1、2020-2021九年級中考數(shù)學(xué)圓與相似解答題壓軸題提高專題練習(xí)含詳細(xì)答案一、相似1.如圖，在等腰RtABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn)，連接BO,以AB為斜邊向三角內(nèi)部作RtAABE,且/AEB=90°,連接EO.求證:(1) /OAE=/OBE;(2) AE=BEh£OE.【答案】（1）證明：在等腰RtAABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn), OBXAC,/AOB=90； /AEB=90,° .A,B,E,O四點(diǎn)共圓,/OAE=ZOBE(2)證明：在AE上截取EF=BE二隹5則EFB是等腰直角三角形,/FBE=45,°在等腰RtAABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn),/A

2、BO=45；/ABF=ZOBEAB班BE.ABFABOE,Af儀,=二，AF=,OE,.AE=AF+EF，AE=BE+OE.【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得/AOB=/AEB=90,可得出A,B,E,。四點(diǎn)共圓，再利用同弧所對的圓周角相等，可證得結(jié)論。(2)在AE上截取EF=BE易證EFB是等腰直角三角形，可得出BF與BE的比值為正，再證明/ABF=/OBE,AB與BO的比值為'二，就可證得AB、BO、BF、BE四條線段成比例，然后利用兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似，可證得ABFsBOE,可證得AF=k'OE,由AE=AF+EF可證得結(jié)論。2.如

3、圖1,在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F分別是AB.BD的中點(diǎn)，連接EF,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EF方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s,同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s,當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動.連接PQ,設(shè)運(yùn)動時間為t(0vtv4)s,解答下列問題:sxE2青用澆(1)求證：ABEFADCB;(2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段DF上運(yùn)動時，若4PQF的面積為0.6cm2,求t的值;(3)當(dāng)t為何值時，4PQF為等腰三角形？試說明理由.【答案】(1)解：二四邊形ABCD是矩形，.助-BC艮ad/BC,q4二M，在R力拓中，BD16.區(qū)F分別是必跳的中點(diǎn)，1EF-AD

4、=BF=DF=5f.EF/AD,'-EF/BC,一二一.QM/BE,1133S評二產(chǎn)X二-(4-t)X-(5-2t)-0.6.JJJEA.二(舍)或f二二秒(3)解：當(dāng)點(diǎn)Q在DF上時，如圖2,PF。凡:.1I.=52i-卜：二彳.當(dāng)點(diǎn)Q在BF上時，F(xiàn)F肇，如圖3,.M/:左更.If=%國片時，如圖4,20自/時，如圖5,2G綜上所述，t=1或3或7或6秒時，4PQF是等腰三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)題中的已知條件可得4BEF和4DCB中的兩角對應(yīng)相等，從而可證BEQ4DCB;（2）過點(diǎn)Q作QMLEF于M,先根據(jù)相似三角形的預(yù)備定理可證QMFsABEF;再由QMFsBEF可用含t的代

5、數(shù)式表示出QM的長；最后代入三角形的面積公式即可求出t的值。（3）由題意應(yīng)分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)Q在DF上時，因為/PFQ為鈍角，所以只有PF=QF。（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BF上時，因為沒有指明腰和底，所以有PF=QFPQ=FQPQ=PF三種情況，因此所求的t值有四種結(jié)果。3,已知如圖1,拋物線y=-5x2-x+3與x軸交于A和B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0,-1）,連接BCAC圖I圈2鄴（1）求出直線AD的解析式;（2）如圖2,若在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)F,當(dāng)4ADF的面積最大時，有一線段MN=''（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）在直線BD上移動，首尾順次連

6、接點(diǎn)A、M、N、F構(gòu)成四邊形AMNF,請求出四邊形AMNF的周長最小時點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；（3）如圖3,將4DBC繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)a°（0Va之180°）,記旋轉(zhuǎn)中的DBC為DB'C'若直線B'直線AC交于點(diǎn)P,直線B'C直線DC交于點(diǎn)Q,當(dāng)4CPQ是等腰三角形時，求CP的值.【答案】（1）解：:拋物線y=-占x2-寸x+3與x軸交于A和B兩點(diǎn),0二占x2fx+3,x=2或x=-4,A(-4,0),B(2,0),-D(0,T)，直線AD解析式為y=-1x-1過點(diǎn)F作FHI±x軸，交AD于H,JJ1設(shè)F(m,占m2-mm+3),H(m,4m

7、1),jjuu2mjjjoij13m+4)=3m2m+8=:(m+FH=-囚m2rm+3(4m1)=-七m2二：m+4,Saadf=Saafh+Sadfh=上FHX帕xa|=2FH=2(E四1)2+2當(dāng)m=-3時，S/adf最大，如圖2,作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)Ai,把Ai沿平行直線BD方向平移到A,且AiA2=«,連接A2F,交直線BD于點(diǎn)N,把點(diǎn)N沿直線BD向左平移/得點(diǎn)M,此時四邊形AMNF的周長最小.OB=2,OD=1,1tanZOBD=6,.AB=6,.AAi=2AK=在RtABK中，AH=b24,AiH=,.OH=OA-AH=心,Ai(一過A2作A2P±A2H

8、,/AiA2P=Zabk,.AiA2=,A2P=2,AiP=1,g19A2(-%-3)216F(-3,了)107目二.A2F的解析式為y=-x-'、，-B(2,0),D(0,i),1直線BD解析式為y=-£x-i，聯(lián)立得，x=-7兀2.n點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：-772(3)解:-.0(0,3),B(2,0),D(0,1).CD=4,BC=",BC邊上的高為DH,OB=2,根據(jù)等面積法得,BCXDH=CDXOB巨乂OB.DH=4X2-A(-4,0),0(0,3),.OA=4,00=3,tanZACD=況'3,當(dāng)PC=PQ時，簡圖如圖1,11D過點(diǎn)P作PG±C

9、D,過點(diǎn)/AJ,.tanZACD=JD作DHXPQ,設(shè)CG=3a,則QG=3a,PG=4a,PQ=PC=5a.DQ=0D-CQ=46a.PGQADHQ,當(dāng)PC=CQ時，簡圖如圖2,過點(diǎn)P作PG±CD,/AJ,.tanZACD=J 設(shè)CG=3a,則PG=4a,，CQ=PC=5a，QG=CQ-CG=2a,PQ=2.a, .DQ=CD-CQ=4-5a .PGQADHQ,CQ,QG,PQ,DQ的長，由同的方法得出，PC=4-13,設(shè)CG=3a,則PG=4a,從而得出PGQsDHQ,同的方法得出，PC的長；當(dāng)QC=PQ時，簡圖如圖1過點(diǎn)Q作QG±PC,過點(diǎn)C作CN±PQ,設(shè)

10、CG=3a,貝UQG=4a,PQ=CQ=5aPG=3a,PC=6a.DQ=CD-CQ=4-5a,利用等面積法得，CN<PQ=PCQG留.CN=a,.CQNADQH241013同的方法得出PC=5,3當(dāng)PC=CQ時，簡圖如圖4,過點(diǎn)P作PG±CD,過H作HD，PQ,設(shè)CG=3a,貝UPG=4a,CQ=PC=5a.QD=4+5a,PQ=4鏡，.QPGAQDH,可國"同方法得出.CP=J34io曾與73公畫24四廊I綜上所述，PC的值為：339；4-13,513=13【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，把y=0代入拋物線的解析式，得出一個關(guān)于x的一元二次方

11、程，求解得出x的值，進(jìn)而得出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；然后由A,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式；(2)過點(diǎn)F作FH,x軸，交AD于H,根據(jù)函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，及平行于y軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，設(shè)出F,H的坐標(biāo)，從而得出FH的長度，Sxadf=Safh+Sxdfh=-FHX帆*-Xa|二2FH,列出關(guān)于m的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由頂點(diǎn)式得出當(dāng)m=-J時，Sadf最大，從而得出F點(diǎn)的坐標(biāo)；如圖2,作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)Ai,把Ai沿平行直線BD方向平移到A2,且AiA2=6,連接A2F,交直線BD于點(diǎn)N,把點(diǎn)N沿直線BD向左平移入必得點(diǎn)M,此時四邊形AMNF的周長最小

12、，進(jìn)而求出點(diǎn)A1,A2坐標(biāo)，即可確定出A2F的解析式和直線BD解析式聯(lián)立方程組即可確定出N點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)根據(jù)C,B,D三點(diǎn)的坐標(biāo)，得出CD,BC,OB的長，BC邊上的高為DH,根據(jù)等面積法得1/i-BCXDH=CDXOB從而得出DH的長，根據(jù)A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出OA,OC的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tan/ACD=4：3;然后分四種情況討論：當(dāng)PC=PQ時，過點(diǎn)P作PG±CD,過點(diǎn)D作DHXPQ,由tan/ACD=4：3,設(shè)CG=3a,則QG=3a,PG=4a,PQ=PC=5a,從而由DQ=CD-CQ得出DQ的長，根據(jù)PGMDHQ,得出PG：DH=PQ：DQ,從而求出a的值，進(jìn)

13、而求出PC的值；當(dāng)PC=CQ時，簡圖如圖2,過點(diǎn)P作PG±CD,tanZACD=4：3,設(shè)CG=3a,貝UPG=4a,從而得出CQ,QG,PQ,DQ的長，由PGQsDHQ,同的方法得出，PC的長；當(dāng)QC=PQ時，過點(diǎn)Q作QGXPC,過點(diǎn)C作CN,PQ,設(shè)CG=3a,貝UQG=4a,PQ=CQ=5a,從而得出PG,PC,DQ的長，利用等面積法得，CWPQ=PCQG從而得出CN,由CQNMDQH同的方法得出PC的長；當(dāng)PC=CQ時,過點(diǎn)P作PG±CD,過H作HD±PQ,設(shè)CG=3a,貝UPG=4a,CQ=PC=5a從而得出QD,PQ的長，由QPGsQDH,同方法得出.

14、CP的長。4.如圖，4ABC內(nèi)接于OO,且AB=AC.延長BC到點(diǎn)D,使CD=CA,連接AD交。O于點(diǎn)E.(1)求證：ABECDE;(2)填空： 當(dāng)/ABC的度數(shù)為時，四邊形AOCE是菱形； 若AE=6,BE=8,貝UEF的長為.【答案】(1)證明：AB=AC,CD=CA，/ABC=/ACB,AB=CD.四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，/ECD=ZBAE,/CED=/ABC./ABC=/ACB=/AEB,./CED=/AEB,.AABEACDE(AAS)g(2)60;上【解析】【解答】解：(2)當(dāng)/ABC的度數(shù)為60°時，四邊形AOCE是菱形;理由是：連接AO、OC. .四邊形ABCE

15、是圓內(nèi)接四邊形，/ABC+/AEC=180.° ,/ABC=6Q./AEC=120=ZAOC. .OA=OC,/OAC=ZOCA=30: .AB=AC,ABC是等邊三角形，/ACB=60,° /ACB=ZCAD+ZD. .AC=CD,/CAD=ZD=30；./ACE=180-120-30=30；./OAE=ZOCE=60四邊形AOCE是平行四邊形.OA=OC,，？AOCE是菱形;由（1）得：ABECDE,.BE=DE=8AE=CE=6./D=/EBC./CED=ZABC=ZACB,ECDCFB,E/AFE=ZBFC,/AEB=ZFCB,AEFsBCF,但故答案為：60

16、76;士.【分析】(1)由題意易證/ABC=ZACB,AB=CD;再由四點(diǎn)共圓和已證可得/ABC=/ACB=ZAEB,/CED=ZAEB,貝環(huán)用AAS可證得結(jié)論；(2)連接AO、CO.憲政ABC是等邊三角形，再證明四邊形AOCE是平行四邊形，又AO=CO可得結(jié)論；先證ECACFB,可得EC:ED=CFBC=6:8;再證AEFBCF,貝UAE:EF=BCCF,從而求出EF.5.如圖1,ABC與CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD.3RB(1)請直接寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系;(2)現(xiàn)將圖1中的4CDE

17、繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)a(0°<8<90°),得到圖2,AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H.請直接寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系;(3)若圖2中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE,如圖3,寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【答案】(1)PMXPN,PM=PN(2)PM=PN,PMXPN(3)解：PM=kPN, ACB和ECD是直角三角形，/ACB=/ECD=90: /ACB+-ZBCE=/ECD-+ZBCE./ACE=/BCD. BC=kAC,CD=kCE,bcaAC0=k.,.BCDAACE.BD=kAE, 點(diǎn)P、M、N分別為AD、

18、AB、DE的中點(diǎn)，11.PM=-BD,PN=-AE. .PM=kPN.【解析】【解答】解：(1)PM=PN,PM±PN,理由如下： ACB和ECD是等腰直角三角形，AC=BC,EC=CD,/ACB=/ECD-90:AC=BCZACB=ECD=90°在ACE和BCD中CECD, .ACEABCD(SAS, .AE=BD,/EAC=/CBD, /BCD-90； /CBD+/BDC=90°, /EAC-+ZBDC=90° 點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),/1.PM=上BD,PN=AE,.PM=PN, 點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)

19、P為AD的中點(diǎn), .PM/BC,PN/AE,/NPD=/EAC,/MPN=/BDC, /EAC叱BDC=90°, /MPA+ZNPC=90；/MPN=90°,即PMXPN,故答案為：PMXPN,PM=PN;(2)PM=PN,PM±PN,理由：ACB和ECD是等腰直角三角形，AC=BC,EC=CD,/ACB=/ECD-90: /ACB+ZBCE=/ECD+/BCE./ACE=/BCD, .ACEABCD(SAS. .AE=BD,/CAE=/CBD.又/AOC=/BOE,/CAE=/CBD,/BHO=/ACO=90.點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn),，PM=:

20、BD,PM/BD;1PN=1AE,PN/AE. .PM=PN. /MGE+/BHA=180:/MGE=90./MPN=90.PMXPN.故答案為：PMXPN,PM=PN【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論判斷出ACSBCD,得出AE=BD,再用三角形的中位線即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等，判斷出BCgACE,得出BD=kAE,最后用三角形的中位線即可得出結(jié)論.6.如圖1,拋物線才平移后過點(diǎn)A（8,0）和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B,對稱軸與X軸相交于點(diǎn)C,與原拋物線相交于點(diǎn)D.圖1圜2函用圖（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積S跖幽

21、；（2）如圖2,直線AB與J軸相交于點(diǎn)P,點(diǎn)M為線段OA上一動點(diǎn)，jE機(jī)為直角，邊MN與AP相交于點(diǎn)N,設(shè)儂=，試探求：,為何值時小越挑為等腰三角形；為何值時線段PN的長度最小，最小長度是多少.二3v+bi【答案】（1）解：設(shè)平移后拋物線的解析式E,3?33?v至/半F（X-4）二+3將點(diǎn)A（8,0）代入，得必二=,所以頂點(diǎn)B（4,3）,所以S陰影=OC?CB=12(2)解：設(shè)直線AB解析式為y=mx+n,將A(8,0)、B(4,3)分別代入得nt=砌+口=0t4'限=3,解得：n=6,3一一，、，丫-X+&，一，_所以直線AB的解析式為f,作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)MN=AN

22、時，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由三角形NQM和三角形MOP相似可知0M去).0P8解得當(dāng)AM=AN時，AN=疔I,由三角形ANQ和三角形APO相似可知NQ(舍AQ-(8-t?5,MQ=NQMQ由三角形NQM和三角形MOP相似可知OM0P得:解得:t=12(舍去)；當(dāng)MN=MA時，仁MNA上故上AMN是鈍角，顯然不成立，故一;t/-1JT由MN所在直線方程為y=46,與直線AB的解析式y(tǒng)=-x+6聯(lián)立,得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為Xn=9*2,即t2-xNt+36-xn=0,9由判別式=x?n-4(36-)>0,彳l|xn>6或xnW-14,又因為0vxn<8,所以xn的最小值為6,此時t=3,JJ5

23、當(dāng)t=3時，N的坐標(biāo)為(6,"二；")，此時PN取最小值為:【解析】【分析】(1)平移前后的兩個二次函數(shù)的a的值相等，平移后的圖像經(jīng)過點(diǎn)原vy*bx點(diǎn)，因此設(shè)函數(shù)解析式為：,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入就可求出b的值，再求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用割補(bǔ)法可得出陰影部分的面積=以O(shè)C,BC為邊的矩形的面積。(2)利用待定系數(shù)法先求出直線AB的函數(shù)解析式，作NQ垂直于x軸于點(diǎn)Q,再分情況討論：當(dāng)MN=AN時，就可表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于t的方程，求出t的值；當(dāng)AM=AN時再由4ANQ和APO相似，NQM和AMOP相似，得出對應(yīng)邊成比例，分別求出t的值，然

24、后根據(jù)當(dāng)MN=MA時，/MNA=/MAN<45故/AMN是鈍角，可得出符合題意的t的值；將直線MN和直線AB聯(lián)立方程組，可得出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，結(jié)合根的判別式可求出Xn>6或xnW-14,然后由0Vxn<8,就可求得結(jié)果。7,已知：如圖，在四邊形-mz中，ABH,ZACB=90',AB=依皿，BC現(xiàn)H,如垂直平分一4匕.點(diǎn)/從點(diǎn)擊出發(fā)，沿用方向勻速運(yùn)動，速度為1加餐;同時，點(diǎn)6從點(diǎn)。出發(fā)，沿TY方向勻速運(yùn)動，速度為Zciii/s;當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動.過點(diǎn)/作咫上他，交反|于點(diǎn)E,過點(diǎn)4作科7",分別交AL,處于點(diǎn)刀，G.連接小，民.設(shè)運(yùn)動時間為

25、(0<f<外，解答下列問題：(1)當(dāng)為何值時，點(diǎn)上在ZBAC的平分線上？(2)設(shè)四邊形PEGC的面積為5(c),求|5與1r的函數(shù)關(guān)系式.(3)連接|,索，在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻卜，使魘？若存在，求出I的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：在咫加中，ACB-緲1,的工比口，町史m,陽FPE上亞/BPE=/BCA=90°又/B=/B當(dāng)為4秒時，點(diǎn)忸在上丑北的平分線上.(2)解：如圖，連接應(yīng)，皮.S國選敢比G-5詡十$一般-5d國中(Sagpc'5d西,14J415315-'(4-t)3于t-r3'的-TJ+，8-3(8-r)25252

26、1524(3)解：存在.如圖,連接肩.處,上優(yōu)，.2./歐=如二,上歐.一優(yōu)布=如|,.La”/瓦T=1ui-MECa.而一法，538f-t4537整理得：16解得5或10(舍)167秒時，佻上儀.【解析】【分析】(1)根據(jù)勾股定理求AC,根據(jù)山也證J加C-SCA,求出CD、OD的值，根據(jù)BPaABAC得到比例式，用含有t的代數(shù)式表示出PEBE,當(dāng)點(diǎn)E在ZBAC的平分線上時，因為EP±AB,EC±AC,可得PE=EC由此構(gòu)建方程即可解決問題(2)根據(jù)S齦展陶s廊*5解-3壯胸,仆色5©雁5小西')構(gòu)建函數(shù)關(guān)EC*系式即可.(3)證明/EOC=ZQOG,可得

27、/必乙&T=1fM上Q龍，推出優(yōu)、曲，由此構(gòu)建方程即可解決問題.8.如圖，在矩形ABCD中，AB=18cm,AD=9cm,點(diǎn)M沿AB邊從A點(diǎn)開始向B以2cm/s的速度移動，點(diǎn)N沿DA邊從D點(diǎn)開始向M、N同時出發(fā)，用t(s)表示移動時間(046，求:以1cm/s的速度移動.如果點(diǎn)(1)當(dāng)t為何值時，/ANM=45?(2)計算四邊形AMCN的面積，根據(jù)計算結(jié)果提出一個你認(rèn)為合理的結(jié)論;(3)當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)M、N、A為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似？【答案】(1)解：對于任何時刻t,AM=2t,DN=t,NA=9-t,當(dāng)AN=AM時，AMAN為等腰直角三角形，即：9-t=2t,解得：t=3(s

28、),所以，當(dāng)t=3s時，AMAN為等腰直角三角形(2)解：在4NAC中，NA=9-t,NA邊上的高DC=12,Snac=-NA?DC=-(9-t)?18=81-9t.在AMC中，AM=2t,BC=9,Saamc=工AM?BC=二?2t?9=9t.S四邊形namc=SJanac+Saamc=81(cm2)由計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在M、N兩點(diǎn)移動的過程中，四邊形NAMC的面積始終保持不變.(也可提出：M、N兩點(diǎn)到對角線AC的距離之和保持不變)D月.WS(3)解：根據(jù)題意，可分為兩種情況來研究，在矩形ABCD中：當(dāng)NA:AB=AM:BC時，NA24ABC,那么有：(9-t):18=2t:9,解得t=1.8(

29、s),即當(dāng)t=1.8s時，NA'ABC;當(dāng)NA:BC=AM:AB時，MANsabc,那么有：(9-t):9=2t:18,解得t=4.5(s),即當(dāng)t=4.5s時，MANsABC；所以，當(dāng)t=1.8s或4.5s時，以點(diǎn)N、A、M為頂點(diǎn)的三角形與4ABC相似【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得：因為對于任何時刻t,AM=2t,DN=t,NA=9-t.當(dāng)NA=AM時，AMAN為等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。(2)根據(jù)(1)中.在4NAC中，NA=9-t,NA邊上的高DC=18,利用三角形的面積公式，可得Sanac=81-9t,SaAMc=9t.就可得出S四邊形namc=81,因此在M

30、、N兩點(diǎn)移動的過程中，四邊形NAMC的面積始終保持不變。(3)根據(jù)題意，在矩形ABCD中，可分為當(dāng)NA:AB=AM:BC時，NA24ABC;當(dāng)NA:BC=AM:AB時，MANsABC兩種情況來研究，列出關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)可得答案。二、圓的綜合9.如圖，OM交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于A,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2.B(-3/3,O),C(6O).(1)求。M的半徑；(2)若CHAB于H,交y軸于F,求證：EH=FH.(3)在(2)的條件下求AF的長.【答案】(1)4;(2)見解析；(3)4.【解析】【分析】(1)過M作MTLBC于T連BM,由垂徑定理可求出BT的長，再由勾股定理即可求出BM的長；(2)連接

31、AE,由圓周角定理可得出/AEC4ABC,再由AAS定理得出AEHAFH,進(jìn)而可得出結(jié)論；(3)先由(1)中4BMT的邊長確定出/BMT的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)可求出CG的長，由平行四邊形的判定定理判斷出四邊形AFCG為平行四邊形，進(jìn)而可求出答案.【詳解】(1)如圖(一)，過M作MTLBC于T連BM,.BC是。O的一條弦，MT是垂直于BC的直徑，1BT=TC=BC=2、,3,.BM=，124=4；(2)如圖(二)，連接AE,則/AEC=/ABC, .CE±AB, /HBC+/BCH=90°在COF中， /OFC-+ZOCF=90,°/HBC=ZOFC=ZAFH

32、,在AEH和AFH中，AFHAEHAHFAHE,AHAH .AEHAAFhl(AAS), .EH=FH；(3)由(1)易知，ZBMT=ZBAC=60,作直徑BG,連CG,則/BGC=ZBAC=60,.OO的半徑為4,.CG=4,連AG, /BCG=90；.-.CG±x軸， .CG/AF, /BAG=90,° AGXAB, .CE±AB, .AG/CE,四邊形AFCG為平行四邊形，AF=CG=4.【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.C的切線交DB的延長線于點(diǎn)E.10.已知AB,CD都

33、是eO的直徑，連接DB,過點(diǎn)1如圖1,求證：AOD2E180°2如圖2,過點(diǎn)A作AFEC交EC的延長線于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DGAB,垂足為點(diǎn)G,求證：DGCF；DG3八3如圖3,在2的條件下，當(dāng)一時，在eO外取一點(diǎn)H,連接CH、DH分別交CE4eO于點(diǎn)M、N,且HDEHCE,點(diǎn)P在HD的延長線上，連接PO并延長交CM于點(diǎn)Q,若PD11,DN14,MQOB,求線段HM的長.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)8737【解析】【分析】(1)由/D+/E=90°,可得2/D+2/E=180°,只要證明/AOD=2/D即可；(2)如圖2中，作OR,AF于R只要證明4

34、AO宅ODG即可；(3)如圖3中，連接BCOM、ON、CN,彳BTLCL于T,作NK±CH于K,設(shè)CH交DE于W.解直角三角形分別求出KM,KH即可；【詳解】1證明：如圖1中，QeO與CE相切于點(diǎn)C,OCCE,OCE90°，DE900,2D2E180°,QAODCOB,BOC2D,AOD2D,AOD2E180°.2證明：如圖2中，作ORAF于R.QOCFFORF90°,四邊形OCFR是矩形，AF/CD,CFOR,AAOD,在VAOR和VODG中，QAAOD,AROOGD90°,OADO,VAORVODG,ORDG,DGCF,3解：如圖

35、3中，連接BCOM、ON、CN,彳BTCL于T,作NKCH于K,設(shè)CH交DE于W.設(shè)DG3m,則CF3m,CE4m,QOCFFBTE900,AF/OC/BT,QOAOB,CTCF3m,ETm,QCD為直徑，CBDCND90oCBE，E90oEBTCBT,tanEtanCBT,BTCTETBTBT3m，mBTBTJ3m（負(fù)根已經(jīng)舍棄），3m-tanEv3,mE60°,QCWDHDEH,HDEHCE,HE60°，MON2HCN60°,QOMON,VOMN是等邊三角形，MNON,QQMOBOM,P180°H120°,MOQMQOQMOQPON180&

36、#176;MON120°,MQOPONP,ONNP141125,CD2ON50,MNON25,在RtVCDN中，cnJcd2DN2J50214248，CN48在RtVCHN中，tanh-CN8-V3,HNHNHN1673,1 &在RtVKNH中，KH-HN873,NKHN24,2 2在RtVNMK中，mkJmn2NK2J2522427，HMHKMK8737.【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或直角三角形解題的關(guān)鍵.11.如圖，已知。的半徑為1,PQ是。的直徑，n個

37、相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都關(guān)于PQ對稱，其中第一個A1B1C1的頂點(diǎn)A1與點(diǎn)P重合，第二個A2B2Q的頂點(diǎn)A2是B1C1與PQ的交點(diǎn)，最后一個AnBnCn的頂點(diǎn)Bn、G在圓上.如圖1,當(dāng)n=1時，正三角形的邊長a1=；如圖2,當(dāng)n=2時，正三角形的邊長a2=;如圖3,正三角形的邊長an=（用含n的代數(shù)式表示）圖1國2圖3【答案】.38.3曳£1313n【解析】分析：（1）設(shè)PQ與BG交于點(diǎn)D,連接BQ,得出od=AD-oA,用含a1的代數(shù)式表示OD,在4OB1D中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長a；（2）設(shè)PQ與B2c2交于點(diǎn)E,連接B20,得出OE=A1E-OA,

38、用含a2的代數(shù)式表示OE,在AOBzE中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長a2；（3）設(shè)PQ與BnCn交于點(diǎn)F,連接BnO,得出OF=AF-OA1,用含an的代數(shù)式表示OF,在OBnF中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長an.本題解析：3（1）易知A1B1C1的圖為-,則邊長為73,(2)設(shè)A1B1C1的高為h,則A2O=1-h,連結(jié)B2O,設(shè)B2C2與PQ交于點(diǎn)F,則有OF=2h1.2.B2O2=OF2+B2F2,1=(2h-1)2+!a2.2h=a2,1=(.3a2-1)2+1a22,解得a2=述.13(3)同(2),連結(jié)BnO,設(shè)BnCn與PQ交于點(diǎn)F,則有BnO2=OF2+BnF2,2即1

39、=(nh1)2+1a2n,.312,.3nan,.h=an,.1=an+1)242解得an=4/n.3n112.如圖，ABC內(nèi)接于OO,弦ADBC垂足為H,連接OB.(1)如圖1,求證：/DAC=/ABO;(2)如圖2,在弧AC上取點(diǎn)F使/CAF=/BAD,在弧AB取點(diǎn)G,使AG/OB,若/BAC=6C0,求證:GF=GD;(3)如圖3,在(2)的條件下，AF、BC的延長線相交于點(diǎn)E若AF:FE=1:9,求sin/ADG的值。一，11【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)一.14【解析】試題分析：(1)延長BO交。于點(diǎn)Q,連接AQ.由圓周角定理可得：/AQB=/ACB,再由等角的余角相

40、等即可得出結(jié)論；(2)證明4DFG是等邊三角形即可；(3)延長GA,FFQ±AG,垂足為Q,作ON±AD,垂足為N,作OM，BC,垂足為M,延長AO交。于點(diǎn)R,連接GR/DPIAG,DK,AE,垂足為P、K.設(shè)AF=k,則FE=9k,AE=10k.在AHE中，AH=5k,設(shè)NH=x,貝UAN=5k-x,AD=10k-2x.在AAQI3中,AF=k,AQ=k,FQ=Y3k.由（2）知：AGDF是等邊三角形，得到GD=GF=DF,進(jìn)而得到22AG=9k-2x.OM=NH=x,BO2百x,GF=BC=2>/3x.在AGQF中，GQ=AG+AQ=£k-2x,QF=f

41、k,711GF=2j3x,由勾股定理解出xk,得至ijAG=9k-2x=-k,AR=2OB=4OM=4x=7k.在42GAR中，由sin/ADG=sin/R即可得出結(jié)論.試題解析：解：（1）證明：如圖1,延長BO交。O于點(diǎn)Q,連接AQ.BQ是。O直徑，/QAB=900.ADIBC,，/AHC=900.,弧AB=MAB,./AQB=/ACB./AQB+ZABO=900，/ACBZCAD=900/ABO=ZCAD(2)證明：如圖2,連接DF.1. AG/OB,ZABO=ZBAG./ZABO=ZCAD,./CAD=/BAG./BAC=600,/BAD+ZCAD=ZBAD+ZBAG=600,即/GAD

42、=/BAO60：ZBAD=ZCAF./CAF+/CAD=60°,1-/GAD=ZDAF=600,/DGF=ZDAF=60:弧GD=MGD,ZGAD=ZGFD=600,./GFD=/DGF=600,.DFG是等邊三角形，.GD=GF.（3）如圖3,延長GA,彳FQ,AG,垂足為Q,彳ONXAD,垂足為N,作OMLBC,垂足為M,延長AO交。O于點(diǎn)R,連接GR/DPXAG,DK,AE,垂足為P、K.AF：FE=1：9,設(shè)AF=k,貝UFE=9k,AE=10k,在4AHE中，/E=300,-AH=5k.設(shè)NH=x，貝UAN=5k-x./ONXAD,.AD=2AN=10k-2x又在AAQI3

43、中，ZGAF=1200,./QAF=600,AF=k,AQ=,FOk22'由(2)知：4GDF是等邊三角形，.-.GD=GF=DF, ZGAD=ZDAF=600,，DP=DK,GPDFKD,AAPDAAKD .FK=GP,AP=AK,ZADK=300,AD=2AK=AP+AK=AF+AG .AG=10k-2x-k=9k-2x.1c 作OMBC,ONXAD,.OM=NH=x./ZBOD=-ZBOC=ZBAC=6002 .BC=2BM=2括x.ZBOC=ZGOF,，GF=BC=2晶x在AGQF中，GQ=AG+AQ=11k-2x,QF=3k,GF=2>/3x2GQ2FQ2GF22x由k

44、2.3x22x2孕舍去11.AG=9k-2x=k,AR=2OB=4OM=4x=7k,2在AGAR中，/RGA=900,AG11 .sin/ADG=Sin/R=.AR14點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題.熟練掌握圓的基本性質(zhì)和常用的輔助線做法是解答本題的關(guān)鍵.PD13.如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且/PDA=/PBD.延交圓的切線BE于點(diǎn)E(1)判斷直線PD是否為。的切線，并說明理由；(2)如果/BED=60°,PD=73,求PA的長；(3)將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF,點(diǎn)F正好在圓O上，如圖2,求證:邊形DFBE為菱形.【解析】【分析】(1)連接OD,

45、由AB是圓O的直徑可得/ADB=90,進(jìn)而求得/ADO+/PDA=90,即可得出直線PD為。的切線；(2)根據(jù)BE是。的切線，則/EBA=90,即可求得ZP=30°,再由PD為。的切線，得/PDO=90；根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根據(jù)題意可證得/ADF=/PDA=/PBD=/ABF,由AB是圓O的直徑，得ZADB=90,設(shè)/PBD我，則可表示出/DAF=/PAD=90+x°,ZDBF=2x,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值，可得出4BDE是等邊三角形.進(jìn)而證出四邊形DFBE為菱形.【詳解】(1)直線PD為。的切線，理由如下：如圖1,連接

46、OD, .AB是圓O的直徑，/ADB=90； /ADO+ZBDO=90；又DO=BO,/BDO=ZPBD, /PDA=/PBD,/BDO=ZPDA, /ADO+ZPDA=90;即PD±OD, 點(diǎn)D在。O上， 直線PD為。的切線；(2)BE是。的切線，/EBA=90,°/BED=60,°/P=30；.PD為。的切線,/PDO=90；在RtAPDO中,/P=30°,PD=>/3,0ODtan30向，解得OD=1,POPD2OD2=2, .PA=PO-AO=2-1=1；(3)如圖2,依題意得：/ADF=ZPDA/PAD=ZDAF, /PDA=ZPBDZA

47、DF=ZABF,/ADF=ZPDA=ZPBD=ZABF, .AB是圓O的直徑，/ADB=90；設(shè)/PBD=x,貝U/DAF=ZPAD=90+x°,/DBF=2x,四邊形AFBD內(nèi)接于OO,/DAF+ZDBF=180,°即90°+x+2x=180°,解得x=30°,/ADF=ZPDA=ZPBD=ZABF=30,°.BE、ED是。的切線，.DE=BE/EBA=90；/DBE=60,°BDE是等邊三角形，.BD=DE=BE又/FDB=ZADB-/ADF=9030=60/DBF=2x=60°,.BDF是等邊三角形，.BD=

48、DF=BF.DE=BE=DF=BF本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔題，難度較大.14.如圖，已知ABC,AB=J2，BC3,/B=45,點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD,以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫圓，與邊AC交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在圓A上，且AF±AD.(1)設(shè)BD為x,點(diǎn)D、F之間的距離為V,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)如果E是Df的中點(diǎn)，求BD:CD的值；(3)聯(lián)結(jié)CF,如果四邊形ADCF是梯形，求BD的長.【答案】(1)y=J4-4x+2x2(0&x<3);(2);(3)BD的長是1或1+5.,52【解析】【分析】(1

49、)過點(diǎn)A作AHLBC,垂足為點(diǎn)H.構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的長度.聯(lián)結(jié)DF,點(diǎn)D、F之間的距離y即為DF的長度，在RtADF中，利用銳角三角形函數(shù)的定義求得DF的長度，易得函數(shù)關(guān)系式.(2)由勾股定理求得：AC=Jah2DH2.設(shè)DF與ae相交于點(diǎn)Q,通過解r匕dcq和DQ1RtAAHC推知KXo-故設(shè)DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DCCQ2的長度，結(jié)合圖形求得線段BD的長度，易得答案.(3)如果四邊形ADCF是梯形，則需要分類討論：當(dāng)AF/DC當(dāng)AD/FC.根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形解答.【詳解】(1)過點(diǎn)A作AHBC,垂足

50、為點(diǎn)H./B=45；AB=V2,BHAHABcosB.BD為x,DH在RtAADH中，AHD90，adTaHDHJ22xx2聯(lián)結(jié)DF,點(diǎn)DkF之間的距離y即為DF的長度.點(diǎn)F在圓A上，且AF±AD,ADAF,ADF45.在RtADF中，DAF90,DFAD，44x2x2.cosADFy,44x2x20x3;口uuir工(2).£是DF的中點(diǎn)，AEDF,AE平分DF.bc=3，-hc312.acJah2Ho7設(shè)DF與AE相交于點(diǎn)Q,在RDCQ中,DQC90,tanDCQDQCQ在RtAHC中，AHC90,tanACHAHHCDCQDQACH,CQ設(shè)DQk,CQ2k,AQDQk

51、,3k6k立，DCJDQ2CQ25.33-4-4.BDBCDC,BD:CD-.35(3)如果四邊形ADCF是梯形則當(dāng)AF/DC時，AFDFDC45.ADF45,ADBC,即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合.BD1.當(dāng)AD/FC時,ADFCFD45.B45,BCFD.BBADADFFDC,BADABDsDFC.DF拒AD，DC-AD2BCBD.即ABAD.DFDCBCBD.,2-2x-x223x,整理得2-1.5（負(fù)數(shù)舍去）.xx10,解得x2綜上所述，如果四邊形ADCF是梯形，BD的長是1或1+后2此題屬于圓的綜合題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值以及勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，解答

52、本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來.15.如圖，已知RtABC中，ACB90°，AC8,AB10,點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)(不與C重合)，以AD為直徑作eO,過C作CE切eO于E,交AB于F.A(1)若eO的半徑為2,求線段CE的長;(2)若AFBF,求eO的半徑；(3)如圖，若CECB，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G,試求G、E兩點(diǎn)之間的距離.【答案】(1)CE4J2；(2)eO的半徑為3；(3)G、E兩點(diǎn)之間的距離為9.6.【解析】【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得出/OEC=90,然后根據(jù)勾股定理即可求得;(2)由勾股定理求得BC,然后通過證

53、得OE84BCA,得到OE=OC,即!=8-r,解BCBA610得即可；(3)證得D和M重合，E和F重合后，通過證得GBEABC,GB型即ABAC12GE一一，解得即可.108(1)如圖，連結(jié)OE.CE切eO于E,AftOEC90AC8,eO半徑為2,OC6,OE2.CEJOC2OE2472；(2)設(shè)eO半徑為r.8,在RtABC中，ACB90,AB10,ACBC、AB2AC26.AFBF,AFCFBF.ACFCAF.CE切eO于E,OEC90.OECACB,OECBCA.OEOCBCBAr8r,610解得r3.eO的半徑為3；連結(jié)EG、OE,設(shè)EG交AC于點(diǎn)M，由對稱性可知，CBCG.又CECB,CECG.EGCGEC.CE切eO于E,GECOEG90.又EGCGMC90, OEGG