1、1,一、協(xié)方差 二、相關(guān)系數(shù),4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),2,對于隨機變量(X,Y)而言: E(X)、E(Y)反映分量X、Y各自的 平均值 D(X)、D(Y)反映分量X、Y各自的 平均偏離程度,并未反映X、Y之間的相互關(guān)系,3,定義:,一、協(xié)方差,稱EXE(X)YE(Y)為X與Y 的 協(xié)方差,記為Cov(X,Y) ,即,Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),4,若X取值比較大(XE(X),Y也較大 (YE(Y),若X取值比較小(XE(X),Y也較小 (YE(Y),若X取值較小,Y取值較大或若X取 值較大,Y取值較小,這時Cov(X,Y)0,這時Cov(X,Y)0,則Cov(X,Y)0,協(xié)方差

2、可了解兩個變量之間變化 的關(guān)系(變化趨勢在平均意義上而言):,5,正的協(xié)方差表示兩個隨機變量傾 向于同時取較大值或同時取較小值,負 的協(xié)方差反映兩個隨機變量有相反方 向變化的趨勢,6,Cov(X,Y),連續(xù)型隨機變量的協(xié)方差:,Cov(X,Y),離散型隨機變量的協(xié)方差:,7,協(xié)方差的性質(zhì):,1. Cov(X,X)=D(X); Cov(Y,Y)=D(Y),2. Cov(X,Y)=Cov(Y,X),3. Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y) 其中a1,a2,b1,b2為常數(shù),4. Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),8,5. Cov(X, Y

3、)=E(XY)E(X)E(Y),若X與Y獨立,則Cov(X,Y)=0,還可推得:,D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),6. Cov(X, Y)2D(X)D(Y),9,二、相關(guān)系數(shù),定義:,若D(X)0,D(Y)0,則稱,為X,Y的相關(guān)系數(shù)或標準協(xié)方差,記為 XY ,即,10,關(guān)于XY的符號: 當 XY 0時,稱X與Y為正相關(guān). 當 XY 0時,稱X與Y為負相關(guān). 相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差具有相同的符號,因此,前面關(guān)于協(xié)方差的符號意義的討論可以移到這里. 即 正相關(guān)表示兩個隨機變量有同時增加或同時減少的變化趨勢. 負相關(guān)表示兩個隨機變量有相反的變化趨勢.,11,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,證: 由方

4、差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)b,有,0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ),D(Y- bX)=,12,當且僅當X與Y之間有線性關(guān)系時, 等號成立,即 |=1a,b,使PY=aX+b=1,說明: XY刻劃X,Y之間的線性相關(guān)程度,|XY|1,則X,Y越接近線性關(guān)系,|XY|=1,則X,Y存在線性關(guān)系,當XY=0時,稱X與Y不相關(guān),則X,Y沒 有線性關(guān)系,13,2. X和Y獨立時， =0，但其逆不真.,由于當X和Y獨立時，Cov(X,Y)= 0.,請看下例.,14,證明:,例 1,設(X,Y)服從單位圓域x2+y21 上的均勻分布,證明: XY =0。,15, Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,同樣得E(Y)=0,可易得 Var(X)0, Var(Y)0.,XY =0, 故 X與Y不相關(guān).,但是在第三章計算過:X和Y不相互獨立.,16,例2 設(X,Y)的概率密度為,求Cov(X,Y)、XY,解:,同理,得:,17,有: Cov(X, Y)=E(XY)E(X)E(Y),D(X)=E(X2)E2(X),同理,得:,18,有:,19,但對下述情形