1、【2020高考數(shù)學(xué)】三角形中的最值問題專項(xiàng)復(fù)習(xí)【基礎(chǔ)知識(shí)】1 .與解三角形相關(guān)的結(jié)論在AABC 中,A>B? .(2)在銳角三角形 ABC 中,A+B>,sin A> .,cos A<.在鈍角三角形 ABC中，設(shè)C為鈍角，則A+B<,sin A< .,cos A>(4)在 AABC 中,=|111cos C=abcos C=ab .-2 .基本不等式與余弦定理的聯(lián)系性：a2 b2 (a b)2 2aba2 b2a2+b2> 2alb< ab 0 2【基本策略】1 .邊的角度：三邊變兩邊，借助基本不等式求最值；2 .角的方向：正弦定理邊化角，

2、三角化一角然后借助三角函數(shù)有界性求范圍；3 .函數(shù)觀點(diǎn)：引入變量，明確變量的范圍，建立函數(shù)關(guān)系式，利用求導(dǎo)等方法求范圍;4 .結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化：化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)，把多元減少為二元或者一元，然后借助對(duì)應(yīng)方法求解【基本技能】解決與三角形相關(guān)的范圍問題的方法方法解 讀典例指引利用基本不等式余弦定理與重要不等式a2+b2 > 2abB角形兩個(gè)邊的和與基本不等式a+b > 2B角形面積公式與abw通過這些結(jié)合點(diǎn)，求解范圍問題，注意等號(hào)成立的條件典例導(dǎo)引1利用函數(shù)的值域通過建立參數(shù)與已知角或邊的關(guān)系 ，把角或邊作為自變量，參數(shù)作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化 為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題 這里要利用條件中的范圍

3、限制 ， 以及三角形自身范圍限制典例導(dǎo)引2溫馨提醒解題時(shí)盡量把角的范圍縮小到最小限度.如AABC為銳角二角形，則要求二個(gè)角均為銳角例 ABC的內(nèi)角A , B , C的對(duì)邊分別為a , b , c ,且滿足a 2, acosB 2c b cosA .(1)求角A的大??；(2)求AABC周長(zhǎng)的最大值.2.在 ABC中，角 A , B , C的對(duì)邊分別為 a , b , c ,且滿足 2a b cosC ccosB 0 .（1）求角C的大??；（2）求sin AcosB的取值范圍.、單選題【針對(duì)訓(xùn)練】1.（ 2020黑龍江高三（理）設(shè)A, B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，在 VABC中,B

4、C 6, BAC 60，則三棱錐D ABC體積的最大值為（A. 12 石B. 18百C. 24 V3)D. 54.32. （2020山西高三（理）在銳角ABC中，角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c, ABC的面積為S,若,則 tanC1，的取小值為（）2tan（B C）B. 2C. 1D. 2 23.（2018河南高考模擬（理）已知銳角2ABC中，角A, B , C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b a a c,sin A 則的取值范圍是（）sin B AA.1遮2, 2D.4. （2019安徽高三月考（理）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山人時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠”，以他名

5、字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離比值為定值（0,1）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.已知在 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,且sin A 2sin B , acosB bcosA 2,D.則 ABC面積的最大值為（B. .35. （2019長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高三開學(xué)考試（理）已知AABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a, b, c,若a2= b2+c2- bc, a = 3,則那BC的周長(zhǎng)的最大值為（A. 2£B. 6C.D.6. （2019也西太原五中高三月考）在ABC 中,urn uuu 若 3(CA ABuur uurCB AB)uuur 22| AB |,則 t

6、an A 1的 tan B最小值為（）B. 2,5C.D.吏27. （2019河南高三月考（理）在銳角ABC 中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,ABC的面積為S ,若2Ssin(A C) 2 ,則C的取值范圍為( b cB- (6, 2)C.(七)8. （2019吉林高三月考（理） ABC的內(nèi)角A, B , C的對(duì)邊為a , b, c，若b積為S a2 c2 b2 ,則a c的最大值為（4A. 18. 2C. 3D.9. （2019黑龍江鶴崗一中高三月考（理）銳角 逐B(yǎng)C的三個(gè)內(nèi)角A, B,C的對(duì)邊分別為a, b, c,若 B=2A,則asinA的取值范圍是（ bA.3 、3B. 一,

7、一421近2, 2D.10.（2019重慶南開中學(xué)高三月考（理）在ABC中，內(nèi)角A,B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,若3a c ,a 2acosB ,則的取小值為(bA.,2B.3D. 3（2019安徽高考模擬（文）已知銳角VABC的角A, B,C的對(duì)邊分別為a, b, c,ABC的面積Sa abc 1 ,則a2 b2的取值范圍為（）17A. 一2B. 9,C.17萬，9D.17萬，912.（2019四川高三月考（文）已知 AABC的內(nèi)角 A，B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,且a b sinA csinC bsinB,若c 2 J3 ,則AABC的周長(zhǎng)的最大值為（）A. 4 芯B.

8、 3 40C. 6百D. 3 6底13. （2019河南鶴壁高中高考模擬 （文）在 ABC中，角A，B, C所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a,b,c,若ac 4,sinB 2sinCcosA 0,則 ABC面積的最大值為（）A. 1B. V3C. 2D. 4二、填空題14. （2019河北高三月考（文）已知在銳角三角形 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若a=4,一 a22且2a bcosB b c ,貝U b+c的取值氾圍為 .215. （2019安徽高三期末（理）在 ABC中，已知2cos22 sin A,若a 2J3 ,則 ABC周長(zhǎng)的23取值范圍為.16. （2019重慶高三月

9、考（理）在 ABC中，BC 4, sinC 2sin B ,則當(dāng) ABC的面積取得最大值 時(shí)，BC邊上的高為.17. （2019江西高三月考（理）設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊長(zhǎng)a, b, c成等比數(shù)列，- 一 -1cos A C cosB 一,延長(zhǎng)BC至D ,若BD 2,則 ACD面積的最大值為218. （2019廣東高考模擬（文）在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, ABC 120, ABC 的平分線交 AC于點(diǎn)D,且BD 1 ,則4a c的最小值為.19. （2019遼寧沈陽二中高三月考（理）已知 ABC為銳角三角形，滿足cccuur uuu uur222sin B

10、sinC sin B sin C sin A tan A, ABC 外接圓的圓心為 O ,半徑為 1,則 OA AB AC的取值范圍是5 / 17【2020高考數(shù)學(xué)】三角形中的最值問題專項(xiàng)復(fù)習(xí)例 ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,且滿足a 2, acosB 2c b cosA.(1)求角A的大??；(2)求ABC周長(zhǎng)的最大值.【答案】解：(1)由已知，得 acoSB bcosA 2ccosA. acosB bcosA 2ccosA由正弦定理，得 sinAcoSB sinBcosA 2sinCcosA sinAcosB sinBcosA 2sinCcosA即 sin A B 2

11、sinCcosA sin A B 2sinCcosA.因?yàn)?sin A B sin C sinC, sin A B sin 兀 C sinC所以 sinC 2sinCcosA. sinC 2sinCcosA1因?yàn)?sinC 0 sinC 0,所以 cosA -.2._一冗因?yàn)? A，所以一A33(2)由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA, a2 b2 c2 2bccosA222 一2一 . b c得 bc 4 b c ,即 b c 3bc 4 .因?yàn)?bc ,2-,2 32所以 b c - b c 4. 4即b c 4 (當(dāng)且僅當(dāng)b c 2 b c 2時(shí)等號(hào)成立).所以a b c 6.

12、故 ABC周長(zhǎng)a b c的最大值為6.2.在ABC中，角A , B , C的對(duì)邊分別為a , b , c ,且滿足 2a b cosC ccosB 0 .(1)求角C的大小；(2)求sin AcosB的取值范圍.【答案】解：(1)因?yàn)?2a b cosC ccosB 0,所以 2acosCbcosC ccosB ,由正弦定理得2sin AcosC sin BcosC因?yàn)樵?ABC中sin A 0,所以cosC(2)由(1)知a B 一,所以B 33所以 sinAcosB sin Acos A sin A 3sin C cosBsin B C1 一 2一,所以C 23A 0< A<

13、一31 cosA2后sinA21sin 2 A -3 44cos2 A - sin 2A ，234因?yàn)?V A< -,所以3v2 A v此時(shí)< -sin 2A333421則 0< -sin 2A 23叵叵,所以sin AcosB的取值范圍為 0但422【針對(duì)訓(xùn)練】、單選題,023A11 / 171.（ 2020黑龍江高三（理）設(shè)A, B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，在 VABC中,BC 6, BAC 60，則三棱錐D ABC體積的最大值為（）A. 12 石B. 18.3C. 24.3D. 54,3VABC 中，BC 6, BAC 60，則 sin Ahmax &#

14、39; R2 r2 R 66sin 604.3 2r r 2322222a b c 2bccos A b c bc bc bc 36 , S當(dāng)a b c 6時(shí)等號(hào)成立，此時(shí) V 1Sh 1873，故選: 31 bcsin A 9,32B2. （2020山西高三（理）在銳角ABC中，角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c, ABC的面積為S,若sin(A C)2s,"2 2b c,則 tanC12tan(B內(nèi)的最小值為（C）A.拒B. 2C. 1D. 2 2【答案】A2S 一2S【解析】因?yàn)閟in(A C) 2,即sinB 2, b cb c所以 sinB acsin B ,因?yàn)?sin

15、B 0, b2 c2所以b2c2 ac,由余弦定理b2a2 c2 2accosB ，可得 a 2ccosB c,再由正弦定理得sinA 2sinCcosB sinC,因?yàn)?sin A 2sin CcosB sin( BC) 2sin CcosB sin(B C),所以 sin(B C) sinC,所以 BC SB C C得B 2C或B（舍去）.因?yàn)锳BC是銳角三角形,所以02C 2，得一C63即 tanC (,1),4'33c所以tanC2tan(B C)tanC2當(dāng)且僅當(dāng)tanC ,取等號(hào).故選:A23 .（2018河南高考模擬（理）已知銳角ABC中，角A , B , C所對(duì)的邊分別

16、為a ,皿 sin A則sin B A的取值范圍是（A.J1B. 一2C.D.【解析】因?yàn)閎2a(ac),所以b2ac,由余弦定理得：b2 a22c 2ac cos B ,所以2c 2accosBac ，所以 a 2acosB c ,由正弦定理得 sinA 2sin AcosB sinC ,因?yàn)?A B),cos Asin B ,所以 sin A 2sin AcosB sin(A B) sin AcosB即sin A sin（B A）,因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以A (0,P所以0所以A B A或A B A,所以B 2A或B（不合題意）因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以0 A ,0 2A20,1）的

17、動(dòng)點(diǎn)的軌跡.已知在 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,且 sin A2sin B, acosBbcosA 2,所以一 A 一,則 sin A sinA (1,Y2),故選 C. 64 sin(B A)2 24 . （2019安徽高三月考（理）阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山人時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離比值為定值則 ABC面積的最大值為（A. 22B. 3D.【解析】依題意,sinA 2sinB,得 BC2AC,acosB bcosA22222a c b b c2c2c即AB 2 ,以AB邊所在的直線為x

18、軸，AB的垂直平分線為建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0),B( 1,0),設(shè)C(x,y), x1 0,由BC 2AC ,則C的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為,5、22164(x- -) + y =，x? 0 ,邊 AB 圖的取大值為, (S ABC)max 3934.故選:C35. （2019長(zhǎng)沙市明德中學(xué)高三開學(xué)考試（理）已知 ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若 a2=b2+c2 bc,a = 3,則 ABC的周長(zhǎng)的最大值為（A. 2石B. 6D. 9【解析】由題,b22bc，即 ab2c2 bc3bc,3bc ,Q bc等,CVABC max4b2，即b9，故選:6. （

19、2019山西太原五中高三月考）在36,則 b c6,當(dāng)且僅當(dāng)b c時(shí)取uuu uuu uur uuur uuu 2ABC中，若 3(CA AB CB AB) 2 | AB | ,則 tan A1的tan B最小值為（）A.遙B. 2J5C 屈口,三【答案】B【解析】設(shè) 4ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)應(yīng)的三條邊分別為 a, b, c, uur uuu uuu uuu.則有 3(CA?AB CB AB) 3( bccosA accosB) 2c2 ,由正弦定理得：3 sinBcosA sinAcosB 2sinC 2sin A B展開可得 sinAcosB 5cosAsinB,所以 tan A

20、5tan B ,115則tan A =5tan B 2 J5 ,當(dāng)且僅當(dāng)tan B 乂5時(shí)，等號(hào)成立，故選 B.tan Btan B57 .（2019河南高三月考（理）在銳角 ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a, b,c, ABC的面積為S,若2ssin（A C） 22，則C的取值范圍為（）b2 c2A （0T【答案】DB.(6,2)D (6,4)0 C3A 一213 / 172s 一2S【斛析】因?yàn)閟in( A C) 22-,即sin B 22b cb2 c2_acsin B_所以sin B 二，因?yàn)閟inB 0, b c所以 b2 c2 ac.由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB

21、 ,可得 a 2ccosB c,再由正弦定理得sinA 2sinCcosB sinC.因?yàn)?sin A 2sin CcosB sin( B C) 2sin CcosB sin( B C),所以 sin(B C) sinC,所以B C C或B C C，得B 2c或B(舍去).得一C 一.64因?yàn)锳ABC是銳角三角形，所以 0 2C 一,2故選：D.8 . （2019吉林高三月考（理）ABC的內(nèi)角A , B, C的對(duì)邊為a , b, c，若b 273,且 ABC的面積為S，3 a2 c2 b2，則a c的最大值為（）4A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】由余弦定理可得：a2 c2 b

22、2 2accosB，又S a2 c2 b2 , 41 acsin B2,3accosB,因止匕 2tanB 、.3,故_ 2 所以2 .3b2 a2 c2 2accosB (a c)2 ac(a c)2(a c)24-(a c)2, 4即 4(ac)2,(2-3)2(a c)2, 16 ,即a c 4,當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立，故 a c的最大值為4.故選：D9. （2019黑龍江鶴崗一中高三月考（理）銳角 ABC的三個(gè)內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若B=2A,則asnA的取值范圍是（bD.【答案】D【解析】B 2A, sinB sin2A 2sinAcosAa 1asinAs

23、inA1由正弦te理得 b 2acosA, 1 一 , -tanA .b 2cosA b2cosA 2ABC是銳角三角形,0 A 2 _0 B 2A ,解得一A , tanA 1，.二-tanA 1.2643622即asinA的值范圍是 Y3,L .故選D b6 210.（2019重慶南開中學(xué)高三月考（理）在 ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,若a 2a cosB,貝U 3ac的最小值為（bA.B. .3D. 3【解析】因?yàn)?acosB ,由余弦定理可得：c a22,2c a c b2a,2ac整理得:b2當(dāng)且僅當(dāng)2a bT a'即b屆時(shí)'272，a,所

24、以3a c b11. （2019安徽高考模擬（文）已知銳角VABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a, b, c,且C 1,三角形ABC的面積Sa ABC1,則a2 b2的取值范圍為（）17a.7B. 9,AB于D, D在邊AB上，如圖:C因?yàn)椋篠VABC因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以過C作CD-AB 2CD 1,所以CD2,在三角形ADC中,ADJac2 cd2 Jb2 4，# / 17在三角形 BDC中，bD VBC2 CD2 Ja2 4Q AD BD AB 1 ,Ja2 4 Jb2 4 1，a2b2a24b24 8晨 a24)2 ( .b24)2 8 ( .a2 4)2 (1 , a2 4)2

25、82( . a2 4)2 2 a2 4, 9Q Ja2 40,1 .設(shè) tJa2 40,1a2 b2 2t2 2t 9結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到:【答案】4,3,4 2,3# / 17217 一，b2,9 .故選 D.212.（2019四川高三月考（文）已知4ABC的內(nèi)角A, B ,C所對(duì)的邊分別為a , b, c,且b sinA csinC bsinB,若c 2百，則AABC的周長(zhǎng)的最大值為（C.6、3D.3 6.3故選:由正弦定理得a b a c2 b2所以Cc 4sin A三，故當(dāng)C.b2ab，所以 cosC222a b c2ab花一,由正弦定理求得34sin B 2、3 4sinasin

26、Absin BA 4sin 253A ;時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值為 4Q273 3c ， 4.所以 sin C273 4>/3sin A -273 ,由于66、3 .13. （2019河南鶴壁高中高考模擬（文）在 ABC中，角A,B , C所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a, b,c ,若ac 4,sinB2sinCcosA 0,則 ABC面積的最大值為（A. 1B. AC. 2D. 4由正弦定理得：b 2ccosA 0222由余弦定理得：b 2c b-c- 0,即2b2 a2222a c bcosB 2ac2222 a ca c r a2 3c2 2、3ac2ac4ac 4ac當(dāng)且僅當(dāng)c2逑，b2逑，a2

27、 4#時(shí)取等號(hào),33,1B 0, , sinB 621則 S ABC acsin B211_ ，一一 一，4 1 ,所以 ABC面積的最大值1.故選A.22、填空題14. （2019河北高三月考（文）已知在銳角三角形 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,若a=4,a22且2a bcosB b c ,則b+c的取值范圍為 2【答案】(4 2,)【解析】Q a 4 ,且 2a(a bcosB) b2 c2, 22222.22_,_a 2abcosB b c ,即 a b c 2abcosB，又Q由余弦定理可得a2 b2 c2 2abcosC ,可得 2abcosB 2abcosC

28、 ,即 cosB cosC ,B C , b c,又 A為銳角，cosA (0,1),Q a 4 , b c 4 ,設(shè)b c x,由余弦定理知a2 b2 c2 2bccosA,22216 2x 2x cosA 2x g(1 cosA),81 cosA8,X 2五，2x 4衣,故b c 4夜，故答案為：（472,）.15. （2019安徽高三期末（理）在ABC中，已知2cos2上 百sin A,若a 2J3 ,則 ABC周長(zhǎng)的 23取值范圍為sinA 3【解析】由題意，2cos2 A 1 3sinA 1,即cosA 23可化為2擲sin A -3 ,即sin A ,3 32-2 因?yàn)? A ,所

29、以A ，即A , 333設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c, 由余弦定理得，12 b2 c2 bc， 因?yàn)閎2 c2 2bc ,（當(dāng)且僅當(dāng)b c時(shí)取“=”， 所以 12 b2 c2 bc 3bc,即 bc 4,2c 12 4222又因?yàn)?2 b c bc b c bc,所以bc b故bc4,則 abc4 2用，又因?yàn)閎 c a,所以a b c 2a 44, 即 4,3 a b c 4 2.3.故ABC周長(zhǎng)的取值范圍為 473,4 2J3 .16. （2019重慶高三月考（理）在 ABC中，BC 4, sinC 2sinB,則當(dāng) ABC的面積取得最大值 時(shí)，BC邊上的高為.【答案】8. 3【解析】以線段 BC所在的直線為x軸，以線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：則B 2,0 , C 2,0 ,因?yàn)?sinC 2sinB,所以 ab 2AC 2設(shè) A x, y，則 J"X2'"2y2 2 J"X2'"2y2 ,整理得 x y2 x 039則當(dāng) ABC面積取得最大值時(shí)，A的坐標(biāo)為 ,8 ，則BC邊上的高為8.333故答案為：8323 / 17a, b, c成等比數(shù)列,cos A1C cosB ,延長(zhǎng)BC至D ,若 2BD 2,則ACD面積的最大值為【解析】Q cos A C co