1、第5章 哈密頓力學(xué),5-1 哈密頓原理 5-2 哈密頓函數(shù) 5-3 正則方程 5-4 正則變換,拉格朗日表述,拉格朗日函數(shù),完整,理想,保守系,系統(tǒng)特性函數(shù),廣義坐標(biāo)(s個(gè)),獨(dú)立變量(運(yùn)動(dòng)學(xué)),廣義坐標(biāo)廣義速度,獨(dú)立變量(動(dòng)力學(xué)),運(yùn)動(dòng)方程是廣義坐標(biāo)的二階微分方程組,拉格朗日變量,哈密頓表述,哈密頓函數(shù),完整,理想,保守系,系統(tǒng)特性函數(shù),獨(dú)立變量,廣義坐標(biāo) 廣義動(dòng)量 (共 2s 個(gè)),推廣至統(tǒng)計(jì)力學(xué)和量子力學(xué),運(yùn)動(dòng)方程是廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的一階微分方程組(共 2s 個(gè)),哈密頓正則變量,哈密頓力學(xué),可進(jìn)行更廣泛的“坐標(biāo)”變換,從哈密頓原理出發(fā), 也完全可以導(dǎo)出拉格朗日方程和正則方程, 并建立

2、整個(gè)分析力學(xué)的體系.,自然界的許多物理現(xiàn)象服從某些極值原理，這些取極值的運(yùn)算方法屬于數(shù)學(xué)中的變分方法，因此首先了解數(shù)學(xué)上的泛函和變分問(wèn)題.,從動(dòng)力學(xué)普遍方程出發(fā)得到拉格朗日方程, 實(shí)際上還是以牛頓定理為基礎(chǔ)的, 是一種與牛頓力學(xué)完全等價(jià)的表達(dá)方式.,哈密頓原理是更普遍的原理 ，這種方法具有公理性的特點(diǎn)，這也說(shuō)明科學(xué)的統(tǒng)一和和諧.,5-1 哈密頓原理,一. 變分問(wèn)題的歐勒方程,二. “最小”作用原理,三. 哈密頓原理,下面應(yīng)用哈密頓原理導(dǎo)出拉格朗日方程，假設(shè)系統(tǒng)為完整保守力系，拉格朗日函數(shù)可以形式地假設(shè)為,哈密頓原理在理論上具有特別重要的意義, 它是建立在描述體系運(yùn)動(dòng)總體效果-積分形式的基礎(chǔ)之上

3、，與采用什么樣的廣義坐標(biāo)（坐標(biāo)系）無(wú)關(guān)，因此只要適當(dāng)引進(jìn)拉格朗日函數(shù)（對(duì)相互作用需要建立模型得到勢(shì)函數(shù)或力函數(shù)，進(jìn)而得到拉格朗日函數(shù)）,就容易推廣應(yīng)用拉格朗日方程和正則方程,并建立整個(gè)分析力學(xué)的體系.,三. 哈密頓原理的意義,哈密頓原理在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)并沒(méi)有什么優(yōu)勢(shì).,哈密頓原理是作為公理提出的, 是基于這樣一種信念：大自然總是使某些重要的物理量取極值，當(dāng)然它的正確性最終由原理演繹出的推論在實(shí)踐中檢驗(yàn)而得到證實(shí)。,1. 背景,通過(guò)拉格朗日方程很容易得到體系的運(yùn)動(dòng)方程，但求解難度各不相同，即使對(duì)同一問(wèn)題由于廣義坐標(biāo)的不同選擇，將導(dǎo)致求解難度大不相同。,5-2 廣義動(dòng)量和相空間,如果方程出現(xiàn)循環(huán)坐

4、標(biāo)，求解容易得多。循環(huán)坐標(biāo)的本質(zhì)是系統(tǒng)的一種對(duì)稱性，而對(duì)稱性一般要通過(guò)變換來(lái)發(fā)現(xiàn)，因?yàn)樗褪且环N變換不變性。如果能夠找到盡量多的變換不變性就能發(fā)現(xiàn)更多的對(duì)稱性，這不僅有利于求解，也是對(duì)系統(tǒng)的本質(zhì)特征進(jìn)行把握的理論上的要求所在。,另外，不論拉氏方程還是牛頓方程，都有一個(gè)共同的不足之處，就是沒(méi)有充分表達(dá)出 在因果關(guān)系上的獨(dú)立性。作為初始條件， 總是可以獨(dú)立給定的，可是在方程中 是作為q的衍生變數(shù)出現(xiàn)的，然而由于運(yùn)動(dòng)中的每個(gè)時(shí)刻都可以取代“初始時(shí)刻”，這種方程中的主從關(guān)系顯然是對(duì)現(xiàn)實(shí)的一種扭曲表達(dá)。,如何進(jìn)一步發(fā)展拉氏方程，使之更容易呈現(xiàn)其內(nèi)在的對(duì)稱性，自然成為人們的焦點(diǎn)。,因果關(guān)系和二階方程的不協(xié)

5、調(diào)還導(dǎo)致位形空間缺乏幾何物理內(nèi)涵：位形空間中兩個(gè)相距很近的點(diǎn)，甚至同一點(diǎn)，可以在物理上極不相同（因?yàn)閺V義速度不同，動(dòng)量和能量等就可以有任意大的差別）。,這樣，所有的分析都指向一點(diǎn)：將方程降階，這看起來(lái)簡(jiǎn)單，但是難點(diǎn)在于保持新方程組的對(duì)稱性。哈密頓方程組（正則方程）不僅使理論結(jié)構(gòu)更加嚴(yán)謹(jǐn)，而且在進(jìn)行實(shí)際計(jì)算上辦法更多(當(dāng)然不是針對(duì)幾個(gè)簡(jiǎn)單的便于積分的演示例子)。,定義廣義動(dòng)量,由q 和 p 組成的空間稱作相空間, 因而相空間是2s維空間, q 和 p稱作共軛變量,利用廣義動(dòng)量來(lái)代替廣義速度描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更具有普遍物理意義。,2. 廣義動(dòng)量,3. 哈密頓函數(shù),在拉格朗日力學(xué)中曾定義:,但那里 H

6、 是作為 L 在不顯含 t 時(shí)的能量積分（守恒量）引進(jìn)的?，F(xiàn)在進(jìn)一步地把 H 定義為(選擇廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量作為獨(dú)立變量)系統(tǒng)的特性函數(shù)-哈密頓函數(shù),注意只有在把廣義速度換成廣義動(dòng)量后, H 才能被稱為哈密頓函數(shù)，就物理意義來(lái)講它是能量的含義，特別是作為系統(tǒng)力學(xué)信息的集中載體而稱之為哈密頓量。,*4. 勒讓德變換,舊系統(tǒng),新系統(tǒng),勒讓德變換,假定由 F 對(duì) ui 的二階偏微商組成的行列式不等于零, 這時(shí)才可以解出 ui 作為 vi 的函數(shù),拉格朗日函數(shù),哈密頓函數(shù),可以看出從拉格朗日函數(shù)到哈密頓函數(shù),也可以通過(guò)一個(gè)勒讓德變換實(shí)現(xiàn),勒讓德變換,5-3 正則方程,統(tǒng)計(jì)物理、電動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)等理論

7、物理學(xué)科中對(duì)力學(xué)的描述更多的是采用哈密頓正則方程的形式。,根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義,1.從拉格朗日方程到正則方程,比較上述二式, 由于都是 dq 和 dp 獨(dú)立的, 于是有:,另外根據(jù)哈密頓函數(shù)是 q , p ,t 的函數(shù):,哈密頓正則方程,這是2s個(gè)一階常微分方程的方程組, 結(jié)合初始條件求解, 從而完全確定力學(xué)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,形式優(yōu)美、簡(jiǎn)潔對(duì)稱！,同時(shí)由上面的推導(dǎo)還可得到：,*2. 由哈密頓原理導(dǎo)出正則方程,4. 能量積分,與拉氏方法一樣，哈密頓方法同樣存在一些守恒量，如能量,若H不中不顯含t ：,H中不顯含t，表明體系具有時(shí)間上的均勻性, 能量守恒. 根據(jù)約束穩(wěn)定與否分別討論。,(a) 穩(wěn)定約

8、束,(b) 不穩(wěn)定約束,5. 循環(huán)坐標(biāo),如果 H =H（q1，qs；p1，ps；t）中不顯含某個(gè)qi 或某個(gè)pi ，則該廣義坐標(biāo)或廣義動(dòng)量稱為循環(huán)坐標(biāo)，因?yàn)楦鶕?jù)哈密頓正則方程，與循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的共軛變量為守恒量：,qi=const ，pi為循環(huán)坐標(biāo),pi =const，qi為循環(huán)坐標(biāo),實(shí)際上，拉格朗日函數(shù)的守恒量和哈密頓函數(shù)的守恒量具有密切關(guān)系:如果拉格朗日函數(shù)不顯含t或有循環(huán)坐標(biāo)qi,哈密頓函數(shù)也同樣有.,但二者也有區(qū)別: 拉格朗日函數(shù)的的循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)廣義動(dòng)量守恒,體系自由度 s 不變; 而哈密頓函數(shù)的的循環(huán)坐標(biāo)導(dǎo)致其共軛廣義動(dòng)量為常數(shù),因而減少一對(duì)獨(dú)立變量,自由度減少 s s-1，即真正

9、的可遺坐標(biāo)。,對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題, 應(yīng)用正則方程可能沒(méi)有優(yōu)勢(shì); 但正則方程具有理論的普適性，并且適合數(shù)值計(jì)算。,進(jìn)一步思考,正則方程似乎表明: 只要寫(xiě)出系統(tǒng)哈密頓函數(shù)H, 就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的積分方法就能完全確定力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(所謂經(jīng)典力學(xué)確定論);,但我們也應(yīng)該看到, 對(duì)一些系統(tǒng)寫(xiě)出H有困難, 即使給出也不一定可以積分, 對(duì)那些不可積系統(tǒng), 可能出現(xiàn)隨機(jī)混沌現(xiàn)象;,*6. 泊松括號(hào),前面講過(guò)運(yùn)用正則方程可由循環(huán)坐標(biāo)很容易求出初積分，下面介紹的泊松定理可以借助兩個(gè)運(yùn)動(dòng)積分求出新的運(yùn)動(dòng)積分,設(shè)體系的某一力學(xué)量 是廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的函數(shù),上式說(shuō)明: 力學(xué)量 F 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)與哈密頓函數(shù)H有密切的關(guān)系,

10、如果力學(xué)量 F 守恒的充要條件是:,更進(jìn)一步, 如果力學(xué)量 F 不顯含時(shí)間,并且與哈密頓函數(shù)的泊松括號(hào)為零,則該力學(xué)量就是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的守恒量,注意在上式中廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量是體系的獨(dú)立(正則)變量,與時(shí)間 t 也是相互獨(dú)立的.,哈密頓正則方程也可以寫(xiě)成泊松括號(hào)表示的形式:,此方程具有更明顯的對(duì)稱性, 而且和量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程形式一致.,定義任意兩個(gè)力學(xué)量F和G的泊松括號(hào):,正則變量滿足:,泊松定理: 若F和G分別是正則方程的初積分(守恒量),則F,G 也是正則方程的初積分(可能是新的).,解: 體系為自由質(zhì)點(diǎn)，無(wú)約束, 自由度數(shù)s3, 選擇球坐標(biāo)系(即為本題的廣義坐標(biāo)),7. 應(yīng)用舉例,例1 在

11、球坐標(biāo)系寫(xiě)出一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)場(chǎng) 中的哈密頓函數(shù)H,根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義：,對(duì)自由質(zhì)點(diǎn), 無(wú)約束(穩(wěn)定), H即可通過(guò)機(jī)械能表達(dá)：,例2 見(jiàn)教材例題6.10 （pp211-213）,方法一（拉格朗日方法）:,如圖所示，小球和小環(huán)構(gòu)成的體系，只要兩個(gè)獨(dú)立參量即可確定體系的位置，所以自由度數(shù)s2, 建立固定坐標(biāo)系，選擇（x, ）為廣義坐標(biāo)。體系滿足保守，完整和理想約束條件。,坐標(biāo)變換方程：,運(yùn)動(dòng)微分方程,最后得到關(guān)于的運(yùn)動(dòng)微分方程,方法二（哈密頓方法）:,體系的拉氏函數(shù)為：,廣義動(dòng)量為：,反解出：,根據(jù)正則方程：,對(duì)于完整保守，理想，穩(wěn)定約束體系，哈密頓函數(shù)為,這說(shuō)明廣義坐標(biāo) x 是循環(huán)坐標(biāo)，x 方

12、向動(dòng)量守恒（初始靜止）。,與拉氏方法得到的方程相同，顯然對(duì)于簡(jiǎn)單力學(xué)系統(tǒng)，采用正則方程，如果不能直接求解，而是把它轉(zhuǎn)化為廣義坐標(biāo)的二階微分方程求解的話，遠(yuǎn)不如直接根據(jù)牛頓方法或拉氏方法得到該方程來(lái)得簡(jiǎn)單。,*例3 應(yīng)用哈密頓正則方程求核外電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)電子 的電量為e，原子核帶電為Ze，Z為原子序數(shù),采用球坐標(biāo)為廣義坐標(biāo), 電子受到核的庫(kù)侖力作用, 是保守力, 可以用勢(shì)函數(shù)表示:,同前題, 無(wú)約束(穩(wěn)定), H可以表示為:,根據(jù)哈密頓正則方程可以得到運(yùn)動(dòng)方程:,以上就是根據(jù)哈密頓正則方程得到的電子在核力場(chǎng)中的(共六個(gè))運(yùn)動(dòng)方程, 對(duì)此問(wèn)題其求解并不簡(jiǎn)單, 但在更復(fù)雜的問(wèn)題中可顯示其優(yōu)勢(shì).,

13、可見(jiàn)電子的運(yùn)動(dòng)與 無(wú)關(guān)，故可知電子在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng), 正如所料, 因電子受有心力, 可令此平面為 的平面，則 。,由上述方程變換可得:,最終得到電子在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程(同以前的二維結(jié)果)為:,在上面的例子中(包括行星的開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng), 帶電粒子在靜電庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等), 都可看作是自由粒子在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng), 容易根據(jù)角動(dòng)量定理證明是平面運(yùn)動(dòng), 自由度最多為 2 , 因此可以直接選擇二維極坐標(biāo)系就可完全描述:,勢(shì)場(chǎng)：,*5-4 正則變換,1.正則變換,若 H =H（q1，qs；p1，ps；t）中不顯含某個(gè)qi 或pi，即qi ，pi為循環(huán)坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的共軛變量pi ，qi是守恒量,循環(huán)坐標(biāo)的有無(wú)與廣義坐標(biāo)的選取有關(guān),正則變換的目的就是通過(guò)坐標(biāo)變換發(fā)現(xiàn)更多的循環(huán)坐標(biāo),正則變換說(shuō)明作為獨(dú)立變量的“坐標(biāo)”和“動(dòng)量” 有著同等的地位,并且其選擇具有更大的自由,因而力學(xué)表述更抽象。,正則方程還提供另外一種解決問(wèn)題的方式: 通過(guò)正則變換尋找更多的哈密頓函數(shù)的循環(huán)坐標(biāo),這完全是可能的, 因?yàn)槲覀兪褂昧烁嗟淖兞俊?2.正則變換的條件,能夠保持正則方程形式不變的相空間的坐標(biāo)變換,即要求變換后的新變量仍是力學(xué)系的正則變量,這樣的坐標(biāo)變換方法稱為正則變換,F是變換的生成函