=97,b=19。9719 商 5 余 2。所以 97 不能被 19 整除。一般地 , 于整數(shù) a 和正整數(shù) b, 如果 行除法 ab 得商 q, 余數(shù) r, 就有 a=bq+r。其中 0r數(shù)學(xué)手冊(cè) ( 人民教育出版社 ,1979 年 ) 第 1057 “數(shù) ”的“ 相除法”中 , 有如下表述 :“每一個(gè)整數(shù) a 可以唯一地通 正整數(shù)b 表示 a=bq+r, 0 r上述不等式 0r

8、 得注意的是 , “ 相除法”又稱“歐幾里得算法” , 我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶早在公元 1247 年即在其著作數(shù) 九章中 , 一算法 行 卓有成效的研究。.數(shù)學(xué)手冊(cè) ( 人民教育出版社 ,1979 年) 第 1066 “數(shù) ”的“同余式”中 , 有如下表述 : “ 以 m 模 , 可將全體整數(shù)分 m個(gè) , 同 的數(shù)都同余 , 不同 的數(shù)都不同余 , 稱 的 同余 , 每 中各取一數(shù) 代表 , 例如 :0,1,2, ,m-1 構(gòu)成一個(gè)完全剩余 ?！庇纱艘字?, 在以 0 代表的 個(gè)剩余 中 , 每個(gè)數(shù)除以 m,所得的余數(shù)均 0。也就是說(shuō) , 此 數(shù)中的每一個(gè)都是 m的倍數(shù)。事 上 , 我 不 從剩

9、余 的理 中 , 看到了 “余數(shù) 0”的 可 , 可以運(yùn)用剩余 的理 和“抽 原理”來(lái)解答一 有關(guān)整除性的 目。 有 目并 出解答的數(shù)學(xué) 籍比比皆是 , 下面 一例。求 : 在任意四個(gè)整數(shù)中 , 必有 的兩個(gè)數(shù) , 它 的差能被 3 整除。 明 : 因 任何整數(shù)除以 3, 所得余數(shù)只可能是 0,1,2 三種。也就是 , 所有整數(shù)按其除以 3 所得余數(shù)來(lái)分 , 可分 余數(shù)分 0,1,2 的三個(gè)剩余 。把每個(gè)剩余 都看做一個(gè)抽 , 三個(gè)剩余 就是三個(gè)抽 。根據(jù)“抽 原理” , 把四個(gè)整數(shù)放 三個(gè)抽 , 至少有一個(gè)抽 里會(huì)有兩個(gè)整數(shù)。 兩個(gè)整數(shù)既屬同一個(gè)剩余 , 它 除以 3 所得的余數(shù)必然相同 ,

10、 故其差除以 3 所得的余數(shù)必 0, 也就是 , 個(gè)差必能被 3 整除。三、教材修改的建 上所述 , 在整數(shù)除法中 , 余數(shù)的確是可以 0 的。但在 行的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中 , 此卻完全不予涉及 , 遂令在教學(xué)中起主 作用的教 迷茫不解 , 在沒(méi)有道理。由此 之 , 教材必 修改。1. 教材修改的重要意 有利于學(xué)生 0 的雙重意 , 知道 0 既可表示“無(wú)” , 又可表示“有”。使用修改后的教材教學(xué) , 能 學(xué)生初步感知 立 一的 思想。有利于學(xué)生用 展 化的 唯物主 點(diǎn) 概念 的關(guān)系 , 知道當(dāng)學(xué) 了 “有余數(shù)的除法”后 , 原來(lái)的“整除” ( 包括“表內(nèi)除法” ) 可以看做是“有余數(shù)的除

11、法”的特例 , 由此理解“特殊”與“一般”的關(guān)系。有利于學(xué)生后 的數(shù)學(xué)學(xué) 。2. 教材修改的具體意 要明確指出“沒(méi)有余數(shù)”就是“余數(shù) 0”。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年 上冊(cè)第四 元“有余數(shù)的除法”第50 例 1 為: “搬 15 盆花布置會(huì) , 每 5 盆, 可以 幾 ?”解答此 的橫式 15 5=3( 組) 。接著 , 本上 列出了 式。 道例 然起著承上啟下的作用: 既承接二年 下冊(cè)的“表內(nèi)除法”, 又由此介 .除法 式 , “有余數(shù)的除法”的教學(xué)作 。第 51 例 2 是 : “一共有 23 盆花 , 每 5 盆, 最多可以 4 組, 多 3 盆。” 是“有余數(shù)的除法”的首個(gè)例 。解答 , 本上

12、先列出橫式 :23 5=4(組 ) 3( 盆) 。再在橫式下方列出 式 , 并用虛 將兩個(gè)式子中的3 接 , 上“余數(shù)”二字。 本上述 排 具匠心 , 但 作點(diǎn) 充。建 在 兩道例 后面 , 不失 機(jī)地 排一段 “ 0”的 的文字 , 學(xué)生懂得 : “0” 然表示“沒(méi)有” , 但它同 又是一個(gè)確定的數(shù) , 從 個(gè)意 上 , “0”也表示“有”。 接著 , 要引 學(xué)生 兩道例 的 式 行 察和比 , 例 1 式中最下面的“ 0”與例 2 式最下面的“ 3” 于相同的位置 ,“ 3”既表示余數(shù) ,“ 0”也可看成是余數(shù)。 去我 155 恰好等于 3,“沒(méi)有余數(shù)” , 在我 也可 155, 商 3,

13、 “余數(shù) 0”。相信 理 , 學(xué)生能在 松愉快中接受 唯物主 思想的啟蒙教育。要明確指出除數(shù) a 時(shí), 共有 a 種不同的余數(shù) :0,1,2, ,a-1 。三年 上冊(cè)第 52 例 3 為: “如果上例中一共有 16 盆花 , 可以 幾 ?多幾盆 ?如果是 17 盆,18 盆, ,24 盆,25 盆呢 ?” 本上列出了一 式子 :15 5=3(組 )16 5=3(組 ) 1( 盆)17 5=3(組 ) 2( 盆)18 5=3(組 ) 3( 盆)19 5=3(組 ) 4( 盆)20 5=( 組)21 5= ( 組) ( 盆)22 5= ( 組) ( 盆)23 5=24 5=25 5=.在 式子的右

14、 , 提了一個(gè) : “ 察余數(shù)和除數(shù) , 你 了什么 ?”旨在引 學(xué)生 “余數(shù)小于除數(shù)”的 。此 得不 , 無(wú) 大改。關(guān) 是要增加一段文字 , 要告 學(xué)生 : “155=3( 組) ”也可寫(xiě)作“ 155=3( 組) 0( 盆) ”。 , 展 在學(xué)生面前的余數(shù)就有 0,1,2,3,4 五種 , 就不會(huì)由于余數(shù) 0 的 匿 , 而使學(xué)生 “一個(gè)整數(shù)除以 5, 只有 1,2,3,4 四種余數(shù)”了。到四年 學(xué) 了“用字母表示數(shù)”后 , 本 當(dāng)用更具概括性的 言告 學(xué)生 : 在整數(shù)除法中 , 如果除數(shù)是 a, 余數(shù)只能是 0,1,2, ,a-1, 一共有 a 種。當(dāng)今 代 , 數(shù)學(xué)不 作 工具 , 著越

15、來(lái)越重要的作用 , 而且 , 數(shù)學(xué)作 一種文化 , 也日益深入人心。近年來(lái) , 人 0 的雙重意 的 越來(lái)越到位了。 不 , 沒(méi)有距離被稱作“零距離” ; 不收關(guān)稅被稱作“零關(guān)稅”。把沒(méi)有 差稱作“零 差” ; 把沒(méi)有 稱 “零 ”。而像“零增 ” “零收益” “零 ” “零排放” “零 耗” “零學(xué) ” “零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之 的提法早已 各媒體。隨著 的推移 , 像 以“零” 模式的 在不斷地 生。前些 候 , 美國(guó)國(guó) 卿希拉里克林 由于不 下屬的荒唐行 , 首 了“零忍耐”一 , 令人 感新 ?！?0”本是數(shù)學(xué)中的元素 , 在數(shù)學(xué)的整數(shù)除法中 , 又 在在地存在著余數(shù) 0 的